Wie kann das Gewicht eines starren Körpers daran arbeiten, dass er sich dreht?

Es ist wichtig zu bedenken, dass hier drei verschiedene Erhaltungsgrößen von Interesse sind: linearer Impuls, Drehimpuls und Energie. Die kinetische Rotationsenergie selbst ist keine Erhaltungsgröße.

Jede der Erhaltungsgrößen hat eine zugeordnete Änderungsrate oder einen „Fluss“. Die Änderungsrate des linearen Impulses ist die Kraft, die Änderungsrate des Drehimpulses ist das Drehmoment und die Änderungsrate der Energie ist die Leistung.

Jede Interaktion kann alle drei erzeugen: Kraft, Drehmoment und Leistung. Es ist nicht erforderlich, dass die Kraft, die Drehmoment liefert, auch Leistung liefert.

Für eine Scheibe, die ohne Schlupf rollt, gibt es zwei Wechselwirkungen, die Gravitationswechselwirkung und die Reibungswechselwirkung. Unter der Annahme, dass keine Dissipation stattfindet, ist es einfach zu zeigen, dass die Änderung des linearen Impulses gleich der Summe der Reibungs- und Gravitationskräfte ist, dass die Änderung des Drehimpulses (um den Massenschwerpunkt) gleich dem Drehmoment aus der Reibung ist nur, und dass die Änderung der Energie nur der Kraft der Schwerkraft entspricht.

Es ist falsch anzunehmen, dass das Drehmoment keine Energie liefern muss. Es tut nicht. Es liefert nur Drehimpuls. Nur die Kraft liefert Energie, und die kommt vollständig aus der Gravitationswechselwirkung. Die Reibungswechselwirkung liefert ein Drehmoment. Es stellt keine Leistung bereit, obwohl es eine Einschränkung bereitstellt, die die Leistung in Rotations- und Translations-KE aufteilt. Das Bereitstellen einer solchen Beschränkung erfordert selbst keine Energie.

Für eine Reibungskraft$\vec F_{fric}$, ist die Arbeit, die durch Reibung für eine ebene Bewegung verrichtet wird$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$+$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$Wo$\vec v$ist die Geschwindigkeit des CM,$\vec \tau_{fric}$ist das Drehmoment um das CM aufgrund der Reibungskraft, und$\vec \omega$ist die Winkelgeschwindigkeit um das CM. Die durch Reibung geleistete Arbeit hat zwei Begriffe: die durch Reibung am CM geleistete Arbeit,$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$, und die Arbeit, die durch Reibung in Bezug auf die CM geleistet wird,$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$. In bestimmten Situationen ist die Summe dieser beiden Terme Null und Reibung funktioniert nicht (z. B. Rollen ohne Rutschen), während in anderen Situationen die Summe dieser beiden Terme nicht Null ist und Reibung funktioniert (z. B. Rutschen). Siehe Konsistenter Ansatz zur Berechnung der Arbeit durch Reibung für starre Körper in planarer Bewegung

Ich bin verwirrt über den Ursprung der kinetischen Rotationsenergie des Zylinders. Da die Haftreibung und die Normalkraft am Kontaktpunkt mit der Ebene aufgebracht werden, kann keine von beiden am Zylinder arbeiten (weshalb seine mechanische Energie erhalten bleibt), da der Zylinder zwangsläufig nicht gleitet. Dies scheint zu implizieren, dass die kinetische Rotationsenergie des Zylinders aus der Arbeit stammt, die durch sein Gewicht geleistet wird.

Einfach ausgedrückt ist der Ursprung der kinetischen Rotationsenergie die Aufspaltung der anfänglichen potenziellen Gravitationsenergie in kinetische Translationsenergie plus kinetische Rotationsenergie, anstatt nur in kinetische Translationsenergie umgewandelt zu werden, wie dies beim reinen Gleiten der Fall ist. Die kinetische Rotationsenergie ist auf das Nettodrehmoment um den Massenmittelpunkt (CM) des Zylinders zurückzuführen, das durch die Haftreibungskraft erzeugt wird.

Folgendes berücksichtigen:

1. Ohne Haftreibung würde der Zylinder ohne Drehung die schiefe Ebene hinabgleiten. Dann wäre seine kinetische Energie streng die kinetische Translationsenergie seines Massenschwerpunkts (CM) und Sie hätten

Wo$h$wäre die vom CM zurückgelegte vertikale Strecke und$v_{cm}$ist die Geschwindigkeit des CM am unteren Ende der Steigung.

Was Ihnen eine Endgeschwindigkeit zum Gleiten ohne Drehen geben würde

2. Bei statischer Reibung und ohne Gleiten verursacht die statische Reibung ein Drehmoment um das CM und somit eine Drehung um das CM zusätzlich zur Translation des CM. Jetzt wird die anfängliche potentielle Energie zwischen Translations- und Rotationskinetik aufgeteilt und ist gleich der Summe der Translations- und Rotationskinetik des Zylinders am Fuß der Schräge, oder

Wo$I$ist das Trägheitsmoment des Zylinders und$\omega$ist seine Winkelgeschwindigkeit. Für einen Vollzylinder mit Radius$r$,

Und

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen in die vorherige Gleichung einsetzen, erhalten wir

Beachten Sie, dass die Geschwindigkeit (und die kinetische Translationsenergie) des Massenschwerpunkts für den rotierenden Zylinder am unteren Ende der Steigung geringer ist als die Geschwindigkeit (und die kinetische Translationsenergie) des Zylinders, der die Steigung hinuntergleitet, ohne sich zu drehen, da es keine Statik gibt Reibung. Das muss so sein, weil die anfängliche potentielle Gravitationsenergie in translatorische und rotatorische kinetische Energie aufgeteilt wird.

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Aber ich bin immer noch etwas verwirrt darüber. Da die kinetische Rotationsenergie des Zylinders aus der potenziellen Gravitationsenergie stammt, die er oben auf der Ebene hatte, muss es so sein, dass sein Gewicht Arbeit verrichtet, die die Rotation verursacht. Aber ich verstehe nicht, wie das passieren kann, da das Gewicht kein Drehmoment um den Massenmittelpunkt ausübt.

Es ist die Haftreibungskraft, die das Drehmoment um das CM verursacht, nicht das Gewicht. Das Drehmoment$\tau$verursacht durch die Haftreibungskraft$F_s$wo der Radius des Zylinders ist$r$Ist

Das Gewicht begrenzt die maximal mögliche Haftreibungskraft. Wird die maximale Haftreibungskraft überschritten, beginnt der Zylinder zu rutschen.

Die maximal mögliche Haftreibungskraft ist

Wo$\theta$ist der Neigungswinkel und$\mu$ist der Haftreibungskoeffizient. Damit der Zylinder rollt ohne zu rutschen,

Ich habe unten die Freikörperdiagramme des Zylinders eingefügt, der ohne Rollen gleitet und ohne Gleiten rollt.

Hoffe das hilft.

Ich glaube, die Verwirrung liegt an der Haftreibung, die auf den Zylinder wirkt. Da hier keine Gleitreibung wirkt, gilt die allgemeine Formel$f=\mu N$wird ungültig gemacht. Es ist zu beachten, dass Reibung die einzige Kraft ist, die ein Drehmoment bereitstellt, damit der Zylinder rollt und nicht nur gleitet, wie in Ihrem zweiten Fall, wo der Zylinder auf einer reibungsfreien Neigung platziert wird.

In Anbetracht Ihres ersten Beispiels legt das Freikörperdiagramm dies nahe$mgsin\theta-f=ma$(hier ist f die auf den Zylinder wirkende Reibungskraft, m die Masse des Zylinders, a die Nettobeschleunigung und$\theta$ist der Neigungswinkel)

Aus der Beziehung des Nettodrehmoments zur Winkelbeschleunigung$\tau=I\alpha$ $\Rightarrow Rf=\frac{MR^{2}}{2}\times \frac{a}{R}$(wobei I das Trägheitsmoment des Vollzylinders ist ($MR^{2}/2$in diesem Fall) ist R der Radius des Zylinders und$\alpha$ist die Winkelbeschleunigung des Zylinders)

Durch Lösen dieser Gleichungen erhalten wir$f=\frac{mg}{2}$und nicht mg , das Ergebnis, das wir bekommen hätten, wenn wir einfach direkt ersetzt hätten$f=\mu N$

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Zylinder aufgrund des Drehmoments, das durch die Reibungskraft auf den Zylinder wirkt, eine gewisse Menge an kinetischer Rotationsenergie erhält