Allgemeine Herleitung der potentiellen Energie eines Dipols in einem äußeren elektrischen Feld

Da die beiden Ladungen im Dipol entgegengesetzt sind, ist das Gesamtpotential nur (die Größe der Ladungszeiten) die Differenz des Potentials an zwei nahegelegenen Punkten. Aber diese Potentialdifferenz lässt sich gut durch den Gradienten des Potentials punktiert in die Verschiebung zwischen den Punkten annähern. Deshalb bekommen wir$\newcommand{\Vd}{U_\mathrm{dip}}\Vd\approx \newcommand{\p}{\mathbf{p}}\p \cdot \nabla V$.

Lassen Sie uns etwas strenger den Ursprung unseres Koordinatensystems auf die negative Ladung legen und die Position der positiven Ladung nennen$\newcommand{\d}{\mathbf{d}}\d$. Nennen wir die Größe der Ladung$q$. Dann haben wir, dass das Dipolmoment ist$\p=q\d$. Währenddessen ist das Potential des Dipols gegeben durch

$$\Vd=qV(\d)-qV(\mathbf{0})=q\left(V(\d)- V(\mathbf{0})\right).$$ Jetzt für klein $\d$, können wir die Taylorentwicklung verwenden, $$V(\d)- V(\mathbf{0})=\d \cdot \nabla V|_\mathbf{0}+O(|\d|^2).$$

Also eine gute Annäherung an die Grenze von klein$\d$Ist

$$\Vd \approx q\d \cdot \nabla V|_\mathbf{0} = \p \cdot \nabla V|_\mathbf{0}.$$

In der Grenze eines idealen Dipols, wo$|\d| \to 0$mit$\p$behoben (damit$q \to \infty$), Die$O(|\d|^2)$Der Fehlerterm geht gegen Null, also ist der obige Ausdruck für das Potential exakt.

Eine andere Betrachtungsweise des Problems besteht darin, festzustellen, dass das Potential jeder Ladungskonfiguration (gekennzeichnet durch Ladungsdichte$\rho$) in einem externen Potential$V$wird von gegeben$U=\int \rho V dV$. Von Taylor erweitert$V$über die Herkunft, bekommen wir

$$U= \int \rho \left(V(\mathbf{0}) + r_i \partial_i V\newcommand{\z}{\mathbf{0}}|_\z + r_i r_j \partial_i \partial_j V|_\z + \left[\textrm{higher derivative terms}\right] \right) dV$$

Da die Ableitungen Konstanten in Bezug auf die Integrationsvariable sind, können sie aus der Integration herausgenommen werden, um sie zu erhalten

$$U= V(\mathbf{0}) \int \rho dV + \partial_i V|_\z \int \rho r_i dV + \partial_i \partial_j V|_\z \int \rho r_i r_j dV + \cdots$$

Nun können wir die Gesamtladung der Ladungsverteilung zu sein definieren$q$, definieren wir das Dipolmoment$\p$von$\p=\int \rho \mathbf{r}dV$, und höhere Multipolmomente$Q^{(m)}_{ij\cdots}$der Ordnung$m$durch Integration$\rho$gegen$m$Kopien von$\mathbf{r}$(mal dimensionslose Faktoren). Dann erhalten wir die potentielle Energie$U$wird von gegeben

$$U=q V(\z) + \p \cdot \nabla V |_\z + \frac{1}{6}Q_{ij} \partial_i \partial_j V|_\z + \left[ \textrm{higher multipole terms $Q^{(m)}_{ij\cdots} \partial_i \partial_j \cdots V|_\z$}\right]$$

Nun hat ein reiner (eine andere Art, ideal zu sagen) Dipol ein Dipolmoment$\p$und alle anderen Multipolmomente Null, also ist seine potentielle Energie einfach$\p \cdot \nabla V$. Aber auch für eine beliebige Ladungsverteilung$\rho$, können wir immer noch sagen, dass der Dipolbeitrag zur potentiellen Energie ist$\p \cdot \nabla V$.