Funktioniert der Track? (zweiter Versuch) [duplizieren]

Question

Funktioniert der Track? (zweiter Versuch) [duplizieren]

Eric David Kramer

Wenn ein Ball rollt, ohne auf einer Bahn zu rutschen, scheint es, als würde die Haftreibung von der Bahn Rotationsarbeit auf den Ball ausüben. Wie in diesem Beitrag erklärt: Wird in Rollreibung gearbeitet? , ist diese Arbeit genau gleich der Arbeit, die die Schwerkraft um den Drehpunkt verrichtet. Aber sollte die Bahn nicht auch linear (also translatorisch, nicht rotatorisch) auf die Kugel wirken? Immerhin bewegt sich der Ball.

(Die Tatsache, dass sich der Drehpunkt nicht bewegt, scheint keine ausreichende Erklärung zu sein, weil $F=ma$ gilt und daher auch der Arbeitsenergiesatz für die Verschiebung der Kugel.)

rauben

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Antworten (3)

Funktioniert der Track? (zweiter Versuch) [duplizieren]

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Johannes Jäger · Answer 1

Aber sollte die Bahn nicht auch linear (also translatorisch, nicht rotatorisch) auf die Kugel wirken? Immerhin bewegt sich der Ball.

wenn ein Block einen Hang hinunterrutscht, die Reibungskraft $F$ funktioniert und verlangsamt den Block. Am Block wird Arbeit verrichtet, da die Kraft parallel zur Geschwindigkeit wirkt.

Für den Ball ist es wahr, dass er sich den Hang hinunter bewegt, $v_1$ , aber der Punkt $P$ wo die Reibung wirkt, bewegt sich senkrecht zur Kraft in Richtung von $v_3$ .

Der Punkt $P$ bewegt sich in Form einer Zykloide und bewegt sich bei Kontakt senkrecht zur Oberfläche (z $2\pi a$ )

Die Formel für geleistete Arbeit lautet $W= Fd\cos\theta$ , Wo $\theta$ ist der Winkel zwischen der Kraft und der zurückgelegten Strecke, sodass an einer rollenden Kugel (idealerweise) keine Arbeit durch Reibung verrichtet wird.

Gute Antwort! Aber sollte das Arbeits-Energie-Theorem nicht für die Kugel als Ganzes gelten, nicht nur für den Kontaktpunkt?
Nur um die Dinge durcheinander zu bringen: Die rollende Kugel beschleunigt weniger als ohne Reibung, weil sie natürlich nicht rollen würde. Das liegt daran, dass die potenzielle Energie (aus der Höhe) nicht in Rotationsenergie usw. umgewandelt wird.
@ Eric David Kramer Ja, wie Carl sagt, die Gesamtkraft den Hang hinunter wird aufgrund von Reibung verringert, sodass die Beschleunigung geringer ist als bei einer gleitenden Kugel. Die „verrichtete Arbeit“ kommt nur aus dem Verlust an potenzieller Gravitationsenergie, es kann weniger Translationsgeschwindigkeit/-energie auftreten, da auch kinetische Rotationsenergie erzeugt wird.

Tal · Answer 2

Tal

Dies ist ein sehr (unnötig) verwirrendes Thema, das aus welchen Gründen auch immer häufig falsch gelehrt wird.

Die Leistung einer bestimmten Kraft ist gegeben durch $P=\vec F \cdot \vec v$ Wo $\vec v$ ist die Geschwindigkeit des Materials am Aufbringungspunkt von $\vec F$ . Diese einfache Definition funktioniert für jede mechanische Kraft in jedem klassischen mechanischen Szenario. Dann ist die von dieser Kraft verrichtete Arbeit einfach $W=\int P \ dt$ .

Nun, speziell für dieses Szenario, einen Ball, der rollt, ohne eine Steigung hinunterzurutschen, gibt es drei Kräfte: die Normalkraft, die Reibungskraft und die Gravitationskraft.

Am Kontaktpunkt wirken sowohl die Normalkraft als auch die Reibungskraft. Der Kontaktpunkt bewegt sich, aber die Geschwindigkeit des Materials am Kontaktpunkt ist 0. Der Kontaktpunkt ist kein Objekt, daher ist seine Bewegung nicht wichtig. Wichtig ist die Bewegung des Materials am Kontaktpunkt, das heißt $\vec v=0$ . also dann $P=0$ Und $W=0$ sowohl für die Normalkraft als auch für die Reibungskraft.

Im Gegensatz dazu wirkt die Gravitationskraft im Massenmittelpunkt. Der Massenmittelpunkt bewegt sich bei einem Wert ungleich Null $\vec v$ Und $\vec F$ ist nicht senkrecht, also $P=\vec F \cdot \vec v = F v \ \sin(\theta)$ . Die ganze Arbeit wird also durch die Schwerkraft erledigt. Die einzige Quelle kinetischer Energie, sowohl linear als auch rotierend, ist die verringerte PE durch die Schwerkraft.

Obwohl die Reibungskraft ein Drehmoment bereitstellt, liefert sie keine Energie. Das ist sinnvoll, weil der Reibungskraft keine potentielle Energie zugeordnet ist. Die Reibungskraft wandelt einen Teil des Gravitations-PE in Rotations-KE um, aber sie tut dies nicht, indem sie irgendeine Arbeit verrichtet. Die Energie kommt nur aus der Schwerkraft.

Dies widerspricht in keiner Weise dem Arbeitsenergiesatz. Die Nettokraft ist immer noch auf die Änderung des Translations-KE bezogen, wie durch das Theorem angegeben. Der Arbeitsenergiesatz sagt Ihnen nur etwas über die Nettokraft und die Änderung der Translations-KE. Es sagt nichts über die Arbeit einer einzelnen Kraft aus, selbst wenn es nur eine Kraft gibt. Jeder Versuch, den Arbeitsenergiesatz zu verwenden, um die von einer einzelnen Kraft geleistete Arbeit abzuleiten, ist ein Missbrauch des Satzes.

Eric David Kramer

Sie sagen am Ende Ihres Beitrags, dass das Arbeits-Energie-Theorem immer noch gelten sollte. Für eine Kugel, die ohne Rutschen eine Steigung hinunterrollt, ist das Drehmoment aus der Schwerkraft um den Drehpunkt

m g R \sin θ

$mgR\sin\theta$ . Ich denke, dass dies gleich dem Drehmoment der Reibungskraft um den Mittelpunkt der Kugel sein sollte? Wenn das der Fall ist, dann sollte die Reibungskraft gleich sein

m g \sin θ

$mg\sin\theta$ . Wenn der Ball eine Länge herunterrollt

L

$L$ , dann sollte die Arbeit durch Reibung verrichtet werden

- m g \sin θ L = - m g h

$-mg\sin\theta L=-mgh$ . Wenn die Arbeit durch die Schwerkraft verrichtet wird

+ m g h

$+mgh$ , dann bedeutet das, dass die Gesamtarbeit null ist. Das scheint nicht richtig...

Eric David Kramer

Warte, ich liege falsch! Die Drehmomente sind nicht gleich. Einer von ihnen muss gleich sein

I α

$I\alpha$ und der andere zu

(m R^{2} + I) α

$(mR^2+I)\alpha$ nach dem Parallelachsensatz. Daher muss die Reibungskraft kleiner sein als

m g \sin θ

$mg\sin\theta$ . Die Reibungskraft wird negative Arbeit leisten und die Gesamtarbeit wird die endgültige (lineare) kinetische Energie des Balls sein und das ist die Antwort! Der Arbeitsenergiesatz aus

F = m a

$F=ma$ ist nur für lineare Bewegung!

Tal

@EricDavidKramer Wie oben sehr deutlich erklärt, ist die durch Reibung geleistete Arbeit 0. Es gibt keine Mehrdeutigkeit oder Ambivalenz. Es ist 0. Dass es ein Drehmoment erzeugt, bedeutet nicht, dass es funktioniert. Es leistet weder negative noch positive Arbeit. Es macht 0 Arbeit. Sie haben Recht, dass der Arbeitsenergiesatz nur die Translations-KE beschreibt,

Eric David Kramer

Entschuldigung, ich bin nicht einverstanden mit dem, was Sie sagen.

Eric David Kramer

\sum {\vec{F}}_{b a l l} = m {\vec{a}}_{C M, b a l l}

$\sum \vec{F}_{\rm ball} = m \vec{a}_{\rm CM, ball}$ . Integrieren wrt

{\vec{r}}_{b a l l}

$\vec{r}_{\rm ball}$ und bekomme

\int \sum {\vec{F}}_{b a l l} \cdot d {\vec{r}}_{C M, b a l l} = \frac{1}{2} m {\vec{v}}_{C M, b a l l, f}^{2} - \frac{1}{2} m {\vec{v}}_{C M, b a l l, i}^{2}

$\int\!\sum \vec{F}_{\rm ball} \cdot d\vec{r}_{\rm CM, ball} = \frac12 m \vec{v}_{\rm CM, ball, f}^2-\frac12 m \vec{v}^2_{\rm CM, ball, i}$ . Das ist eine mathematische Tatsache. Und

\sum {\vec{F}}_{b a l l}

$\sum \vec{F}_{\rm ball}$ umfasst die Haftreibung und die Verschiebung des Massenschwerpunkts

d {\vec{r}}_{C M, b a l l}

$d\vec{r}_{\rm CM, ball}$ ist ungleich Null. Vielleicht streiten wir nur über die Nomenklatur.

Tal

Es ist keine Frage der Meinung. Was Sie sagen, ist sachlich falsch. Die Reibungskraft leistet keine Arbeit, und es ist ein Missbrauch des Arbeitsenergiesatzes, jemals zu versuchen, ihn zu verwenden, um zu versuchen, die von einer einzelnen Kraft geleistete Arbeit zu bestimmen. Die Nettokraft beinhaltet zwar die Reibungskraft, aber das Arbeitsenergietheorem sagt Ihnen niemals etwas über die Arbeit einer einzelnen Kraft aus. Auch dann nicht, wenn nur eine einzige Kraft auf das System wirkt.

Tal

Sehen Sie, es ist nicht Ihre Schuld, dass der Arbeitsenergiesatz so schlecht gelehrt wird. Und es ist auch nicht Ihre Schuld, dass die mechanische Kraftformel im Lehrplan nicht betont wird. Aber als Physiker seit den frühen 2000er Jahren und Physiklehrer in den letzten Jahren sage ich Ihnen geradeheraus, dass Sie hier falsch liegen.

Eric David Kramer

Ich freue mich für dich, dass du Physiklehrer bist, aber ich möchte, dass du mir sagst, was an meiner Berechnung falsch ist. Ich habe eine integrale Arbeit an

\sum F = m a_{C M}

$\sum F = ma_{CM}$ . Die von der Schwerkraft geleistete Arbeit ist

m g h

$mgh$ , und das

Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\Delta \frac12 m v^2_{CM}$ ist weniger als

m g h

$mgh$ . Warum sind

\int F_{g} d x_{C M}

$\int\! F_g dx_{CM}$ Nicht gleichzusetzen mit

Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\Delta \frac12 m v^2_{CM}$ ?

Tal

Deine Berechnungen sind in Ordnung. Physik ist mehr als nur Rechnen. Sie müssen auch die Bedeutung der Berechnung verstehen. In diesem Fall gibt Ihnen das Integral der Nettokraft über die Entfernung, manchmal verwirrenderweise als „Netzwerk“ bezeichnet, NUR die Änderung in Translations-KE. Es liefert keine zusätzlichen Informationen. Insbesondere sagt es nichts über die Arbeit der Schwerkraft aus. Der Grund dass

\int F_{g} d x_{C M} \neq Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\int F_g dx_{CM} \ne \Delta \frac{1}{2}mv^2_{CM}$ liegt daran, dass es sich um völlig unabhängige Größen handelt, die nichts miteinander zu tun haben

Eric David Kramer

Ich verstehe. Also ist es richtig zu sagen

\int F_{g} d x_{C M} = Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2} + \int f_{s} d x_{C M}

$\int F_g dx_{CM} = \Delta \frac12 m v_{CM}^2 + \int f_s dx_{CM}$ , Wo

f_{s}

$f_s$ ist die Haftreibung?

Tal

Ja, das ist richtig. Jedoch,

\int f_{s} d x_{C M}

$\int f_s dx_{CM}$ ist nicht die von der Reibungskraft verrichtete Arbeit. Das ist

\int {\vec{f}}_{s} \cdot \vec{v} d t = 0

$\int \vec f_s \cdot \vec v \ dt =0$ . Die Reibungskraft wird nicht im Massenmittelpunkt aufgebracht

Eric David Kramer

OK, ich glaube, ich habe es jetzt verstanden, danke. Ihre Erläuterungen waren hilfreich. Was ich eigentlich fragen wollte war, ob

\int {\vec{f}}_{s} \cdot {\vec{v}}_{C M} d t

$\int \vec{f}_s\cdot \vec{v}_{CM} dt$ ist ungleich Null. Und es ist. Entschuldigung für die Verwendung des Wortes "Arbeit". Vielleicht sollten wir ihm einen neuen Namen geben. Der "Schmerk". Der durch die Haftreibung bewirkte Shmerk ist ungleich Null. Ich mag es.

Eric David Kramer

Eine Erklärung dazu habe ich gerade bei Kleppner & Kolenkow, Beispiel 6.17 (S.268) gefunden. Ihre Sichtweise scheint irgendwo zwischen deiner und meiner zu liegen.

Eric David Kramer · Answer 3

Eric David Kramer

Ja, der Track funktioniert. Sie können überprüfen, ob die Endgeschwindigkeit des Balls kleiner als ist $\sqrt{2gh}$ . Dies liegt daran, dass die Reibungskraft negative Arbeit verrichtete.

Genau das sagt der Arbeitsenergiesatz: Die Summe der Kräfte auf einen Körper multipliziert mit der Verschiebung des Massenschwerpunkts des Körpers ist gleich der Änderung in $\frac12 mv^2$ , Wo $v$ ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts des Objekts. Genau das passiert hier. Die Haftreibungskraft wirkt der Bewegung der Kugel entgegen und reduziert ihre endgültige lineare kinetische Energie.

Was die Energieerhaltung betrifft, so ist die von der Reibungskraft geleistete Arbeit genau gleich der endgültigen kinetischen Rotationsenergie der Kugel. Die Gesamtänderung der kinetischen Energie (linear plus rotatorisch) ist tatsächlich gleich $mgh$ . So gehen alle glücklich nach Hause :).

Johannes Jäger

Ja und nein, es ist wahr, dass die resultierende lineare Kraft den Hang hinunter ist

m g \sin θ - F

$mg\sin\theta - F$ so ist die lineare kinetische Energie

(m g \sin θ - F) d = m g h - F d

$(mg\sin\theta - F)d = mgh - Fd$ , in diesem Sinne gilt also das Arbeits-Energie-Theorem. Es scheint jedoch nicht gültig zu sein zu sagen, dass die Reibungskraft negative Arbeit leistet. Das erzeugte Rotations-KE ist wie Fd, aber

T α

$T\alpha$ Wo

T

$T$ ist das Drehmoment des Teils des Gewichts, das keine lineare Beschleunigung verursacht, dh

T = (m g \sin θ - (m g \sin θ - F)) \times r = F r

$T = (mg\sin\theta - (mg\sin\theta - F)) \times r = Fr$ , So

T α

$T\alpha$ Dreh-KE aufgrund des Gewichts ist

F r \times d / r = F d

$Fr\times d/r = Fd$ , numerisch gleich, aber von der Schwerkraft.

Tal

Die Strecke funktioniert nicht. Die Energie der Strecke ändert sich nicht. Wenn die Bahn negative Arbeit leisten würde, ohne Energie zu gewinnen, würde Energie nicht erhalten bleiben. Es würde auf magische Weise verschwinden.

Eric David Kramer

Die Strecke gewinnt sicherlich an Energie, aber sie ist unendlich massiv, sodass die Geschwindigkeitsänderung null ist.

Tal

@EricDavidKramer tut es nicht. Um dies explizit zu sehen, lassen Sie die Bahn Masse haben

M

$M$ . Führen Sie die Berechnung durch und nehmen Sie dann die Grenze, wenn M gegen unendlich geht. Die Energie ist Null. Aber selbst bei endlichem M ist die durch die Strecke gewonnene Energie nicht gleich der Menge, die Sie fälschlicherweise behaupten. Ihre Erklärung schlägt also auch für eine endliche Massenrampe fehl

Johannes Jäger

@ Dale, Eric, Dale hat Recht. Sie können sich eine Reflexion der Strecke vorstellen, die mit dem Original verbunden ist, und zwei Kugeln, die herunterrollen, eine auf jeder Seite. Alle Kräfte auf den Schienen würden sich aufheben, wenn also Energie durch die Schienen von den Kugeln gewonnen wird, muss es sich um Wärme handeln. Eine gleitende Masse erwärmt eine Bahn, eine rollende Kugel jedoch nicht. Der KE ist nicht so hoch, einfach weil der GPE-Verlust zwischen Translationsbewegung und Rotations-KE geteilt wird. Der Rotations-KE muss erzeugt werden, damit der Ball rollt, das ist die Rolle, die Reibung spielt, es macht den GPE nicht in der Lage, vollständig in Translation umzuwandeln KE

Karl Witthöft

@Dale Wenn Sie die Impulserhaltung verwenden, bewegt sich die Erde (einschließlich der schiefen Ebene) rückwärts, um dem Impuls des Balls zu entsprechen. Aber ich stimme zu, dass es keine Reibungskraft ist, die diese Arbeit erledigt.

RW Vogel

Durch Energieerhaltung: mgh = (1/2)m

v^{2}

$v^2$ + (1/2)I

ω^{2}

$ω^2$ wobei ω = v/r.

Eric David Kramer

OK, ich nehme es zurück, der Track gewinnt keine Energie, sorry. Aber kann die Reibungskraft nicht immer noch negative Arbeit am Schwerpunkt (CM) leisten? Das muss er, denn die Reibungskraft beschleunigt die CM nach dem 2. Newtonschen Gesetz. Integrieren Sie das zweite Newtonsche Gesetz bzgl

{\vec{r}}_{C M}

$\vec{r}_{CM}$ und du bekommst:

\int m a_{C M} d x_{C M} = \int m \frac{d v_{C M}}{d t} v_{C M} d t = Δ \frac{1}{2} m v_{C M}^{2}

$\int m a_{CM} dx_{CM} = \int m \frac{dv_{CM}}{dt}v_{CM}dt = \Delta \frac12 m v_{CM}^2$ . Vielleicht ist es falsch zu sagen, dass der Track funktioniert. Die Kraft wirkt. Die Reibungskraft bewegt sich, aber nicht die Strecke.

Eric David Kramer

Ich sehe, dass John Hunter meine Frage in seinem Kommentar beantwortet hat. Aus irgendeinem Grund ist mir das entgangen. @JohnHunter Danke!