Gibt es eine mathematische Ableitung der potentiellen Energie, die nicht in der Energieerhaltung verwurzelt ist?

Question

Gibt es eine mathematische Ableitung der potentiellen Energie, die nicht in der Energieerhaltung verwurzelt ist?

Miau

Der Einfachheit halber werde ich nur die Schwerkraft betrachten, aber im Allgemeinen gilt diese Frage nur für konservative Kräfte.

Nach meinem Verständnis kommt man folgendermaßen zur Gleichung für Gravitationspotentialenergie:

$(1)$ $\ddot{r}=-\frac{MG}{r^2}$ wird experimentell gegeben

$(2)$ $KE=\frac{1}{2}m\dot{r}^2$ wird theoretisch hergeleitet und (gedacht) experimentell

$(3)$ Energie wird eingespart

$(4)$ Für einen Satz generischer Anfangsbedingungen gilt:

Verwenden $(1)$ , finden $r(t)$ und dann ableiten $\dot{r}(r)$
Verwenden $(2)$ finden $KE(r)$
Verwenden $(3)$ , $PE(r)=E_0-KE(r)$

Ist das eine richtige Methode?

Wenn die Antwort 'nein' ist, endet meine Frage hier, wenn nicht: sicherlich $(3)$ ist per definitionem richtig (zirkulär), und die Gleichung für potentielle Energie ist also willkürlich? Ich wäre daran interessiert, eine Methode zu sehen, die dies nicht tut (oder überhaupt richtig ist, wenn die Antwort "nein" war ).

Miau

Als Beispiel für

(2)

$(2)$ , physical.stackexchange.com/questions/535/…

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

Die Sache ist die, dass Potenzial die "Energie aufgrund der Position" ist, und wenn es nicht konservativ ist, dann ist es überhaupt nicht gut definiert. Das heißt, wenn auf verschiedenen Wegen zwischen zwei Punkten eine unterschiedliche Energiemenge verfügbar ist, gibt es keine eindeutige Zahl, die Sie als potenzielle Energie bezeichnen können.

Miau

Entschuldigung, ich habe vergessen anzugeben, dass ich nur über konservative Kräfte nachgedacht habe.

QMechaniker

Möglicherweise verwandt: physical.stackexchange.com/q/41005/2451 und physical.stackexchange.com/q/19055/2451

Antworten (5)

Gibt es eine mathematische Ableitung der potentiellen Energie, die *nicht* in der Energieerhaltung verwurzelt ist?

Als Beispiel für $(2)$ , physical.stackexchange.com/questions/535/…
Die Sache ist die, dass Potenzial die "Energie aufgrund der Position" ist, und wenn es nicht konservativ ist, dann ist es überhaupt nicht gut definiert. Das heißt, wenn auf verschiedenen Wegen zwischen zwei Punkten eine unterschiedliche Energiemenge verfügbar ist, gibt es keine eindeutige Zahl, die Sie als potenzielle Energie bezeichnen können.
Entschuldigung, ich habe vergessen anzugeben, dass ich nur über konservative Kräfte nachgedacht habe.
Möglicherweise verwandt: physical.stackexchange.com/q/41005/2451 und physical.stackexchange.com/q/19055/2451

Jerry Schirmer · Answer 1

Es bedarf keiner empirischen Evidenz. Das ist reine Mathematik.

Schritt 1:

Angenommen, eine Kraft ist konservativ. Das bedeutet, dass ${\vec \nabla} \times {\vec F} =0$

Schritt 2:

Dann wissen Sie über den Satz von Green, dass die Menge $\int_{a}^{b}{\vec F}\cdot d{\vec s}$ hängt nicht davon ab, welchen Weg man von a nach b nimmt. (äquivalent ist dieses Integral Null, wenn der Pfad einer geschlossenen Schleife entspricht)

Schritt 3:

Da der Wert dieses Integrals unabhängig vom Pfad ist, können Sie dann sagen, dass der Wert von $\int_{a}^{b}{\vec F}\cdot d{\vec s}$ hängt NUR von den Punkten a und b ab, und deshalb können wir uns ein Feld vorstellen, das a-Werte annimmt $V(a)$ Und $V(b)$ und das befriedigt $\Delta V_{a\rightarrow b} = -\int_{a}^{b}{\vec F}\cdot d{\vec s}$

Schritt 4:

Da (wir gehen davon aus $\vec F$ ist hier die einzige Kraft im Universum), ${\vec F} = m{\vec a}$ , haben wir (verzeihen Sie meinen Missbrauch von Differentialen, die den dt verschieben, es ist schneller als das strengere Ergebnis mit der Kettenregel):

\begin{aligned} \int \vec{F} \cdot D \vec{S} & = M \int \vec{A} \cdot D \vec{S} \\ = M \int \frac{D \vec{v}}{D T} \cdot D \vec{S} \\ = M \int D \vec{v} \cdot \frac{D \vec{S}}{D T} \\ = M \int \vec{v} \cdot D \vec{v} \\ = \frac{1}{2} M v_{F}^{2} - \frac{1}{2} M v_{ich}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \int {\vec F}\cdot d{\vec s} &= m\int {\vec a}\cdot d{\vec s}\\ &= m\int \frac{d{\vec v}}{dt}\cdot d{\vec s}\\ &= m\int d{\vec v} \cdot \frac{d{\vec s}}{dt}\\ &=m\int {\vec v}\cdot d{\vec v}\\ &=\frac{1}{2}mv_{f}^{2} - \frac{1}{2}mv_{i}^{2} \end{align}$

Schritt 5:

Wenn wir also die Schritte 3 und 4 zusammenfügen, finden wir das

Δ v = - Δ K E

$\Delta V = - \Delta KE$

oder, wie häufiger geschrieben wird

Δ K E + Δ P E = 0

$\Delta KE + \Delta PE = 0$

Es sind also keine wirklichen Annahmen oder empirischen Beobachtungen notwendig. Alles, was es ist, ist Kalkül und beginnend mit einer Kraft, die konservativ ist (die von Ihnen zitierte Gravitationskraft erfüllt ${\vec \nabla} \times {\vec F} = 0$ , die Sie überprüfen können.). Beachten Sie, dass Sie mit dieser Methode die potentielle Energie für JEDE konservative Kraft ableiten können, ohne sich auf die Energieerhaltung zu berufen - Sie beweisen tatsächlich letztere, ohne sie anzunehmen!

Danke für die mathematische Beschreibung. Gibt es für Energie und Arbeit nichts anderes als „einen Wert, der erhalten bleibt“ (wenn auch nicht auf die gleiche Weise oder natürlich)?
@Alyosha: Es gibt tiefere Definitionen für das, was Sie mit Energie meinen, aber das erfordert, dass Sie etwas über Hamiltonianer und Lagrangeianer wissen, was Sie vermutlich nicht wissen, und es würde mehrere Kapitel eines Buches erfordern, um sie wirklich gut zu erklären.

Chris Gerig · Answer 2

Haben Sie ein Problem damit, dass Kraft die Ableitung der potentiellen Energie ist (bis auf ein Minuszeichen)? Denn dann verifizierst du das experimentell (Schwerkraft zum Beispiel). $F=-GmM/r^2$ und nun $U=\int\frac{dU}{dr}dr=-\int Fdr = GmM\int \frac{dr}{r^2}=-GmM/r$ (bis auf eine Konstante).

Damit sind natürlich konservative Kräfte und Energien verbunden, aber es gibt keinen Zirkelschluss. (Möglicherweise habe ich Ihre Bedenken übersehen.)

QMechaniker · Answer 3

Die Definition der potentiellen Energie einer konservativen Kraft wurzelt nicht in der Energieerhaltung. Beispielsweise könnte die mechanische Energie eines Systems z. B. aufgrund von Reibung schrumpfen, aber der Begriff der potentiellen Energie könnte immer noch gut definiert sein.

Im Allgemeinen ist der Unterschied $V(B) - V(A)$ in potentieller Energie (verbunden mit einer konservativen Kraft ${\bf F}$ ) zwischen den Positionen $A$ Und $B$ , ist definiert als minus der Arbeit $W=\int_{A}^{B} {\bf F}\cdot d{\bf r}$ getan, um von der Kraft zu bekommen $A$ Zu $B$ auf jedem Weg.

Woher kommt die Arbeitsgleichung? Ist das ihre Definition oder ist sie empirisch begründet? Und ist kinetische Energie durch irgendetwas definiert, oder haben Physiker die Gleichung dafür so geformt, dass sie auf eine alltägliche Sache passt?
Qmechanic hat genau dasselbe gesagt wie ich. Ja, es ist eine Definition.

Benutzer11266 · Answer 4

Die korrekte Definition der Änderung der potentiellen Energie ist das Gegenteil der Arbeit, die von internen Kräften eines Systems verrichtet wird . Nachlässige Lehrbuchautoren lassen den Punkt aus, dass sie sich zuerst für ein System entscheiden müssen. In ihrer allgemeinsten Form ist Arbeit das Linienintegral einer Kraft entlang eines Weges. Daher ist auch die Änderung der potentiellen Energie und der potentiellen Energie selbst ein Integral.

Juanrga · Answer 5

Obwohl hier mehrere richtige Antworten gegeben wurden, werde ich versuchen, eine alternative Antwort zu geben, die Ihre Gleichungen verwendet.

Die Bewegungsgleichung, die entweder durch Standard-Hamilton- oder Lagrange-Methoden erhalten wird, für einen Körper mit kinetischer Energie, die durch Ihren Ausdruck (2) gegeben ist, lautet

M \ddot{R} = - \frac{\partial v}{\partial R}

$m \ddot{r} = - \frac{\partial V}{\partial r}$

Durch Vergleich mit Ihrer "experimentell gegebenen" Bewegungsgleichung (1) erhalten wir

\frac{\partial v}{\partial R} = \frac{G M M}{R^{2}}

$\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{GMm}{r^2}$

Durch direkte Integration

v = - \frac{G M M}{R} + v_{0}

$V = - \frac{GMm}{r} + V_0$

Die Integrationskonstante $V_0$ kann aus Randbedingungen gewonnen werden: Die potentielle Energie ist Null für unendlich getrennte Körper $r\rightarrow \infty$ . Das gibt $V_0=0$

Gibt es eine mathematische Ableitung der potentiellen Energie, die nicht in der Energieerhaltung verwurzelt ist?

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Benutzer11266

Juanrga

Funktioniert der Track? (zweiter Versuch) [duplizieren]

Beziehung zwischen potentieller Energie und konservativer Kraft

Stimmt das mit der potentiellen Energie?

Ist die Normalkraft eine konservative Kraft?

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