Elektrizität & Magnetismus - Ist ein elektrisches Feld unendlich?

Question

Elektrizität & Magnetismus - Ist ein elektrisches Feld unendlich?

Ram Sidharth

Das Abstandsquadratgesetz für ein elektrisches Feld lautet:

E = \frac{Q}{4 π ε_{0} R^{2}}

$E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^2}$ Hier:

\frac{Q}{ε_{0}}

$\frac{Q}{\varepsilon_{0}}$ ist die Quellenstärke der Ladung. Es ist die Punktladung geteilt durch die Vakuumpermittivität oder elektrische Konstante. Ich würde gerne wissen, was mit Quellenstärke gemeint ist, da ich sie nirgendwo im Internet finden kann. Auf den Punkt gebracht wird ein elektrisches Feld auch beschrieben als:

E D = \frac{F D}{Q} = Δ v

$Ed = \frac{Fd}{Q} = \Delta V$ Das würde bedeuten, dass ein elektrisches Feld nur über eine bestimmte Distanz wirken kann. Aber nach dem Abstandsquadratgesetz ist der Nenner die Oberfläche einer Kugel, und wir können diesen Radius bis ins Unendliche erweitern und haben immer noch einen Wert für das elektrische Feld. Bedeutet dies, dass sich jedes elektrische Feld unendlich ausdehnt, aber seine Intensität mit zunehmender Länge abnimmt? Wenn dem so ist, dann ist ein elektrisches Feld in der Lage, unendliche Energie auf jedes geladene Teilchen anzuwenden, da aus der oben genannten Gleichung, wenn die Entfernung, über die das elektrische Feld wirkt, unendlich ist, die Arbeit, die das Feld auf jedes geladene Teilchen verrichtet, unendlich ist unendlich, daher ist die von einem elektrischen Feld gelieferte Energie unendlich. Dies kollidiert direkt mit Energie-Masse-Erhaltungssätzen. Vielleicht verstehe ich dieses Konzept nicht richtig,

Antworten (3)

Elektrizität & Magnetismus - Ist ein elektrisches Feld unendlich?

Ron Maimon · Answer 1

Es erlischt für immer, aber die Gesamtenergie, die es vermittelt, ist endlich. Der Grund dafür ist, dass die Summe endlich ist, wenn die Dinge als Quadrat der Entfernung abfallen. Zum Beispiel:

\sum_{N} \frac{1}{N^{2}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + . . . = \frac{π^{2}}{6}

$\sum_n {1\over n^2} = {1\over 1} + {1\over 4} + {1\over 9} + {1\over 16} + {1\over 25} + ... = {\pi^2\over 6}$

Diese Summe hat eine endliche Grenze. Ebenso ist die Gesamtenergie, die Sie gewinnen, wenn Sie eine positive Ladung von einer anderen positiven Ladung weg von der Position R ins Unendliche bewegen, die endliche Menge

\int_{R}^{\infty} \frac{Q Q}{R^{2}} D R = \frac{Q Q}{R}

$\int_r^{\infty} {Qq\over r^2} dr = {Qq\over r}$

Es gibt also keine Unendlichkeit. In zwei Dimensionen (oder in einer) fällt das elektrische Feld nur gleich ab ${1\over r}$ Die potentielle Energie ist also unendlich, und auseinandergeworfene Objekte erhalten in der analogen zweidimensionalen Situation eine unendliche Geschwindigkeit.

Würde ich also richtig liegen, wenn ich sage, dass ein elektrisches Feld unabhängig von der Quellenstärke über die gleiche Entfernung wirkt, nämlich: $\frac{π^{2}}{6}$ $\frac{\pi^2}{6}$ ?
Natürlich nicht! Gehen Sie einfach durch, was ein "elektrisches Feld" ist und was Arbeit / Energie ist. Das Pi-Quadrat-Geschäft ist reine Mathematik, um Ihnen zu zeigen, dass unendliche Summen, die als inverses Quadrat gehen, endlich sind.

Daniel · Answer 2

Ich möchte neben Rons Antwort nur etwas hinzufügen, das Sie meiner Meinung nach als "die Antwort" akzeptieren sollten.

Die zweite Formel, die Sie zitieren, gilt nicht für das Feld, das durch Punktgebühren erzeugt wird. Sie gilt nur für ein konstantes elektrisches Feld . Allgemein die Änderung der potentiellen Energie beim Gehen von einem Punkt $\mathbf{r}_0$ im Raum bis ins Unendliche ist

Δ v = - \int_{R_{0}}^{\infty} E (R) \cdot D R

$\Delta V = -\int_{\mathbf{r}_0}^\infty \mathbf{E}(\mathbf{r}) \cdot \text{d} \mathbf{r}$ .

was aus der Relation kommt $\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r})$ und Integration in den Raum.

Für Ihren Punkt laden Sie ein $\mathbb{R}^3$ , können Sie leicht integrieren [unter Verwendung der das elektrische Feld isotrop ist] zu bekommen

Δ v = v (\infty) - v (R_{0}) = \frac{Q}{4 π ε_{0} R_{0}}

$\Delta V = V(\infty)-V(\mathbf{r}_0) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r_{0}}$

Wo $r_0=|\mathbf{r}_0|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$ Und $V(\infty)=0$ .

Selbst wenn die Reichweite des elektrischen Feldes unendlich ist, ist die Energie also immer endlich. Beachten Sie, wann $|\mathbf{r}_0| \rightarrow 0$ die potentielle Energie explodiert, obwohl es physikalisch keinen Sinn macht. Um dies zu lösen, müssen Sie sich der Quantenelektrodynamik bedienen, der "Quantenversion" des Elektromagnetismus.

Selbst in der Quantenelektrodynamik werden die Unendlichkeitsprobleme nur auf exponentiell winzige Entfernungen verschoben. Macht man die Feinstrukturkonstante viel größer als 1, dann stimmt das klassische Bild und führt zu einer Aufblähung, bevor die Positronen die Aufblähung logarithmisch glätten. Die einzige vollständige Lösung liegt in der Stringtheorie und vielleicht in SUSY-Theorien vom Argyres-Douglas-Typ, wo starke Kopplungsgrenzen gut definiert sind.
Sehr interessant. Ich dachte, dass Renormierungsverfahren das Problem der Eigenenergie des Elektrons in QED lösen, ohne auf String-Thery oder SUSY zurückzugreifen, aber ich bin kein Experte auf diesem Gebiet. Können Sie bitte einige Referenzen nennen, die Sie sich ansehen und ein bisschen mehr lernen können?
Die Renormierung in der QED löst das Problem störungsbedingt für alle Ordnungen, und für schwache Kopplung funktioniert sie für alle Entfernungsskalen, die größer als ein winziger, winziger Wert sind, der als "Landau-Pol" bezeichnet wird und so klein ist, dass das Problem vollständig gelöst ist für alle praktischen Zwecke. Aber bei großer Feinstrukturkonstante würden die Probleme wieder auftauchen, weil die Eigenenergie im Feld des Elektrons vergleichbar wäre mit der Masse des Elektrons auf einer Entfernungsskala, wo die Theorie noch klassisch ist. Das ist nicht unsere Welt, also müssen wir uns darüber keine Sorgen machen. Argyres/Douglas ist ein Klassiker.
Es gibt keine gute Referenz für Landau-Pol-Probleme in der Feldtheorie, sie werden nicht vollständig mit Strenge aussortiert. In manchen Büchern gibt es heuristische Argumente, aber Sie müssen sich nur durch Wilsonsche Artikel wühlen. Die Literatur über kondensierte Materie ist manchmal gut darin, normalerweise etwas besser als die Hochenergieliteratur, die zu sehr auf Feynman-Diagramme ausgerichtet ist (aus gutem Grund, aber sie verdeckt dieses Zeug). Sie könnten Wilsons Rev. Mod von 1974 ausprobieren. Phys. klassisch, und betrachten Sie die Ising-Modell-Kopplungsrenormierung als Modell für Landau-Pole.

Goggs · Answer 3

Der Landau-Pol ist kein Problem für die QED, da auf Skalen viel kleiner als er (die Planck-Skala, die um 260 Größenordnungen kleiner als der Landau-Pol ist) die (negative) Gravitations-Eigenenergie des Teilchens mehr als aufgehoben wird seine elektromagnetische Eigenenergie. In diesem Fall ist also keine Stringtheorie erforderlich, sondern nur die Schwerkraft.

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