Warum sollten konservative Kräfte ihren Curl gleich Null haben? (Intuition)

"Curl" ist ein ziemlich gut benannter mathematischer Begriff - er bezeichnet den Grad der "Rotation" im Vektorfeld. Wenn Sie in einem Vektorfeld ganz herumgehen, werden Sie aus diesem Grund feststellen, dass das Gesamtintegral entlang dieses Pfads von der Kräuselung des betreffenden Felds abhängt. Wenn eine Truppe einen Curl hätte, könnten Sie den ganzen Weg herumgehen und etwas Netzarbeit machen lassen, und das wäre nicht konservativ. Eine konservative Kraft hingegen hebt sich selbst wieder auf, wenn Sie sich in einer geschlossenen Schleife befinden.

Stellen Sie sich ein Feld voller Locken als einen Strudel vor – Sie könnten sich vorstellen, herum und herum zu gehen und darin Geschwindigkeit aufzubauen. Aber ein wellenfreies Feld könnte eher wie ein Fluss sein. Du kannst den Fluss hinunterfließen, aber wenn du den Fluss hin und her gehst, verbringst du genauso viel Zeit damit, nach oben zu gehen wie nach unten, also kannst du nichts daraus machen. (Dies ist eine höchst nicht mathematische Analogie, aber so denke ich darüber.)

Ein Kraftfeld heißt konservativ, wenn es zwischen beliebigen Punkten wirkt$A$und$B$hängt nicht vom Weg ab. Dies impliziert, dass die Arbeit über jeden geschlossenen Weg (Zirkulation) Null ist. Dies impliziert auch, dass die Kraft nicht explizit von der Zeit abhängen kann. Betrachten Sie zum Beispiel eine zeitlich abfallende Kraft auf einer geraden Linie. Wählen Sie einen langen geschlossenen Weg. Das Ausmaß der Arbeit aus$A$zu$B$wird größer sein als von$B$zu$A$führt eine nicht verschwindende Zirkulation. Dies gilt auch dann, wenn Sie diese Kraft so schreiben können$\vec F(\vec r,t)=-\vec \nabla U(\vec r,t)$oder$\vec \nabla\times\vec F(\vec r,t)=0$. Außerdem kann man zeigen, dass dies implizieren würde$\frac{dE}{dt}=\frac{\partial U}{dt}\neq 0$.

In Bezug auf die Locke stelle ich sie mir gerne als unendlich kleine Zirkulation vor. Lassen Sie mich versuchen, die Antwort von zeldredge zu erläutern. Stellen Sie sich einen zweidimensionalen Flüssigkeitsstrom vor. Sie können sich die Locke als ein unendlich kleines Schaufelrad vorstellen, das mit seiner Achse senkrecht zur Flüssigkeit steht. Immer wenn die Flüssigkeit es rotieren lässt, ist die Kräuselung von Null verschieden. Die Winkelgeschwindigkeit des Schaufelrads gibt die Größe der Kräuselung an. Es ist nicht schwer vorstellbar, dass sich dieses Paddel dreht, wenn es in einen Whirlpool gesteckt wird, und statisch bleibt, wenn es in eine laminare Strömung eines Flusses gesteckt wird. Wenn Sie zu abstrakteren Vektorfeldern gehen, wie den elektrischen oder magnetischen, müssen Sie nur an ein abstraktes Schaufelrad denken.

Lassen Sie mich abschließend erwähnen, dass eine verschwindende Kräuselung (selbst für eine nur von der Position abhängige Kraft) im Allgemeinen nicht impliziert, dass die Kraft konservativ ist. Diese Dinge sind nur äquivalent, wenn der Raum einfach verbunden ist . Wenn dies nicht der Fall ist, versagen die Theoreme von Stokes und Green , und Null-Curl bedeutet nicht Null-Zirkulation. Das klassische Beispiel ist die zweidimensionale Kraft$\vec F(x,y)=\frac{-y\hat i+x\hat j}{x^2+y^2}$, die eine verschwindende Wellung und Zirkulation aufweist$2\pi$um einen im Ursprung zentrierten Einheitskreis. Wenn dieses Vektorfeld ein Strömungsgeschwindigkeitsfeld sein soll, bedeutet dies eindeutig, dass sich das Fluid um den Ursprung dreht. Es wird jedoch langsamer, wenn wir uns vom Ursprung entfernen. Stellen Sie sich einen unendlich kleinen geschlossenen Weg vor,$l_1+l_2+l_3+l_4$, in Polarkoordinaten enthalten nicht den Ursprung, wie in der Abbildung gezeigt. Wir haben null "Arbeit" über$l_3$und$l_4$und gegenseitiges Aufheben von "Arbeit" vorbei$l_1$und$l_2$. Der längere Weg vorbei$l_2$kompensieren den langsameren Fluss.

Das Herzstück einer konservativen Kraft ist, dass sie integrierbar ist, wenn wir eine Kraft haben${\vec F}$, dann ist es möglich, ein Potential zu finden$\phi({\vec x})$so dass${\vec F} = - {\vec \nabla}\phi$. Der Grund dafür ist, dass wir zwei Punkte herausgreifen$p$und$q$, möchten wir, dass die Energiedifferenz zwischen den beiden Punkten ist$\phi(p) - \phi(q)$, und dies muss pfadunabhängig sein.

Es stellt sich jedoch heraus, dass für alle Funktionen$f({\vec x})$, wir haben${\vec \nabla} \times \left({\vec \nabla}f\right) = 0$. Daher, wenn${\vec F}$integrierbar sein soll, das ist notwendig (aber nicht hinreichend).${\vec \nabla} \times {\vec F} = 0$

also im Wesentlichen Pfadunabhängigkeit -> curl-frei.

Nur um die Antwort von Jerry Schirmer zu ergänzen: Ich finde es hilfreich, sich ein Potenzial als eine kompaktere Form des Ausdrucks vorzustellen$\vec F$Weil$\vec F$ist dreidimensional und$\phi$ist eindimensional. Wenn$\vec F$konservativ ist, scheint es nur "eine Dimension" an Informationen zu enthalten; es hat eine gewisse Redundanz in seiner Form (dh es ist nicht sein einfachster Ausdruck).

Auf der anderen Seite könnten Sie einige gekräuselte Funktionen haben$\vec F$(mit anderen Worten,$\nabla\times\vec F\ne\vec0$) die keine entsprechende "Kompaktversion" haben$\phi$.

In der Tat könnten einige Potenziale vorhanden sein$\phi$die nicht einfacher sind als ihre entsprechenden Steigungen$\vec F$, aber andererseits geht es hier eher um Intuition.

Aus Wikipedia auf Curl:

https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(Mathematik)

Intuitive Interpretation:

Angenommen, das Vektorfeld beschreibt das Geschwindigkeitsfeld eines Flüssigkeitsstroms (z. B. eines großen Tanks mit Flüssigkeit oder Gas) und eine kleine Kugel befindet sich innerhalb der Flüssigkeit oder des Gases (der Mittelpunkt der Kugel ist an einem bestimmten Punkt fixiert). Wenn die Kugel eine raue Oberfläche hat, wird sie durch die vorbeiströmende Flüssigkeit in Rotation versetzt. Die Rotationsachse (ausgerichtet nach der Rechtshandregel) zeigt in Richtung der Kräuselung des Feldes im Zentrum der Kugel, und die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist an dieser Stelle halb so groß wie die Kräuselung.[8]

Das sagt mir, wenn Sie das Kraftfeld durch ein Vektorfeld ersetzen und eine kleine Kugel als "Sonde" verwenden, die mit dem Feld interagiert, würde das gleiche Prinzip gelten und die Kugel würde sich immer schneller drehen. Stellen Sie sich vor, Sie malen ein kleines "X" auf einen beliebigen Punkt auf dem Ball. Nach einer vollen Drehung würde das "X" in seine Ausgangsposition zurückkehren, jedoch mit größerer kinetischer Energie. Dies ist in einem konservativen Kraftfeld per Definition unmöglich. Wenn Sie also sehen, dass sich der Ball dreht (wenn sein Zentrum fest bleibt), handelt es sich nicht um ein konservatives Feld. Es ist nur dann konservativ, wenn sich der Ball nicht dreht, was bedeutet, dass die Größe des Curls Null ist.

Stellen Sie sich vor, die Kräuselung des Gravitationsfeldes wäre nicht Null. Im Prinzip könnten wir „Schwerkraftturbinen“ um die Sonne herum bauen und unendlich Strom erzeugen. Der springende Punkt bei konservativen Kräften ist, dass Sie nicht mit mehr Energie als zuvor am selben Ort bleiben (oder enden) können.