Potenzielle Energie eines geladenen Rings [geschlossen]

Question

Potenzielle Energie eines geladenen Rings [geschlossen]

Adobe

Betrachten Sie einen Radiusring $R$ , und Ladungsdichte $\rho$ . Wie groß ist die potentielle Energie des Rings in seinem Selbstfeld?

Das Beste, was ich tun kann:

D Q = ρ R \cdot D a

$dq = \rho R \cdot \, d \alpha$

E_{P} = 2 π R \cdot 2 \int_{0}^{π - δ a} \frac{ρ^{2} R^{2}}{R (a)} D a

$E_p = 2 \pi R \cdot 2 \int_{0}^{\pi - \delta \alpha} \frac{\rho^2 R^2}{r(\alpha)} \, d\alpha$

Wo

R (a) = \sqrt{2} R \sqrt{1 + \cos (a)}

$r(\alpha) = \sqrt{2} R \sqrt {1+ \cos (\alpha)}$

Bearbeiten :

Das ist falsch - $E_p$ hat nicht einmal die richtigen Maße.

Antworten (4)

Potenzielle Energie eines geladenen Rings [geschlossen]

David z · Answer 1

Sie haben im Grunde die richtige Idee. Lassen Sie mich zur Verdeutlichung den Aufbau noch einmal zusammenfassen: Angenommen, Ihr Ring ist am Ursprung zentriert und in der xy-Ebene ausgerichtet. Betrachten Sie zwei differentielle Ladungselemente, $\mathrm{d}q$ befindet sich $(R,0)$ , Und $\mathrm{d}q'$ , befindet sich $(R\cos\phi,R\sin\phi)$ . Die potentielle Energie dieser beiden Ladungselemente ist

D^{2} U = k \frac{D Q D Q^{'}}{R}

$\mathrm{d}^2U = k\frac{\mathrm{d}q\mathrm{d}q'}{r}$

Der Abstand zwischen den beiden Differenzladungen beträgt

R = \sqrt{(R - R \cos ϕ)^{2} + (R Sünde ϕ)^{2}} = R \sqrt{2 - 2 \cos ϕ}

$r = \sqrt{(R - R\cos\phi)^2 + (R\sin\phi)^2} = R\sqrt{2 - 2\cos\phi}$

Sie können dies leicht verallgemeinern, um es auf zwei beliebige unterschiedliche Ladungselemente anzuwenden, die in Winkeln angeordnet sind $\theta_1$ Und $\theta_2$ , indem Sie einfach ersetzen $\phi$ mit dem Winkelunterschied zwischen ihnen, $\theta_1 - \theta_2$ .

Theoretisch sollten Sie nun in der Lage sein, die potentielle Energie des Rings zu bestimmen, indem Sie über alle möglichen Paare von Ladungselementen integrieren:

\begin{aligned} U & = \iint D^{2} U \\ = k \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{ρ R D θ_{1} ρ R D θ_{2}}{R \sqrt{2 - 2 \cos (θ_{1} - θ_{2})}} \\ = k ρ^{2} R \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{D θ_{1} D θ_{2}}{\sqrt{2 - 2 \cos (θ_{1} - θ_{2})}} \end{aligned}

$\begin{align}U &= \iint\mathrm{d}^2U\\ &= k\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\rho R\mathrm{d}\theta_1\rho R\mathrm{d}\theta_2}{R\sqrt{2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2)}}\\ &= k\rho^2 R\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm{d}\theta_1\mathrm{d}\theta_2}{\sqrt{2 - 2\cos(\theta_1 - \theta_2)}} \end{align}$

Aber hoppla, raten Sie mal, das Integral konvergiert nicht! Also so einfach ist das sicher nicht.

Tatsächlich macht es Sinn, dass dieses Integral nicht konvergieren sollte. Denken Sie an die potenzielle Energie, die von einem Paar Ladungselementen beigetragen wird $\mathrm{d}q_1$ Und $\mathrm{d}q_2$ die sehr nahe beieinander liegen. Der Nenner von $\mathrm{d}^2U$ sehr klein wird, und wenn der Abstand gegen Null geht, wird der Beitrag zur potentiellen Energie unendlich. Es stellt sich heraus, dass bei der äquivalenten Berechnung für eine Oberflächen- oder Volumenladungsverteilung die "Ausbreitung" der Ladung in 2 oder 3 Dimensionen ausreicht, um zu verhindern, dass das Integral divergiert, bei einer Linienladung jedoch nicht. Das Endergebnis ist also, dass die potentielle Energie unendlich ist.

In der Praxis ist dies kein wirkliches Problem, da jede realistische Ladungsverteilung durch Zusammenschieben bestehender Teile konstruiert wird. Sie können die Teile nie direkt nebeneinander bekommen, also haben Sie das Problem damit nicht $r = 0$ im Nenner. Es interessiert jedoch einige Theoretiker, herauszufinden, was mit dieser Art von Situation los ist und ob es auf einer grundlegenden Ebene Sinn macht, eine Theorie zu haben, in der sich eine einfache, vernünftige Berechnung wie diese als unendlich herausstellt.

Ja, das ist das Zeug, an das ich mich erinnere. Wäre es auch fair zu sagen, dass eine unendlich dünne Drahtschleife eine unendlich kleine Kapazität hat? Das klingt viel weniger exotisch IMO. Ich denke, das Gleiche gilt für eine unendliche Leitungsladung. Wir suchen oft nach dem Feld um eine Leitungsladung herum, stellen aber selten das Potenzial (pro Länge) der Leitung selbst in Frage.
Wollen Sie sagen, dass alle (oder fast alle) Ladungsverteilungen in 1-D ein unendliches Potenzial haben? Das ist seltsam.

OK · Answer 2

Beachten Sie, dass die Coulomb-Eigenenergie einer gleichmäßig geladenen zweidimensionalen (2D) Scheibe ENDLICH ist. Das folgende Papier behandelt dasselbe Problem für einen 3D-Zylinder. Es gibt auch das Ergebnis für die 2D-Scheibe sowie eine allgemeine Berechnungsmethode, die leicht auf den Fall der 2D-Scheibe angepasst werden kann: O. Ciftja, Physica B 407, 2803-2807 (2012) .

anonym67 · Answer 3

Die Gesamtgebühr $Q$ entspricht der (großen) Anzahl von Elektronen $N=Q/e$ . Angenommen, die $N$ Elektronen sind gleichmäßig im Ring verteilt. Nach klassischer Formel ist die Wechselwirkungsenergie gleich:

E = \frac{N}{2} \times \sum_{N = 1}^{N - 1} \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{e^{2}}{R Sünde (N \frac{π}{N})}

$E=\frac{N}{2}\times\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{R\sin(n\frac{\pi}{N})}$

= \frac{N e^{2}}{8 π ϵ_{0} R} \sum_{N = 1}^{N - 1} \frac{1}{Sünde (N π / N)}

$=\frac{Ne^2}{8\pi\epsilon_0 R}\sum_{n=1}^{N-1}\frac{1}{\sin(n\pi/N)}$

\approx \frac{N e^{2}}{8 π ϵ_{0} R} \frac{N}{π} \int_{π / (2 N)}^{(2 N - 1) π / 2 N} \frac{D X}{Sünde (X)}

$\approx\frac{Ne^2}{8\pi\epsilon_0R}\frac{N}{\pi}\int_{\pi/(2N)}^{(2N-1)\pi/2N}\frac{dx}{\sin(x)}$

\approx \frac{Q^{2}}{8 π^{2} ϵ_{0} R} \ln \frac{bräunen ((2 N - 1) π / 4 N)}{bräunen (π / 4 N)}

$\approx\frac{Q^2}{8\pi^2\epsilon_0R}\ln\frac{\tan((2N-1)\pi/4N)}{\tan(\pi/4N)}$

= \frac{Q^{2}}{8 π^{2} ϵ_{0} R} \ln (\frac{1}{{bräunen}^{2} (π / 4 N)})

$=\frac{Q^2}{8\pi^2\epsilon_0R}\ln(\frac{1}{\tan^2(\pi/4N)})$

\approx \frac{Q^{2}}{4 π^{2} ϵ_{0} R} \ln (\frac{4 N}{π})

$\approx\frac{Q^2}{4\pi^2\epsilon_0R}\ln(\frac{4N}{\pi})$

= \frac{Q^{2}}{4 π^{2} ϵ_{0} R} \ln (\frac{4 Q}{π e})

$=\frac{Q^2}{4\pi^2\epsilon_0R}\ln(\frac{4Q}{\pi e})$

Tatsächlich kann die Annäherung durch Verwendung eines Integrals anstelle der Summe die dimensionslose Konstante des Endergebnisses erheblich verändert haben.

Aber das Ergebnis ist endlich, wie kann das einen Sinn haben?
Anstatt über eine kontinuierliche Ladungsverteilung nachzudenken, überlegte ich $N$ diskrete Elektronen im Ring, verteilt über $N$ Eckpunkte einer regulären $N$ -Polygon

Adobe · Answer 4

Danke David. Ich habe versucht, Ihre Lösung für den 2D-Fall neu zu schreiben. Nehmen Sie also an, dass der innere Bereich des Kreises ebenfalls geladen ist. Dann:

$dq = r \rho \, d\alpha \, dr$

und das letzte Integral ist

$U = \frac{1}{2} \cdot \rho^2 \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} \int_{0}^{R} \frac{r_1 r_2 \, dr_1 \, dr_2 \, d\theta_1 \, d\theta_2 }{\sqrt{(r_1-r_2 \cos(\theta_1 -\theta_2))^2 + r_2^2 \sin^2 (\theta_1 -\theta_2)}}$

Hier $1/2$ berücksichtigt die Doppelzählung von Interaktionen.

Ich kann dieses Integral nicht nehmen - und ich kann auch Ihres nicht nehmen - aber ich sehe, dass es Fälle gibt, in denen der Nenner gleich Null ist.

Es scheint mir, dass ein solcher Ansatz immer zu Abweichungen führen wird. Das einzige, was funktioniert, ist eine Poisson-Gleichung: Sie gibt ein endliches Potenzial in 3D für einen geladenen Ball (auch das Innere ist geladen).

Der Grund dafür könnte die Abstraktheit von sein $\rho$ - in Wirklichkeit haben wir immer "diskrete" Elektronen - und wenn wir das berücksichtigen wollen - müssen wir vielleicht innerhalb der Quantentheorie der Elektrizität arbeiten.

Wenn Sie in 2d ein Log-Potential verwenden, erhalten Sie eine konvergente Antwort, genau wie das Eigenpotential eines Zylinders mit gleichmäßiger Ladungsdichte auf der Oberfläche.

Potenzielle Energie eines geladenen Rings [geschlossen]

Adobe

Antworten (4)

David z

Alan Römer

Boris Valderrama

OK

anonym67

Boris Valderrama

anonym67

Adobe

Ron Maimon

Drehrichtung des Protons im Magnetfeld – entgegengesetzt zu einem Dipol

Gibt es ein Potenzial, das mit Magnetismus verbunden ist?

Warum ist die Richtung des elektrischen Feldes diejenige, die von den höchsten zu den niedrigsten Werten eines elektrischen Potentials reicht?

Wird beim Magnetisieren von Eisen Energie gespeichert?

Zufall, gezielte Definition oder etwas anderes in Formeln für Energie

Warum sollten konservative Kräfte ihren Curl gleich Null haben? (Intuition)

Sollte das Potential einer Punktladung stattdessen von der Hubble-Grenze genommen werden?

Haben Magnete unendliche potentielle Energie?

Zwei entgegengesetzte Punktladungen: Unendliche potentielle Energie?

Höheres bis niedrigeres elektrisches Potential