Ableitung der Wechselwirkungsenergie der Dipol-induzierten Dipol-Wechselwirkung

Question

Ableitung der Wechselwirkungsenergie der Dipol-induzierten Dipol-Wechselwirkung

GnomeSort

Ich sehe, dass die Formel, die die potentielle (Wechselwirkungs-) Energie eines Dipols und eines induzierten Dipols angibt, lautet

v = - \frac{C}{R^{6}}

$V=-\frac{C}{r^6}$ Wo

C = \frac{μ_{1}^{2} a_{2}^{'}}{4 π ϵ_{0}}

$C=\frac{\mu_1^2 \alpha'_2}{4 \pi \epsilon_0}$ und dass die Formel, die die potentielle (Wechselwirkungs-)Energie eines induzierten Dipols und eines anderen induzierten Dipols angibt, lautet

v = - \frac{C}{R^{6}}

$V=-\frac{C}{r^6}$ Wo

C = \frac{3}{2} a_{1}^{'} a_{2}^{'} \frac{{ICH}_{1} {ICH}_{2}}{{ICH}_{1} + {ICH}_{2}}

$C=\frac{3}{2}\alpha'_1\alpha'_2\frac{I_1I_2}{I_1+I_2}$ . Die Indizes 1 und 2 stellen den Dipol oder induzierten Dipol dar,

μ

$\mu$ stellt das Dipolmoment eines permanenten Dipols dar, und

α

$\alpha$ repräsentiert die Polarisierbarkeit eines induzierten Dipols. Auch,

r

$r$ stellt die Trennung zwischen den beiden jeweils dar, und

I

$I$ stellt die Ionisierungsenergie von 1 oder 2 dar. Ich konnte nicht herausfinden, wie Menschen die Wechselwirkungsenergie in Fällen abgeleitet haben, in denen ein induzierter Dipol beteiligt ist (und konnte sie weder bei Atkins noch bei Google finden), und habe mich gefragt, ob jemand dies tun könnte kann mir zeigen wie es geht. Danke schön.

Xiaolei Zhu

Die Dipol-induzierte-Diple-Wechselwirkungsgleichung scheint nicht richtig zu sein. Die Permittivität sollte ein Quadrat haben, da wir sie zweimal haben – einmal den Dipol induzierend, einmal die Dipol-Dipol-Wechselwirkungen berechnend. Und die Polarisierbarkeit sollte kein Quadrat haben. Können Sie das überprüfen?

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Ableitung der Wechselwirkungsenergie der Dipol-induzierten Dipol-Wechselwirkung

Die Dipol-induzierte-Diple-Wechselwirkungsgleichung scheint nicht richtig zu sein. Die Permittivität sollte ein Quadrat haben, da wir sie zweimal haben – einmal den Dipol induzierend, einmal die Dipol-Dipol-Wechselwirkungen berechnend. Und die Polarisierbarkeit sollte kein Quadrat haben. Können Sie das überprüfen?

gatsu · Answer 1

Ich glaube nicht, dass Sie die Quantenmechanik brauchen, um zu verstehen, was bei der Dipol-induzierten Dipol-Wechselwirkung vor sich geht. Der grundlegende Mechanismus ist recht einfach und nur die Details der Berechnungen ändern sich durch den Wechsel zu einer Quantenbeschreibung.

Polarisierbares Molekül in einem externen Feld

Also das Wichtigste zuerst. Betrachten wir ein einfaches Modell eines polarisierbaren Moleküls als eine Ladung mit Wertigkeit $z$ an einer Kraftquelle befestigt $k$ und Nulllänge im Ruhezustand (dies ist ein gültiges Modell in der harmonischen Näherung eines Dipols).

Beim Platzieren eines solchen Moleküls in einem elektrischen Feld $\vec{E}$ , spürt die Ladung eine Kraft $ze \vec{E}$ . Diese Kraft zieht in eine Richtung, während die Feder in die entgegengesetzte Richtung zieht und schließlich erreicht das System ein neues mechanisches Gleichgewicht, wo

- k \vec{D} + z e \vec{E} = \vec{0}

$\begin{equation} -k \vec{d} + ze \vec{E} = \vec{0} \end{equation}$

Wir können dann feststellen, dass die Federkonstante mit der Größe des induzierten Dipols in Beziehung gesetzt werden kann $d = || \vec{d}||$ , die verdrängte Ladungsmenge $ze$ und die Größe des elektrischen Feldes $E = ||\vec{E}||$ über:

k = \frac{z e E}{D}

$\begin{equation} k = \frac{ze E}{d} \end{equation}$

Um diesen Dipol zu induzieren, musste natürlich das elektrische Feld funktionieren. Die geleistete Arbeit entspricht der potenziellen Energie, die das federartige Molekül gewinnt, dh

W_{ich N D u C e D} = \frac{1}{2} k D^{2} = \frac{1}{2} z e E D

$\begin{equation} W_{induced} = \frac{1}{2}k d^2 = \frac{1}{2} ze E d \end{equation}$

Jetzt können wir den induzierten Dipol definieren $\vec{p}_i$ als seiend $ze \vec{d}$ , dann kommt das:

W_{ich N D u C e D} = \frac{1}{2} {\vec{P}}_{ich} \cdot \vec{E}

$\begin{equation} W_{induced} = \frac{1}{2} \vec{p}_i\cdot \vec{E} \end{equation}$

Nun ist die Energie des Dipols in einem elektrischen Feld gegeben durch $U_d = -\vec{p}\cdot \vec{E}$ . Daraus folgt, dass die durch ein äußeres Feld induzierte Gesamtenergie des Dipols dann ist:

U_{ich N D u C e D} = U_{D} + W_{ich N D u C e D} = - \frac{1}{2} {\vec{P}}_{ich} \cdot \vec{E}

$\begin{equation} U_{induced} = U_d + W_{induced} = -\frac{1}{2}\vec{p}_i \cdot \vec{E} \end{equation}$

Potentielle Energie des dipolinduzierten Dipolsystems

Betrachten wir nun, dass das externe Feld durch einen permanenten Dipol erzeugt wird $\vec{p}_p$ so dass die Wechselwirkungsenergie nun ist:

U_{ich N T} = - \frac{1}{2} {\vec{P}}_{ich} \cdot {\vec{E}}_{P} \equiv \frac{1}{2} a_{ich} | | E_{P} | |^{2}

$\begin{equation} U_{int} = -\frac{1}{2}\vec{p}_i \cdot \vec{E}_p \equiv \frac{1}{2}\alpha_i ||E_p||^2 \end{equation}$

wo ich die Polarisierbarkeit eingeführt habe $\alpha_i$ des induzierten Dipols, so dass $\vec{p}_i = \alpha_i \vec{E}$ im allgemeinen Fall.

Nun wird das elektrische Feld von einem permanenten Dipol erzeugt $\vec{p}_p$ an einem Punkt $M$ Ist

{\vec{E}}_{P} (M) = \frac{1}{4 π ε_{0} R^{3}} (3 ({\vec{P}}_{P} \cdot \vec{u}) \vec{u} - {\vec{P}}_{P})

$\begin{equation} \vec{E}_p(M) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}\left(3(\vec{p}_p \cdot \vec{u}) \: \vec{u}-\vec{p}_p \right) \end{equation}$

Wenn wir davon das Quadrat nehmen, erhalten wir:

| | {\vec{E}}_{P} (M) | | = \frac{1}{(4 π ε_{0} R^{3})^{2}} (3 ({\vec{P}}_{P} \cdot \vec{u}) \vec{u} - {\vec{P}}_{P}) \cdot (3 ({\vec{P}}_{P} \cdot \vec{u}) \vec{u} - {\vec{P}}_{P}) = \frac{P_{P}^{2}}{(4 π ε_{0} R^{3})^{2}} (3 \cos^{2} θ + 1)

$\begin{equation} ||\vec{E}_p(M)|| = \frac{1}{(4 \pi \varepsilon_0 r^3)^2}\left(3(\vec{p}_p \cdot \vec{u}) \: \vec{u}-\vec{p}_p \right) \cdot \left(3(\vec{p}_p \cdot \vec{u}) \: \vec{u}-\vec{p}_p \right) = \frac{p_p^2}{(4 \pi \varepsilon_0 r^3)^2}(3 \cos^2 \theta +1) \end{equation}$

wo der Winkel $\theta$ ist so definiert, dass $\vec{p}_p \cdot \vec{u} = p_p \cos \theta$ .

Schließlich lautet die Gesamtwechselwirkungsenergie:

U_{ich N T} (P_{P}, θ, R) = \frac{a_{ich} P_{P}^{2} (3 \cos^{2} θ + 1)}{2 (4 π ε_{0} R^{3})^{2}}

$\begin{equation} U_{int}(p_p, \theta, r) = \frac{\alpha_i p_p^2 (3 \cos^2 \theta +1)}{2(4 \pi \varepsilon_0 r^3)^2} \end{equation}$

Ungefähre freie Energie des Systems

Die freie Energie des Systems bei Kontakt mit dem Bad bei umgekehrter Temperatur $\beta$ ist wie folgt definiert:

e^{- β F (P_{P}, R)} \equiv \int D Ω_{P} e^{- β U_{ich N T} (P_{P}, θ, R)}

$\begin{equation} e^{-\beta \mathcal{F}(p_p,r)} \equiv \int d\Omega_p \: e^{-\beta U_{int}(p_p,\theta,r)} \end{equation}$

Wo $d\Omega_p \equiv \sin \theta d\theta d\phi$ ist das integrale Element des Raumwinkels über der möglichen Ausrichtung des permanenten Dipols $\vec{p}_p$ .

Bei ausreichend hohen Temperaturen können wir das Exponential innerhalb des Integrals erweitern und das ergibt:

e^{- β F (P_{P}, R)} = \int D Ω_{P} [1 - β U_{ich N T} (P_{P}, θ, R) + Ö (β^{2} U_{ich N T} (P_{P}, θ, R)^{2})]

$\begin{equation} e^{-\beta \mathcal{F}(p_p,r)} = \int d\Omega_p \: [1-\beta U_{int}(p_p,\theta,r) + \mathcal{O}(\beta^2 U_{int}(p_p,\theta,r)^2) ] \end{equation}$

dieses Integral ergibt dann:

e^{- β F (P_{P}, R)} \approx 4 π + \frac{4 π β P_{P}^{2} a}{(4 π ε_{0}) R^{3})^{2}}

$\begin{equation} e^{-\beta \mathcal{F}(p_p,r)} \approx 4\pi + \frac{4\pi \beta p_p^2 \alpha}{(4\pi \varepsilon_0) r^3)^2} \end{equation}$

Endlich

F (P_{P}, R, a) = - β^{- 1} \ln [4 π + \frac{4 π β P_{P}^{2} a}{(4 π ε_{0}) R^{3})^{2}} + Ö (β^{2} U_{ich N T}^{2})] \approx - \frac{P_{P}^{2} a}{(4 π ε_{0})^{2}) R^{6}}

$\begin{equation} \mathcal{F}(p_p,r,\alpha) = -\beta^{-1} \ln \left[ 4\pi + \frac{4\pi \beta p_p^2 \alpha}{(4\pi \varepsilon_0) r^3)^2} + \mathcal{O}(\beta^2U_{int}^2) \right] \approx - \frac{ p_p^2 \: \alpha}{(4\pi \varepsilon_0)^2) r^6} \end{equation}$

Diese Wechselwirkung wird als Debye-van-der-Waals-Wechselwirkung bezeichnet. Sie können also auch in anderen Lehrbüchern nachschlagen, um mehr Details zu erfahren, insbesondere zur Quantenbehandlung dessen, was ich hier getan habe.

Das Herzstück dabei war also, dass der induzierte Dipol selbst vom angelegten elektrischen Feld des permanenten Dipols abhängt. Zusammen mit der Tatsache, dass das elektrische Potential für einen Dipol mit 1/r^2 abfällt und somit das elektrische Feld für einen Dipol mit 1/r^3 abfällt, folgt 1/r^6 ziemlich natürlich. Danke. Ich habe mich nach Erklärungen umgesehen, und obwohl ich nicht sagen kann, dass ich alles befolgt habe, was Sie getan haben, insbesondere an dem Punkt, an dem Sie über die ungefähre freie Energie gesprochen haben, ist dies die beste und klarste Erklärung, die ich online finden konnte.
Wenn es einen Punkt gibt, von dem Sie glauben, dass er näher erklärt werden muss, sagen Sie es mir bitte, ich werde versuchen, meine Antwort entsprechend zu bearbeiten, wenn ich Zeit habe.

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GnomeSort

Xiaolei Zhu

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gatsu

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gatsu

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