Gibt es wirklich keine Bedeutung in potenzieller Energie und Potenzial?

Es ist in der Tat richtig, dass physikalisch nur die Differenz zweier potentieller Energien von Bedeutung ist. Es folgt eine ausführliche Erklärung. Vergessen Sie für den Rest dieser Antwort alles, was Sie über potentielle Energie wissen.

Ich nehme an, Sie wissen das, wenn Sie eine konservative Kraft haben$\vec{F}$Einwirken auf ein Objekt, um es von einem Ausgangspunkt zu bewegen$\vec{x}_i$zu einem Schlusspunkt$\vec{x}_f$, das Integral$\int_{\vec{x}_i}^{\vec{x}_f}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$hängt nur von den Endpunkten ab$\vec{x}_i$Und$\vec{x}_f$, nicht auf dem Weg. Stellen Sie sich also vor, dieses Verfahren durchzuführen:

1. Wählen Sie einen bestimmten Ausgangspunkt$\vec{x}_0$

2. Definiere eine Funktion$U(\vec{x})$für jeden Punkt$\vec{x}$durch die Gleichung

   $$U(\vec{x}) \equiv -\int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

Diese Funktion$U(\vec{x})$ist die Definition der potentiellen Energie - relativ zu $\vec{x}_0$. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, dass die potentielle Energie funktioniert$U$hängt von diesem Ausgangspunkt ab$\vec{x}_0$.

Beachten Sie, dass die potentielle Energiefunktion notwendigerweise erfüllt$U(\vec{x}_0) = 0$. Du kannst also schreiben

$$U(\vec{x}) - U(\vec{x}_0) = -\int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

Nun, warum würdest du das tun? Angenommen, Sie wählen beispielsweise einen anderen Ausgangspunkt$\vec{x}'_0$, und definieren Sie eine andere potentielle Energiefunktion

$$U'(\vec{x}) \equiv -\int_{\vec{x}'_0}^{\vec{x}} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

(Hier verwende ich den Strich, um die andere Wahl des Referenzpunkts anzuzeigen.) Genau wie die ursprüngliche potentielle Energiefunktion ist diese am Startpunkt gleich Null,$U'(\vec{x}'_0) = 0$. Sie können dies also auch als Differenz schreiben,

$$U'(\vec{x}) - U'(\vec{x}'_0) = -\int_{\vec{x}'_0}^{\vec{x}} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}$$

Das Schöne an dieser Definition ist, dass, obwohl die potentielle Energie selbst vom Ausgangspunkt abhängt,

$$U(\vec{x}) \neq U'(\vec{x})$$

der Unterschied nicht:

$$U(\vec{x}_1) - U(\vec{x}_2) = U'(\vec{x}_1) - U'(\vec{x}_2)$$

Überprüfen Sie dies selbst, indem Sie die Integrale einsetzen. Sie werden feststellen, dass sich alles, was vom Ausgangspunkt abhängt, aufhebt; es ist völlig egal.

Das ist gut, denn die Wahl des Startpunkts ist physikalisch nicht sinnvoll. Es gibt keinen besonderen Grund, einen Punkt als Ausgangspunkt zu wählen, genauso wie wenn Sie sich in einer hügeligen Landschaft befinden, gibt es keinen besonderen Grund, eine Ebene als Nullhöhe zu wählen. Und deshalb ist potentielle Energie selbst nicht physikalisch bedeutungsvoll; nur der Unterschied ist.

Nun gibt es eine Konvention im (sehr) allgemeinen Gebrauch in der Physik, die besagt, dass der Startpunkt, wenn möglich, sofern nicht anders angegeben, im Unendlichen liegt . So kommt man davon, ohne „Differenz der potentiellen Energie“ zu sagen und jedes Mal explizit einen Startpunkt zu definieren. Wenn Sie also eine Formel für potentielle Energie sehen, wie z

$$U(\vec{r}) = -\frac{k q_1 q_2}{r}$$

Sofern nicht anders angegeben, handelt es sich tatsächlich um einen Unterschied in der potentiellen Energie relativ zur Unendlichkeit. Das heißt, Sie sollten es so lesen:

$$U(\vec{r}) - U(\infty) = -\frac{k q_1 q_2}{r}$$

Beachten Sie, dass die Funktion$\frac{k q_1 q_2}{r}$geht auf Null als$r\to\infty$. Das ist kein Zufall. Um dies zu gewährleisten, wurde es so gewählt$U(\infty) = 0$, damit Sie es genauso einfügen können, wie ich es eingefügt habe$U(\vec{x}_0)$in den Berechnungen oben. (Dies ist nur eine andere Art zu sagen, dass es ausgewählt wurde, um das zu machen$\frac{1}{a}$Term in dem Integral, das Sie entfernt haben, also müssen Sie es nicht schreiben.)

Es gibt einige Situationen, in denen Sie den Bezugspunkt nicht im Unendlichen wählen können. Beispielsweise hat eine Punktladung mit einem unendlich geladenen Draht eine elektrische potentielle Energie von

$$U = -2kq\lambda\ln\frac{r}{r_0}$$

Wo$r$ist der Abstand zwischen der Punktladung und dem Draht. Diese potentielle Energiefunktion nimmt unbegrenzt ab, wenn Sie sich in unendliche Entfernungen begeben ($r\to\infty$), es konvergiert nicht gegen Null, sodass Sie nicht unendlich als Ausgangspunkt verwenden können. Stattdessen müssen Sie einen Punkt in endlicher Entfernung vom Draht als Ausgangspunkt auswählen. Der Abstand dieses Punktes vom Draht geht anstelle von in diese Formel ein$r_0$.

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Übrigens ist elektrisches Potential (nicht potentielle Energie) etwas anderes: Es ist einfach die potentielle Energie pro Ladungseinheit des Testteilchens. Für ein bestimmtes Testteilchen ist es proportional zur elektrischen potentiellen Energie. Alles, was ich gesagt habe, gilt also gleichermaßen für das elektrische Potenzial.

Die potentielle Energie zwischen zwei Ladungen ist

$$E_{\rm pot} = \frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0 r}$$ Wenn die Ladungen das gleiche Vorzeichen haben, ist die Energie positiv. Wenn sie die entgegengesetzte Ladung haben, ist es negativ (die Ladungen können gebunden sein).

Im Allgemeinen additive Verschiebungen

$$E \to E+ \Delta E$$ kann oft nicht beobachtbar sein, und nur Energieunterschiede sind physikalisch bedeutsam, außer dass es in vielen Situationen eine verdammt gute Definition gibt, was das Niveau ist $E=0$bedeutet.

In relativistischen Theorien$E=0$ist die einzigartige Wahl, die die Lorentz-Symmetrie zusammen mit dem Nullimpuls bewahrt; die absolute additive Konstante wird aus der Lorentz-Symmetrie bestimmt. Auf die gleiche Weise,$\rho=0$gibt flachen Raum in der allgemeinen Relativitätstheorie; andere Energiedichten krümmen den Raum.

Beim Elektromagnetismus gibt es eine natürliche additive Verschiebung, die von der Bedingung herrührt

$$E_{r=\infty}=0$$ was bedeutet, dass die potentielle Energie bei unendlicher Trennung der Ladungen verschwindet. Diese Konvention wurde oben verwendet. Zu deiner letzten Frage, $$V = \int_R^\infty \vec E\cdot \vec{ds}$$ ist die Arbeit, die durch Bewegen einer Ladungseinheit erhalten wird $R$bis unendlich, bis zum Zeichen, also sind die beiden Dinge, die Sie beschreiben, gleich und es gibt keinen Widerspruch. Insbesondere, $\vec E$ist das elektrische Feld $$\vec E = - \nabla \phi$$ Wo $\phi$ist das elektrostatische Potential und $-\nabla \phi\cdot \vec{ds}$ist nichts anderes als $-\Delta \phi$durch die Definition der Ableitungen (und des Gradienten) für ein Infinitesimal $\vec{ds}$. Jedenfalls gibt es keinen Widerspruch in allem, was Sie geschrieben haben.