Elektrostatisches Energieintegral für Punktladungen

Question

Elektrostatisches Energieintegral für Punktladungen

Zweifeln

Die in einem System aus zwei Punktladungen gespeicherte elektrische Energie $Q_1$ Und $Q_2$ ist einfach

W = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q_{1} Q_{2}}{A}

$W = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{a}$ Wo

a

$a$ ist der Abstand zwischen ihnen.

Die Gesamtenergie kann aber auch durch das Volumenintegral vom Betrag zum Quadrat der elektrischen über den ganzen Raum berechnet werden:

W = \frac{ϵ_{0}}{2} \int_{R^{3}} E^{2} D v

$W = \frac{\epsilon_0}{2}\int_{\mathbb{R}^3} E^2\,dV$

Nehme an, dass $Q_1$ sitzt auf dem Ursprung und $Q_2$ ein Abstand $a$ weg auf dem $z$ -Achse. Dann ist das elektrische Feld

\vec{E} (X, j, z) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} [(\frac{Q_{1}}{R^{3}} + \frac{Q_{2}}{D^{3}}) X \hat{X} + (\frac{Q_{1}}{R^{3}} + \frac{Q_{2}}{D^{3}}) j \hat{j} + (\frac{Q_{1} z}{R^{3}} + \frac{Q_{2} (z - A)}{D^{3}}) \hat{z}]

$\vec{E}(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\left(\frac{Q_1}{r^3} + \frac{Q_2}{d^3}\right)x\hat{x} +\left(\frac{Q_1}{r^3} + \frac{Q_2}{d^3}\right)y\hat{y} + \left(\frac{Q_1z}{r^3} + \frac{Q_2\left(z-a\right)}{d^3}\right)\hat{z}\right]$ Wo

\begin{aligned} R & = \sqrt{X^{2} + j^{2} + z^{2}} \\ D & = \sqrt{X^{2} + j^{2} + {(z - A)}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ d&= \sqrt{x^2+y^2+\left(z-a\right)^2} \end{align}$

Berechnung $W$ durch $\int_{\mathbb{R}^3} E^2\,dV$ scheint extrem schwierig; Mathematica zum Beispiel scheint ratlos. Doch sein Ergebnis sollte einfach sein $\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{a}$ , richtig? Die Integralformel gilt immer noch für Punktladungen, richtig?

Antworten (3)

Elektrostatisches Energieintegral für Punktladungen

QMechaniker · Answer 1

Nennen wir die beiden elektrischen Ladungen $Q$ Und $q$ mit elektrischen Feldern $|{\bf E}_Q|=\frac{k_e |Q|}{r^2_Q}$ Und $|{\bf E}_q|=\frac{k_e |q|}{r^2_q}$ , bzw. Hier $k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ . Die Energie

\begin{matrix} (0) & U = \frac{ε_{0}}{2} ∭_{R^{3}} D^{3} R | E_{Q} + E_{Q} |^{2} = U_{Q} + U_{Q} + U_{Q Q} \end{matrix}

$\tag{0} U~=~\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint_{\mathbb{R}^3}\! d^3r ~|{\bf E}_Q+{\bf E}_q|^2~=~U_Q+U_q+U_{Qq}$

des gesamten elektrischen Feldes enthält drei Beiträge:

Die Energie $U_Q$ des elektrischen Feldes einer Ladung $Q$
$\begin{matrix} (1) & U_{Q} = \frac{ε_{0}}{2} ∭_{R \geq δ} D^{3} R | E_{Q} |^{2} = \frac{k_{e} Q^{2}}{2} \int_{δ}^{\infty} \frac{D R}{R^{2}} = \frac{k_{e} Q^{2}}{2 δ} . \end{matrix}$ $\tag{1} U_Q~=~\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint_{r\geq\delta}\! d^3r ~|{\bf E}_Q|^2~=~ \frac{k_eQ^2}{2} \int_{\delta}^{\infty}\frac{dr}{r^2}~=~\frac{k_eQ^2}{2\delta}.$
Die Energie $U_q$ des elektrischen Feldes einer Ladung $q$
$\begin{matrix} (2) & U_{Q} = \frac{ε_{0}}{2} ∭_{R \geq δ} D^{3} R | E_{Q} |^{2} = \frac{k_{e} Q^{2}}{2} \int_{δ}^{\infty} \frac{D R}{R^{2}} = \frac{k_{e} Q^{2}}{2 δ} . \end{matrix}$ $\tag{2} U_q~=~\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint_{r\geq\delta}\! d^3r ~|{\bf E}_q|^2~=~ \frac{k_eq^2}{2} \int_{\delta}^{\infty}\frac{dr}{r^2}~=~\frac{k_eq^2}{2\delta}.$ In Gleichung (1) und (2) haben wir einen Regler eingefügt $\delta$ . Wenn der Regler $\delta\to 0$ entfernt wird die Energie unendlich.
Die Energie aus dem Austauschtermin
$\begin{matrix} (3) & U_{Q Q} = ε_{0} ∭_{R^{3}} D^{3} R E_{Q} \cdot E_{Q} = \frac{k_{e} Q Q}{R}, \end{matrix}$ $\tag{3} U_{Qq}~=~\varepsilon_0\iiint_{\mathbb{R}^3}\! d^3r ~{\bf E}_Q\cdot {\bf E}_q~=~\frac{k_eQq}{R},$ Wo $R$ ist der Abstand zwischen den beiden Ladungen. Das Tripelintegral (3) kann analytisch berechnet werden, indem (unter anderem) die azimutale Symmetrie des Integranden verwendet wird.

Wenn wir langsam die Trennung variieren $R$ , werden wir nur die Variation des Austauschterms (3) (der Coulomb-Energie) erfassen, da die beiden anderen Beiträge (1) und (2) fest bleiben.

Larry Harson · Answer 2

Punktladungen stellen wegen ihrer Eigenenergie ein Problem dar $\rightarrow \infty$ als ihre Größe $\rightarrow 0$

Es stellt die Arbeit dar, die beim Zusammenbau einer Punktladung geleistet wird, während Sie nur an der Arbeit interessiert sind, die beim Bewegen von Ladungen in den Feldern anderer Ladungen geleistet wird. Sie müssen daher die in den elektrischen Feldern der isolierten Punktladungen gespeicherte Energie von der Gesamtsumme abziehen. Wenn Sie es richtig machen, sollten Sie am Ende einen Ausdruck für die Energie erhalten, die nur von ihrer Trennung voneinander abhängt, die sich bei der Bewertung nicht verflüchtigt.

Können Sie sagen, wie viel elektrische Feldenergie im Elektron gespeichert wäre?
@AnubhavGoel Ein Elektron kann nach dem, was wir heute wissen, nicht klassisch modelliert werden; Der moderne Weg ist die Verwendung von QFT. Sie können jedoch die in einer kugelförmigen Oberflächenladung gespeicherte elektrische Feldenergie berechnen, indem Sie beispielsweise die Arbeit berechnen, die beim Zusammenbau dieser Ladung aus einer kontinuierlichen Ladungsverteilung im Unendlichen aufgewendet wird, und diese verwenden, um eine bestimmte Art von Punktladung zu modellieren. Aber es ist für einen Anfänger notorisch schwierig, weil es die Subtilität von Stressenergie beinhaltet: physical.stackexchange.com/questions/52907/…

Günnisch · Answer 3

Ja, die Integralformel gilt für Punktladungen und ja, Ihr zweites Integral beschreibt die Energie. Diese Version ist jedoch nicht der einfachste Weg, um die Energie zu berechnen. Es ist eine gute Möglichkeit, die Energie zu berechnen, wenn E = 0 in einem großen Bereich ist.

E Für Punktladungen:

E (R) = \sum_{ich} \frac{Q_{ich}}{4 π ε_{0} R^{2}} \hat{R}

$\mathbf E (\mathbf r) = \sum_i \frac{q_i}{4 \pi \varepsilon_0 R^2} \mathbf {\hat R}$

$\mathbf{\hat R}= \frac{\mathbf r - \mathbf r'}{|\mathbf r - \mathbf r'|}$ Wo $\mathbf r'$ ist, wo die Ladung ist und $\mathbf r$ ist der Punkt, den Sie betrachten.

Danke Gunnis. Was meinen Sie mit "Sie sollten den gemischten Begriff nicht haben"? Gibt es eine bevorzugte Methode zur Berechnung des elektrischen Feldes?
Dies ist dasselbe wie die $\vec{E}$ Ich habe oben geschrieben, nein? Meins ist einfach in einem (kartesischen) Koordinatensystem, um eine Integration zu ermöglichen.
Oh ja, tut mir leid, ich muss an etwas anderes gedacht haben.

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