Invarianz der kanonischen Hamilton-Gleichung beim Addieren der Gesamtzeitableitung einer Funktion von qiqiq_i und ttt zur Lagrange-Funktion

Wenn

$$L \to L' = L +\frac{dF(q,t)}{dt}$$ der entsprechende Hamilton-Operator wird $$H \to H' = H - \frac{\partial F(q,t)}{\partial t}$$ wie hier gezeigt . Darüber hinaus wird das kanonische Momentum $$p \to P = p + \frac{\partial F}{\partial q}$$ während $$q \to Q = q$$ wie hier gezeigt .

Diese Formeln erlauben es uns, die Invarianz der Hamilton-Gleichungen explizit zu überprüfen. Konkret,

$$\begin{align} \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} \notag \\ \end{align}$$ wird $$\begin{align} \frac{dQ}{dt} &= \frac{\partial H'}{\partial P} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial \left(H - \frac{\partial F(q,t)}{\partial t} \right)}{\partial P} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial P} - \frac{\partial }{\partial P} \left( \frac{\partial F(q,t)}{\partial t} \right) \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial P} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial p} \\ \therefore \quad \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} \quad \checkmark \end{align}$$ wo ich das benutzt habe$F$hängt nicht davon ab$P$Und $$\frac{\partial P}{\partial p} =\frac{\partial }{\partial p} \left( p+ \frac{\partial F}{\partial q} \right) = 1.$$

Analog können wir die zweite Hamilton-Gleichung überprüfen:

$$\frac{dp}{dt}= -\frac{\partial H(q,p,t)}{\partial q} .$$ Allerdings gibt es eine Feinheit . Nach der Transformation haben wir auf der rechten Seite$\frac{\partial H'(Q,P,t)}{\partial Q}$. Aber hier müssen wir das berücksichtigen$p$hängt auch davon ab$q$, seit$p \to P = p + \frac{\partial F(Q,t)}{\partial Q}$. Deshalb $$\begin{align} \frac{\partial H'(Q,P,t)}{\partial Q} &= \frac{\partial H'(Q,p + \frac{\partial F}{\partial q} ,t)}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H'(Q,p,t)}{\partial Q} + \frac{\partial H(Q,p,t) }{\partial p} \frac{\partial p}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} + \frac{\partial H(Q,p,t) }{\partial p} \frac{\partial p}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} + \dot Q \frac{\partial \left(P- \frac{\partial F}{\partial q} \right)}{\partial Q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} - \dot Q \frac{\partial }{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial q} \\ &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q} \,. \end{align}$$ wo wir das verwendet haben $$\frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q}= \frac{\partial^2 F(Q,t)}{\partial Q \partial t} + \dot Q \frac{\partial }{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial q} .$$

Damit können wir die zweite Hamilton-Gleichung nach der Transformation wie folgt umschreiben:

$$\begin{align} \frac{dP}{dt}&= -\frac{\partial H'(Q,P,t)}{\partial Q} \\ \therefore \quad \frac{d}{dt} \left( p+ \frac{\partial F(q,t)}{\partial q} \right) &= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q} \\ \therefore \quad \frac{dp}{dt} + \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial F(q,t)}{\partial q} \right)&= \frac{\partial H(Q,p,t)}{\partial Q} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F}{\partial Q} \\ \therefore \quad \frac{dp}{dt} &= -\frac{\partial H}{\partial q} \quad \checkmark \end{align}$$

EDIT: Die Subtilität wurde auch hier angemerkt , aber leider ohne Antwort und vor einigen Jahren gab es sogar eine Arbeit , die es nicht bemerkte und behauptete, dass Hamiltons Gleichungen nicht invariant sind.

Wie Sie in den Kommentaren sagen,

$$\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}=\frac{\partial F}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial F}{\partial t}$$ Also stecke das in den Lagrange, $$L'=L+\frac{\partial F}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial F}{\partial t}$$

Der Hamiltonian$H=p\dot q-L$impliziert

$$H'=p'\dot{q}-L'=p\dot q+something\tag{1}$$ Wo$something$ist für Sie zu trainieren. Seit$p=\partial L/\partial \dot q$, dann sollten wir davon ausgehen$p'=\partial L'/\partial\dot q$. Es ist für dieses spezielle Problem nicht wirklich notwendig, aber Sie können es lösen$p'$.

Das sagt der Hamiltonsche Formalismus$q$,$\dot q$Und$p$unabhängig sind, also nehmen wir das ähnlich an$q$,$\dot{q}$Und$p'$unabhängig sind; somit$\partial L/\partial p=0\to\partial L'/\partial p'=0$.

Also musst du jetzt nur noch lösen

$$\frac{\partial H'}{\partial p'}\text{ and }-\frac{\partial H'}{\partial q}$$ mit Gl. (1) um zu sehen, ob die Transformation in der Lagrange-Funktion die Hamilton-EOM beibehält (Hinweis: sie tut es). Beachten Sie auch, dass ich eine einzelne Koordinate annehme$q$, es gibt wirklich keinen großen Unterschied zwischen$q_i$für$i=1$Und$i\in(1,N)$.