Was ist ein nichtkonservatives System?

Einfach ausgedrückt : Ein konservatives System spart Energie, ein nichtkonservatives nicht.

In einem konservativen System:

• Flugbahnen folgen Pfaden konstanter Energie - dh wenn Sie das System mit einer bestimmten Konfiguration starten und es sich entsprechend seiner Dynamik entwickeln lassen, kann sich die Konfiguration (z. B. die Position und der Impuls eines Teilchens) mit der Zeit ändern, aber seine Energie bleibt konstant = ist konserviert;
• Phasenraumvolumina werden beibehalten – dh jeder beliebige Teil des Phasenraums (ein Fleck von Anfangskonfigurationen im Raum möglicher Konfigurationen) behält ein konstantes Volumen bei, während es sich entsprechend der Systemdynamik entwickelt; Es kann sich verformen und sogar so viel spalten, wie es möchte, aber sein Gesamtvolumen ändert sich nicht.

Diese zweite Beschreibung ist eine Aussage des Satzes von Liouville für Hamiltonsche Systeme , was uns (siehe diese Frage ) zu einer weiteren Beschreibung eines konservativen Systems führt, nämlich zu einem System, dessen

• Hamiltonian ist autonom – dh es ist eine Funktion$H(x,p)$das hängt nicht von der Zeit ab, sondern nur von den Phasenraumvariablen$x$Und$p$.

Beachten Sie, dass ein nichtautonomer Hamiltonoperator$H(t,x,p)$kann zur Beschreibung eines dissipativen (dh nichtkonservativen) Systems verwendet werden, aber man impliziert meistens implizit Zeitunabhängigkeit und verwendet „konservativ“ und „Hamiltonsch“ austauschbar. Beachten Sie auch das für viele Systeme$H$ist nur die mechanische Energie des Systems - in diesem Fall$H$zeitunabhängig zu sein ist dasselbe wie die Energie des Systems konstant zu sein.

Für mechanische Systeme können wir in einem konservativen System auch sagen:

• vorhandene Kräfte sind konservative Kräfte - dh können als Gradient von Skalarfunktionen geschrieben werden (siehe auch diese Antwort ).

Womit wir bei Ihnen wären:

Frage 1: Bezieht sich konservatives Vektorfeld und/oder konservative Kraft auf ein konservatives System?

Ja. Erstens ist eine konservative Kraft ein Sonderfall eines konservativen Vektorfelds (siehe zB Wikipedia und diese Frage ). Zweitens muss die Kraft konservativ sein, damit sie einer sinnvollen und zeitunabhängigen potentiellen Energie entspricht, die man wiederum typischerweise benötigt , um einen autonomen Hamiltonoperator zu definieren, also um ein konservatives System zu haben (siehe auch diese Frage , this , dies , dies und dies ). Standardbeispiele für dissipative Kräfte sind Reibung und Widerstand.

Wie für

Frage 2: Enthält ein nicht-konservatives System keinen der Punkte in der Liste aus dem obigen Zitat? Dh, ist die Arbeit in einem nicht-konservativen System:

• Pfadabhängig
• Ungleich der Differenz zwischen End- und Anfangswert einer Energiefunktion.
• Völlig irreversibel.

Ja. Die ersten beiden Punkte sind äquivalente Definitionen nichtkonservativer Kräfte (wie z. B. in Wikipedia gezeigt ) und schließen daher, wie in der obigen Antwort auf Frage 1 beschrieben, aus, dass das System konservativ ist.
Und ja noch einmal – nicht konservativ zu sein impliziert einen Energieverlust oder eine Injektion von Energie in das System, die es daran hindert, „zurückzukehren“ – zu einer vorherigen Konfiguration zurückzukehren. Zum Beispiel ein dissipatives Pendel, das von der Ruhe bei beginnt$3^\circ$wird es nicht schaffen, wieder zurück zu klettern$3^\circ$aufgrund der Energie, die beispielsweise durch den Luftwiderstand verloren geht, dem es ausgesetzt ist, wenn es hin und her schwingt.
Auch die Reversibilität im Sinne der Zeitumkehrsymmetrie würde für nichtkonservative Systeme brechen (siehe diese Frage und diese ).

All dies ist ziemlich banal - für eine vollständigere und anspruchsvollere Aufnahme kann man damit beginnen, die verlinkten Quellen zu überprüfen.

Insbesondere – es ist wichtig anzumerken – fundamentale Kräfte sind konservativ, also sind die dissipativen Kräfte, die wir sehen, emergente Phänomene (wie Reibung, die durch elektromagnetische Wechselwirkungen entstehen) oder effektive/phänomenologische Beschreibungen oder eine Folge der Betrachtung offener Systeme usw.

Was den Ausdruck „nichtkonservatives System“ angeht, der häufiger in Arbeiten aus den 1980er und 1990er Jahren zu finden ist, schätze ich, dass es hauptsächlich darauf zurückzuführen ist, dass das Forschungsthema damals aktiver war.

Und schließlich, ja, wie ich hoffe, dass es jetzt klar ist, gibt es einen relativen Konsens darüber, was ein nichtkonservatives System ist, auch wenn es oft unausgesprochen bleibt.

1. Ein konservatives Vektorfeld und eine konservative Kraft sind sicherlich mit der Idee eines konservativen Systems verbunden. Wenn die Arbeit, die beim Bewegen von Punkt A nach Punkt B verrichtet wird, unabhängig von dem Weg ist, der von A nach B genommen wird, dann hat das System an jedem Punkt im Raum eine einzigartige Energie. Der Gradient dieser Energiefunktion ist ein Beispiel für ein "konservatives Vektorfeld" wie im Wikipedia-Artikel. Der Gradientenvektor an jedem Punkt im Raum entspricht der Kraft, die an diesem Punkt auf ein Teilchen wirkt.

2. Die einfachste Definition lautet: „Ein nichtkonservatives System ist jedes System, das kein konservatives System ist“, aber vielleicht fühlt sich das für Sie nicht sehr befriedigend an.

Es gibt eine verborgene Annahme, die für viele physikalische Systeme gilt, auch wenn sie nicht konservativ sind: Die Arbeit, die auf einem Weg von A nach B geleistet wird, ist gleich und entgegengesetzt zu der Arbeit, die auf dem umgekehrten Weg von B nach A geleistet wird .

Mit dieser Annahme sind Ihre Punkte 1. und 2. unterschiedliche Arten, dasselbe zu sagen. Wenn die Arbeit von A nach B für zwei Pfade P und Q unterschiedlich ist, dann wenn Sie von A nach B entlang Pfad P und zurück zu A entlang der Umkehrung von Pfad Q gehen, haben Sie zwei unterschiedliche Werte für die Energiefunktion bei gleichen Punkt A, was bedeutet, dass Sie die Energie nicht durch eine einwertige Funktion beschreiben können.

Ihr Punkt 3, "völlig irreversibel", bedeutet nicht wirklich etwas, es sei denn, Sie definieren, was die Wörter bedeuten. Ein reales System kann einige reversible und einige irreversible Eigenschaften haben.

In der Theorie dynamischer Systeme wird ein System durch eine Reihe von Differentialgleichungen charakterisiert, die beschreiben, wie sich der Zustand eines Systems im Laufe der Zeit entwickelt:

Wo$f$kann auch als Phasenraumströmung betrachtet werden. Systeme werden nach dem Durchschnitt der Divergenz der Phasenraumströmung kategorisiert:

• $\nabla · f = 0$: Konservative Systeme – Der Satz von Liouville (der aus der theoretischen Mechanik) besagt, dass Bewegung in einem konservativen Kraftfeld (dh mit erhaltener Energie) in diesem Sinne eine konservative Dynamik ist. Beachten Sie, dass die Erhaltung der Energie hier für den Geltungsbereich unseres Modells im System gilt, z. B. wenn wir die Bewegung von Partikeln betrachten, wandelt Reibung kinetische Energie in Wärme um und entzieht sie so dem System. Typische Beispiele für konservative Systeme in diesem Sinne sind mechanische Systeme, bei denen die Reibung vernachlässigt wird, zB Pendel oder Himmelsmechanik. Es gibt jedoch auch nicht-physikalische Systeme, die konservativ sind, zB das klassische Lotka-Volterra-Modell , bei dem die konservierte Menge vage als Biomasse angesehen werden kann.

• $\nabla · f < 0$: Dissipative Systeme – Die meisten realen Systeme fallen in diese Kategorie. Sie erhalten diese, wenn Sie Bewegung mit Reibung betrachten. Die meisten realen Systeme sind dissipativ. Diese Systeme stehen im Mittelpunkt der Chaostheorie (obwohl konservative Systeme auch chaotisch sein können). Ein typisches Beispiel ist das gedämpfte Pendel, aber auch das gedämpfte und angetriebene Pendel. Ein weiteres Beispiel ist das Lorenz-System , das ein sehr grobes Modell für atmosphärische Dynamik ist. Hier wird dem System ständig Energie zugeführt (Erwärmung der Atmosphäre durch die Sonne) und abgeführt.

• $\nabla · f > 0$: instabiles System – In der Mechanik erhält man ein solches System, wenn man ständig Energie in das System einspeist, aber keine Reibung hat. Ein Beispiel wäre das angetriebene, aber nicht gedämpfte Pendel, bei dem die Amplitude eskaliert. In Wirklichkeit sind solche Systeme nicht lange haltbar und daher für die Theorie dynamischer Systeme (die eher das qualitative Langzeitverhalten betrachtet) von geringem Interesse.

Nun zu Ihrer Frage: Nichtkonservative Systeme teilen sich naturgemäß in zwei Kategorien auf (dissipativ und instabil), die völlig unterschiedliche Eigenschaften haben. Es ist sinnvoll, jede dieser Kategorien allgemein zu untersuchen, aber über nichtkonservative Systeme im Allgemeinen gibt es wenig zu sagen.

Es ist so ziemlich wie bei Nicht-Null-Zahlen: Abgesehen davon, dass man durch sie dividieren kann, gibt es wenig darüber zu sagen.

Ein konservatives Teilchensystem ist ein System, in dem die Kräfte zwischen allen Teilchen konservativ sind. Wie der Name schon sagt, bleibt die Gesamtenergie aller Teilchen erhalten. Siehe zum Beispiel dieses Video .

Frage 1: Ist ein konservatives Vektorfeld und/oder eine konservative Kraft mit einem konservativen System verbunden? Frage 2: Enthält ein nicht-konservatives System keinen der Punkte in der Liste aus dem obigen Zitat? Dh

Ein nicht-konservatives System ist eines, in dem die von einer Kraft geleistete Arbeit:

Pfadabhängig Ungleich der Differenz zwischen End- und Anfangswert einer Energiefunktion. Völlig irreversibel. Gibt es einen Konsens darüber, was ein nicht-konservatives System ist?

A1) Ja, das ist es. In der obigen Definition steht geschrieben, was ein konservatives System ist
A2) Die Reibungskraft (die immer zu negativer Arbeit führt, weil die Reibungskraft immer der Verschiebung entgegengesetzt ist) spart keine Energie für die Teilchen, aus denen das System besteht. Dabei wird Energie in Form von Wärme freigesetzt. Und das ist eindeutig pfadabhängig. Wenn ich einen Aschenbecher auf dem Tisch in einer geraden Linie von einem Punkt A zum anderen B bewege, ist die freigesetzte Energie so gering wie möglich (unter der Annahme eines gleichmäßigen Tisches und einer konstanten Geschwindigkeit). Wenn Sie den Aschenbecher unregelmäßig bewegen, übersteigt die freigesetzte Energie den Mindestwert.

In den Kommentaren habe ich dir bereits einige Links gegeben.