Gibt es einen schnellen Weg, die kinetische Energie in Kugelkoordinaten zu finden?

Es gibt einen mühelosen Weg, wenn Sie geometrisches Denken akzeptieren.

Du weißt, dass$T = \frac 1 2 m \vec v^2 = \frac 1 2 m \lvert \vec v \rvert^2$. Außerdem sind Kugelkoordinaten orthogonal, daher können Sie einfach schreiben:

$$\lvert \vec v \rvert = \sqrt{v_\phi^2 + v_\theta^2 + v_r^2}$$

Geometrisch findet man leicht:$v_r = \dot r$,$v_\theta = r \dot \theta$und$v_\phi = r \sin(\theta) \dot \phi$.

Und damit das Ergebnis:

$$\lvert\vec v\rvert = \sqrt{\dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) \dot \phi^2}.$$

Hier kann eine wichtige Verbindung zur Relativitätstheorie hergestellt werden. Betrachten Sie die infinitesimale Verschiebung in den kartesischen Koordinaten:

$$ds^2=dx^2+dy^2+dz^2=dx^a g_{ab}dx^b$$ wo $a,b\in\{1,2,3\}$und $$dx^a=\left(\begin{array}{c}dx\\dy\\dz\end{array}\right)$$ und $g_{ab}$die Metrik, $$g_{ab}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$$

Seit der Vertreibung$ds^2$sollte unabhängig von den Koordinaten gleich sein, dann haben wir (über einfache Geometrie).

$$ds^2=dr^2+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\right)=dx^a g_{ab}dx^b$$ wo jetzt die Metrik die Form annimmt $$g_{ab}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&r^2&0\\0&0&r^2\sin^2\theta\end{array}\right)$$ und $$dx^a=\left(\begin{array}{c}dr\\d\theta\\d\phi\end{array}\right)$$

Somit erhält man die Geschwindigkeiten durch Division der Verschiebung$dx^a$von$dt$, führt zu

$$v^av_a=\frac{dx^a}{dt} g_{ab}\frac{dx^b}{dt}\equiv\dot x^ag_{ab}\dot x^b$$ und die erwartete Beziehung fällt natürlich heraus: $$v^av_a=\begin{cases}\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2 \\ \dot r^2+r^2\dot\theta^2+r^2\sin^2\theta\dot\phi^2\end{cases}$$

Wenn Sie den gesamten (quadratischen) Wert eines Vektors auf orthogonaler Basis finden, z. B. im kartesischen System$(x,y,z)$oder tatsächlich das sphärische System$(r,\theta,\phi)$, was Sie tun, ist einfach die quadrierten Werte jeder Komponente des Vektors zu addieren.

Betrachten wir die Geschwindigkeit und denken wir über die verschiedenen Komponenten nach:

1. Wie groß ist die Geschwindigkeit in radialer Richtung? Das ist leicht; Der radiale Vektor ist eine gerade Linie, genau wie jeder der Basisvektoren im kartesischen System. Die Radialgeschwindigkeit ist also einfach$\dot{r}$.
2. Wie sieht es mit der Azimutgeschwindigkeit aus? Denken Sie an die Länge eines Bogens auf einem Kreis mit Radius$r$. Sie wissen, dass diese Länge ist$r\theta$, und da Sie nur Änderungen in Betracht ziehen$\theta$koordinieren, die Geschwindigkeit ist gerade$r\dot{\theta}$.
3. Die äquatoriale Komponente wird auf die gleiche Weise wie Teil (2) angegangen, nur müssen Sie jetzt berücksichtigen, dass der Radius des Kreises kleiner wird, je weiter Sie sich vom Äquator entfernen. Wie viel kleiner? Nun, Sie können sich den Winkel ansehen und 'SOH-CAH-TOA' verwenden, um sich davon zu überzeugen, dass der Radius des Kreises in einem Azimutwinkel liegt$\theta$ist nur$r\sin{\theta}$. Da haben Sie es also; die äquatoriale Komponente der Geschwindigkeit ist$r\sin({\theta})\dot{\phi}$.

Quadriere jeden dieser Terme und addiere sie, und das ist deine Summe$v^2$im sphärischen Koordinatensystem. Einfach!