Elektrostatische Energie einer geladenen Kugel

Question

Elektrostatische Energie einer geladenen Kugel

Antoine Morier

Ich lese die Feynman-Bücher. In 8.1 haben wir gezeigt, dass die Energie einer geladenen Kugel vom Radius $a$ Ist

U = \frac{4 π ρ^{2} A^{5}}{15 ϵ_{0}} .

$U = \frac{4\pi\rho^2a^5}{15\epsilon_0}.$

Ich habe versucht, dieses Ergebnis mit der folgenden Formel zu erhalten

U = \frac{ϵ_{0}}{2} ∭ E^{2} D v .

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\iiint E^2\,dV.$ Durch den Satz von Gauß können wir das schreiben

r < a

$r < a$ ,

E = \frac{Q_{ich N T}}{S \cdot ϵ_{0}} = \frac{ρ R}{3 ϵ_{0}} .

$E=\frac{Q_{int}}{S\cdot\epsilon_0}=\frac{\rho r}{3 \epsilon_0}.$ Also habe ich versucht, es zu integrieren, um die Energie zu bekommen. Das können wir erstmal sagen

d V = 4 π r^{2} d r

$dV = 4\pi r^2\,dr$

So bekamen wir:

U = \frac{ϵ_{0}}{2} \int_{0}^{A} {(\frac{ρ R}{3 ϵ_{0}})}^{2} 4 π R^{2} D R

$U=\frac{\epsilon_0}{2}\int_0^a \left(\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\right)^2 4\pi r^2\,dr$

U = \frac{4 π ρ^{2} A^{5}}{45 ϵ_{0}}

$U=\frac{4\pi\rho^2a^5}{45 \epsilon_0}$

Ich habe ein dreimal zu kleines Ergebnis erhalten und verstehe nicht warum. Wenn mir jemand erklären kann, wo ich falsch liege :).

EDIT: Unter Berücksichtigung des Kommentars von @mmesser314 habe ich versucht, von unendlich nach a zu integrieren. Nun, da $r>a$ , $E=\frac{a^3\rho}{3\epsilon_0 r^2}.$

Integrieren Sie es aus $\infty$ Zu $a$ gibt mir

U = \frac{2 π ρ^{2} A^{5}}{9 ϵ_{0}} .

$U=\frac{2\pi\rho^2a^5}{9 \epsilon_0}.$

mmesser314

Ladungen haben keine potentielle Energie, wenn sie sich ausbreiten. Anstatt

\int_{0}^{a}

$\int_0^a$ , versuchen

\int_{\infty}^{a}

$\int_{\infty}^a$ .

Antoine Morier

@ mmesser314 Ich glaube, ich habe nicht genau verstanden, was Sie damit meinen, dass Ladungen keine potenzielle Energie haben, wenn sie sich ausbreiten. Ich habe eine Bearbeitung mit Ihren Empfehlungen für das Integral vorgenommen, bekomme es jedoch immer noch nicht

\frac{1}{15}

$\frac{1}{15}$ Faktor...

jensen paul

Die Integration für diese Formel umfasst den gesamten Raum. Verwenden Sie das Gauß-Theorem, um das E-Feld innerhalb der Kugel zu finden, und integrieren Sie von r = 0 und r = a, und verwenden Sie dann das Gauß-Theorem, um das E-Feld außerhalb der Kugel zu finden. Und integrieren Sie das von r = a bis unendlich

jensen paul

Ich bin mir ziemlich sicher, dass Mmesser denkt, dass Sie versuchen, das Potenzial einer Kugelhülle zu finden. Von denen das Potenzial im Inneren nicht abweicht,

Antworten (1)

Elektrostatische Energie einer geladenen Kugel

Ladungen haben keine potentielle Energie, wenn sie sich ausbreiten. Anstatt $\int_0^a$ , versuchen $\int_{\infty}^a$ .
@ mmesser314 Ich glaube, ich habe nicht genau verstanden, was Sie damit meinen, dass Ladungen keine potenzielle Energie haben, wenn sie sich ausbreiten. Ich habe eine Bearbeitung mit Ihren Empfehlungen für das Integral vorgenommen, bekomme es jedoch immer noch nicht $\frac{1}{15}$ Faktor...
Die Integration für diese Formel umfasst den gesamten Raum. Verwenden Sie das Gauß-Theorem, um das E-Feld innerhalb der Kugel zu finden, und integrieren Sie von r = 0 und r = a, und verwenden Sie dann das Gauß-Theorem, um das E-Feld außerhalb der Kugel zu finden. Und integrieren Sie das von r = a bis unendlich
Ich bin mir ziemlich sicher, dass Mmesser denkt, dass Sie versuchen, das Potenzial einer Kugelhülle zu finden. Von denen das Potenzial im Inneren nicht abweicht,

spiridon_the_sun_rotator · Answer 1

Zunächst einmal haben Sie einen Faktor von verloren $2$ für die Energie innerhalb der Kugel. Es ist:

\frac{2 π ρ^{2} A^{5}}{45 ϵ_{0}}

$\frac{2 \pi \rho^2 a^5}{45 \epsilon_0}$

Zweitens beinhaltet die Energie auf einer geladenen Kugel die Energie des Feldes im gesamten Raum. Sie haben den Energiebeitrag verpasst, der von außen kommt:

\frac{ϵ_{0}}{2} \int_{A}^{\infty} {(\frac{ρ A^{3}}{3 ϵ_{0} R^{2}})}^{2} 4 π R^{2} D R = \frac{2 π ρ^{2} A^{6}}{9 ϵ_{0}} \int_{A}^{\infty} \frac{D R}{R^{2}} = \frac{2 π ρ^{2} A^{5}}{9 ϵ_{0}}

$\frac{\epsilon_0}{2} \int_{a}^{\infty} \left(\frac{\rho a^3}{3 \epsilon_0 r^2}\right)^{2} 4 \pi r^2 dr = \frac{2 \pi \rho^2 a^6}{9 \epsilon_0} \int_{a}^{\infty} \frac{dr}{r^2} = \frac{2 \pi \rho^2 a^5}{9 \epsilon_0}$ In Summe:

\frac{2 π ρ^{2} A^{5}}{45 ϵ_{0}} + \frac{2 π ρ^{2} A^{5}}{9 ϵ_{0}} = \frac{12 π ρ^{2} A^{5}}{45 ϵ_{0}} = \frac{4 π ρ^{2} A^{5}}{15 ϵ_{0}}

$\frac{2 \pi \rho^2 a^5}{45 \epsilon_0} + \frac{2 \pi \rho^2 a^5}{9 \epsilon_0} = \frac{12 \pi \rho^2 a^5}{45 \epsilon_0} = \frac{4 \pi \rho^2 a^5}{15 \epsilon_0}$

Elektrostatische Energie einer geladenen Kugel

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mmesser314

Antoine Morier

jensen paul

jensen paul

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spiridon_the_sun_rotator

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