Ist der Hamiltonoperator konserviert oder nicht?

Question

Ist der Hamiltonoperator konserviert oder nicht?

Benutzer43796

Die Frage ist der allerletzte Satz am Ende dieses Beitrags. In diesem Beitrag zeige ich zuerst, dass der Hamilton-Operator erhalten bleibt, da er keine explizite Abhängigkeit von der Zeit aufweist, und zeige dann, dass der Hamilton-Operator nicht erhalten ist, da bei direkter Berechnung festgestellt wird, dass die Ableitung nicht verschwindet. Eine Perle wird auf eine reibungsfreie vertikale Drahtschleife mit Radius aufgefädelt $R$ . Die Schleife dreht sich um eine feste Achse, die in der Figur gezeigt ist, mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit $\omega$ . Die Lagrange-Funktion ist gegeben durch

L = \frac{1}{2} {\dot{θ}}^{2} R^{2} + \frac{1}{2} R^{2} {Sünde}^{2} θ ω^{2} + G R (\cos θ - 1)

$L=\frac{1}{2}\dot\theta^2R^2+\frac{1}{2}R^2\sin^2\theta\omega^2+gR(\cos\theta-1)$ , Wo

θ

$\theta$ ist in der Abbildung definiert (der Pfeil neben dem Zeichen

θ

$\theta$ gibt die Richtung an, in der es zunimmt).

Die Bewegungsgleichung:

\ddot{θ} = Sünde θ \cos θ ω^{2} - \frac{G}{R} Sünde θ

$\ddot\theta=\sin\theta\cos\theta\omega^2-\frac gR\sin\theta$

Da der Hamiltonoperator gegeben ist durch $H=\frac{1}{2}\dot\theta^2R^2+\frac{1}{2}R^2\sin^2\theta\omega^2-gR(\cos\theta-1)$ , sehen wir, dass es keine explizite Zeitabhängigkeit gibt; daher erwarten wir, dass der Hamiltonoperator erhalten bleibt. Wenn wir jedoch die Gesamtableitung des Hamilton-Operators direkt berechnen, können wir sehen, dass die Ableitung nicht Null ist:

\dot{H} = \dot{θ} (\ddot{θ} R^{2} + R^{2} Sünde θ \cos θ ω^{2} + G R Sünde θ) = 2 \dot{θ} R^{2} Sünde θ \cos θ ω^{2},

$\dot H=\dot \theta(\ddot \theta R^2+R^2\sin\theta\cos\theta{\omega}^2+gR\sin\theta)=2\dot\theta R^2\sin\theta\cos\theta{\omega}^2,$ wobei wir von eom Gebrauch machen und substituieren

\ddot{θ} R^{2}

$\ddot\theta R^2$ für die entsprechenden Begriffe.

Bedenken: Hier fehlt eindeutig etwas. Ich hoffe, dass einige andere Leute helfen können, auf einen Fehler hinzuweisen, den ich in der obigen Argumentation gemacht habe.

QMechaniker

Crossposting zu math.stackexchange.com/q/1536244/11127

Antworten (1)

Ist der Hamiltonoperator konserviert oder nicht?

ACuriousMind · Answer 1

Der Hamiltonian $H(\theta,p_\theta)$ muss in Bezug auf die Koordinate formuliert werden $\theta$ und sein kanonisch konjugierter Impuls $p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = R^2 \dot\theta$ . Der korrekte Ausdruck für den Hamilton-Operator ist
$\begin{aligned} H (θ, P_{θ}) & = P_{θ} \dot{θ} (θ, P_{θ}) - L (θ, \dot{θ} (θ, P_{θ})) \\ = \frac{P_{θ}^{2}}{2 R^{2}} - \frac{1}{2} R^{2} {Sünde}^{2} (θ) ω^{2} - G R (\cos (θ) - 1) \end{aligned}$ $\begin{align} H(\theta,p_\theta) & = p_\theta \dot{\theta}(\theta,p_\theta) - L(\theta,\dot{\theta}(\theta,p_\theta)) \\ & = \frac{p_\theta^2}{2R^2} - \frac{1}{2}R^2\sin^2(\theta)\omega^2 - gR\left(\cos(\theta)-1\right)\end{align}$ wobei Sie auf die Vorzeichen achten müssen (beachten Sie das unterschiedliche Vorzeichen für den zweiten Term im Vergleich zu Ihrem). Nimmt man den gleichen Ausdruck mit Abhängigkeit von $\dot{\theta}$ anstatt $p_\theta$ , es ist nicht der Hamiltonian, sondern nur ein Ausdruck, der oft die Energie ist.
Für allgemeine Hamilton-Systeme mit zeitunabhängigem Hamilton-Operator auf Koordinaten $q$ mit Momenten $p$ wir haben folgendes: Da der Hamilton-Operator nicht explizit zeitabhängig ist, verschwindet seine Ableitung bei Verwendung der Hamilton-Bewegungsgleichungen
$\dot{P} = - \frac{\partial H}{\partial Q} \land \dot{Q} = \frac{\partial H}{\partial P}$ $\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q} \quad \land \quad \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$ für eine Hamiltonsche Trajektorie $(q(t),p(t))$ seit dem Einstecken dieses in $\frac{D H}{D T} = \frac{\partial H}{\partial P} \dot{P} + \frac{\partial H}{\partial Q} \dot{Q}$ $\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial q}\dot{q}$ ergibt Null unabhängig von der tatsächlichen Form der Bewegungsgleichungen . Wenn Sie ein anderes Ergebnis erhalten, haben Sie einfach irgendwo einen Fehler in Ihren Berechnungen gemacht, es kann nicht passieren, dass der Hamilton-Operator entlang einer Trajektorie, die eine Lösung der Bewegungsgleichungen ist, nicht konstant ist.

Da die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in diesem (unbeschränkten) Fall äquivalent zu den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen sind, muss sie auch konstant sein, wenn sie in den Lagrangeschen verallgemeinerten Geschwindigkeiten anstelle der Impulse ausgedrückt wird.

Wann ist der Hamiltonoperator gleich der Gesamtenergie und wann nicht?

Ist der Hamiltonoperator konserviert oder nicht?

Benutzer43796

QMechaniker

Antworten (1)

ACuriousMind

Benutzer43796

Kann ich auf die übliche Weise eine Potentialfunktion finden, wenn das zentrale Feld ttt in seiner Größe enthält?

Unterschiedliche Ergebnisse für den Hamiltonoperator einer Scheibe, die auf einer schiefen Ebene rollt

Wie findet man den Hamilton-Operator aus diesem einfachen Lagrange-Operator? (knifflig)

Lagrange zu Hamilton

Verwendung von Tensoren auf Lagrange und Hamilton

Potentialenergie und Erhaltungssatz

Eichinvarianz des Hamiltonoperators

Berechnen Sie die Legendre-Transformation für eine singuläre Lagrange-Funktion

Invarianz der kanonischen Hamilton-Gleichung beim Addieren der Gesamtzeitableitung einer Funktion von qiqiq_i und ttt zur Lagrange-Funktion

Legendre Transformation von Lagrange mit Einschränkungen