Frage

Wie kann die Reibungsarbeit an einem starren Körper berechnet werden?

Zahlreiche Fragen und Antworten zu diesem Austausch beschäftigen sich mit Reibungsarbeit. Einige der früheren Fragen / Antworten führen meiner Meinung nach zu Verwirrung, da sie sich ohne weitere Erläuterung auf die Reibungserwärmung eines Objekts beziehen. Siehe zum Beispiel die kurze Erörterung von „Erhitzen“ in der ersten Antwort auf die knifflige konzeptionelle Frage: Ballrutschen und Abrollen einer Steigung. In Wirklichkeit erhöht Reibung die innere Energie eines Körpers ("erhitzen"). Die meisten Reibungsbehandlungen in der elementaren Mechanik gehen jedoch von einem starren Körper aus, und für einen starren Körper kann Reibung seine innere Energie nicht ändern. Eine Erwärmungsbehandlung erfordert eine Anwendung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, aber viele der Fragen auf dieser Seite, die sich mit Reibungsarbeit befassen, können unter der Annahme eines starren Körpers beantwortet werden, zum Beispiel die erste Antwort auf die obige Frage für eine Kugel, die implizit eine Steigung hinunterrutscht behandelt den Ball als starren Körper; daher gibt es entgegen der Antwort keine Erwärmungseffekte. Ich gehe später in Beispiel # 2 in meiner ausführlichen Antwort unten ausführlich auf einen Ball ein, der eine Steigung hinunterrutscht.

In der folgenden Antwort fasse ich einen konsistenten Ansatz von @user256872 zusammen .

Meine Antwort

Zusammenfassung

Reibung führt zu einer „Erwärmung“ eines Körpers oder genauer gesagt zu einer Erhöhung der inneren Energie eines Körpers. Viele mechanische Probleme behandeln den Körper jedoch als „starren Körper“. In einem starren Körper behalten die Teilchen definitionsgemäß immer eine feste Position zueinander bei und bewegen sich nur mit dem Körper als Ganzem. Daher kann es innerhalb eines wirklich starren Körpers keine Energiedissipation geben.

Für ein Teilchensystem gilt das immer$\vec F = M \vec a_{CM}$und das$\vec \tau = { {d\vec J} \over {dt}}$(für Drehung um einen festen Punkt oder den Massenmittelpunkt für allgemeine Bewegung).$\vec F$ist die äußere Nettokraft,$M$ist die Systemmasse,$\vec a_{CM}$ist die Beschleunigung des Massenmittelpunkts,$\vec \tau$ist das äußere Nettodrehmoment, und$\vec J$ist der Drehimpuls. Jedoch, wenn$\vec J$wie genommen als$\tilde I \cdot \vec \omega$(oder$J = I \omega$für Drehung in einer Ebene), wobei$\tilde I$ist der Trägheitstensor und$\vec \omega$die Winkelgeschwindigkeit ist, ist diese spezifisch für einen starren Körper, da der Trägheitstensor unter der Annahme eines starren Körpers entwickelt wird. (Siehe einen Physik-Mechanik-Text wie Symon, Mechanics oder Goldstein, Classical Mechanics). Daher sind Auswertungen, die verwenden$J = I\omega$nehmen implizit einen starren Körper an. Einige Auswertungen, die verwenden$J = I\omega$, wie eine Antwort in dem früheren Beitrag, auf den im Abschnitt „Frage“ oben verwiesen wird, behaupten, dass Reibung eine Erwärmung verursacht, was falsch ist; Reibung verursacht nur eine Änderung der kinetischen Energie, wie in meiner folgenden ausführlichen Antwort erläutert.

Ich denke, eine Antwort von @ user256872 auf eine frühere Frage liefert den Schlüssel, um die Auswirkungen der Reibung auf einen starren Körper anzugehen. Dieser Ansatz bewertet die durch Reibung geleistete Arbeit, indem diese Arbeit in zwei Teile getrennt wird: Arbeit für Translationsbewegung und Arbeit für Rotationsbewegung; Es folgt eine ausführliche Diskussion dieses Ansatzes, in der der von @user256872 verwendete Ansatz erläutert wird, und es werden einige Folgefragen gestellt.

Ausführliche Diskussion

Annahmen

Der Einfachheit halber beschränkt sich die Diskussion auf die folgenden Bedingungen. Ich betrachte einen starren Körper in planarer Bewegung. Ich betrachte Bewegung, bei der entweder kein Rotationsfestpunkt vorhanden ist oder der Rotationsfestpunkt der Massenmittelpunkt (CM) ist. Ich betrachte keine Drehung um einen festen Punkt, der nicht das CM ist.

Bei einem starren Körper gibt es keine interne Energiedissipation und daher verursacht Reibung keine „Erhitzungseffekte“; Die gesamte Arbeit am Körper aufgrund von Reibung verändert die gesamte kinetische Energie des Körpers. Die gesamte kinetische Energie des Körpers ist die kinetische Energie des CM plus die Rotationsenergie um das CM:${1 \over 2} mv^2 + {1 \over 2} I \omega^2$, Wo$m$ist die Gesamtmasse,$v$ist die Geschwindigkeit des CM,$I$ist das Trägheitsmoment um eine Achse durch das CM, und$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit um den Massenmittelpunkt. Die Bewegung des CM wird durch das erste Gesetz erhalten:$\vec F = m \vec a$Wo$\vec F$ist die äußere Nettokraft,$m$ist die Gesamtmasse und$\vec a$ist die Beschleunigung des CM. Die Rotation um das CM – auch wenn das CM beschleunigt – wird erhalten durch$\vec \tau = I \vec \alpha$Wo$\vec \tau$ist das Nettodrehmoment über dem CM und$\vec \alpha$ist die Winkelbeschleunigung um den CM. Die geleistete Arbeit (von allen Kräften) ist gleich der Änderung der gesamten kinetischen Energie.

Arbeit durch Reibung

Basierend auf der früheren Antwort von @ user256872 für eine Reibungskraft$\vec F_{fric}$, die durch Reibung verrichtete Arbeit ist$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$+$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$Wo$\vec v$ist die Geschwindigkeit des CM,$\vec \tau_{fric}$ist das Drehmoment um das CM aufgrund der Reibungskraft, und$\vec \omega$ist die Winkelgeschwindigkeit um das CM. Die durch Reibung geleistete Arbeit hat zwei Begriffe: die durch Reibung am CM geleistete Arbeit,$\int \vec F_{fric} \cdot\vec vdt$, und die Arbeit, die durch Reibung in Bezug auf die CM geleistet wird,$\int \vec \tau_{fric} \cdot\vec \omega dt$. In bestimmten Situationen ist die Summe dieser beiden Terme Null und Reibung funktioniert nicht, während in anderen Situationen die Summe dieser beiden Terme nicht Null ist und Reibung funktioniert. Die durch die Schwerkraft an einem Körper verrichtete Arbeit ist$-mg \Delta z$Wo$g$ist die Erdbeschleunigung und$\Delta z$ist die Zunahme (positiv nach oben) in der Höhe des CM. (Diese Arbeit wird typischerweise als das Negative der Änderung der potentiellen Energie behandelt$mg \Delta z$.) Für die folgenden Beispiele vereinfacht sich die durch Reibung am CM verrichtete Arbeit zu$\int F_{fric} dx$Wo$x$ist die Verschiebung entlang der Richtung der Reibungskraft, und die Arbeit, die durch Reibung in Bezug auf das CM verrichtet wird, vereinfacht sich zu$\int \tau_{fric} d \theta$Wo$\theta$der Winkelabstand bezüglich des CM ist.

1. Rollen ohne Rutschen

Stellen Sie sich einen runden Körper (Kugel, Zylinder usw.) vor, der eine Neigung hinunterrollt, beginnend im Ruhezustand, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Angenommen, der Körper rollt, ohne zu rutschen. Bewerten Sie diesen Fall anhand der Gleichungen für Bewegung und Arbeit/Energie und zeigen Sie, dass die Gesamtenergie am unteren Ende der Steigung bei beiden Ansätzen gleich ist. Für diesen Fall des reinen Rollens eines starren Körpers funktioniert die Reibung nicht, was manchmal dadurch erklärt wird, dass es keine Relativbewegung (kein Gleiten) zwischen dem Kontaktpunkt des Körpers und der Oberfläche der Neigung gibt. Die einzige Kraft, die auf den Körper wirkt, ist die Schwerkraft, also die Gesamtenergie am Fuß der Steigung$mgh = {1 \over 2}mv^2 + {1 \over 2}I \omega^2$. Da der Körper abrollt, ohne zu rutschen,$\omega = v/R$, Und$mgh = {1 \over 2}mv^2 + {1 \over 2}I v^2/R^2$. Die gesamte kinetische Energie wird zwischen der kinetischen Energie der CM und der Rotationsenergie um die CM aufgeteilt. Da nur die Schwerkraft wirkt, ist die gesamte kinetische Energie die gleiche wie bei einer reibungslosen Steigung,$mgh$, außer dass ohne Reibung die gesamte kinetische Energie die kinetische Energie des CM ist und die Rotationsenergie um das CM null ist. Bei reiner Rollreibung – im Gegensatz zu dem Fall ohne Reibung – bewirkt die Reibung zwar keine Arbeit, aber sie bewirkt, dass die kinetische Energie des CM abnimmt und die Rotationsenergie um das CM zunimmt. Dies erklärt sich aus der Betrachtung der beiden Terme für die durch Reibung geleistete Arbeit. Die Arbeit durch Reibung am CM ist$-\int F_{fric} dx$, negativ, da Reibung der x-Bewegung entgegenwirkt; die Arbeit durch Reibung in Bezug auf das CM ist$\int \tau_{fric} d \theta = \int F_{fric}R dx/R$, Wo$d \theta = dx/R$ohne Schlupf. Der erste Term verringert die kinetische Energie des CM und der zweite Term erhöht die Rotationsenergie um das CM, aber die Summe der Terme ist null, da das durch Reibung geleistete Netzwerk null ist. Obwohl Reibung insgesamt keine Arbeit leistet, hat die Gesamtarbeit zwei Komponenten; eine Komponente verringert die kinetische Energie des CM und die andere Komponente erhöht die Rotationsenergie um das CM. Beim Rollen ohne Schlupf ist die Summe der beiden Komponenten Null.

2. Rollen mit Rutschen

Betrachten Sie als Nächstes den Fall, in dem der Körper rutscht, wenn er die Steigung hinabrollt. Hier wirkt die Reibungskraft, was manchmal durch die Tatsache erklärt wird, dass zwischen dem Kontaktpunkt des Körpers und der Neigung aufgrund von Schlupf eine Relativbewegung stattfindet. Dieser Fall kann anhand der Bewegungsgleichungen ausgewertet werden; siehe Analytical Mechanics von Fowles und auch diesen Beitrag . Beim Rutschen ist der Reibungskoeffizient$\mu$, darf nicht überschreiten${\tan\theta} \over{1 + (RM/I)^2}$, sonst rollt der Körper ohne zu rutschen ab. Das Lösen der Bewegungsgleichungen, die Zeit, um den unteren Rand der Steigung zu erreichen$t_1$Ist$\sqrt{{2h} \over {gsin\theta (sin\theta - \mu cos\theta)}}$Wo$\mu$ist der Gleitreibungskoeffizient. Die Geschwindigkeit$v$des CM unten ist$\sqrt{{2gh(sin\theta - \mu \cos\theta)} \over {sin\theta}}$, und die Winkelgeschwindigkeit$\omega$ganz unten ist${\mu mgR \over{I}}\sqrt{{2h} \over {gsin\theta(sin\theta - \mu sin\theta)}}$. Unter Verwendung dieser Ergebnisse ist die gesamte kinetische Energie am Boden$1/2 mv^2 + 1/2 I \omega^2 = mgh - mgh {\mu cos \theta \over sin \theta} + {5 \mu^2mghcos^2 \theta \over 2sin \theta(sin \theta - \mu cos \theta)}$. Die gesamte kinetische Energie am Fuß der Steigung kann auch unter Berücksichtigung der am Körper geleisteten Arbeit aufgrund der Schwerkraft und der beiden Terme für die durch Reibung geleistete Arbeit bewertet werden. Unter Verwendung dieses Ansatzes ist die gesamte kinetische Energie am Boden für den Gleitfall$mgh -\int_{0}^{h \over sin \theta} F_{fric} dx + \int_{0}^{\theta_f} \tau_{fric} d \theta$. (Hier wegen Ausrutscher$d \theta \ne dx/R$.)$\theta_f = {1 \over 2} \alpha t_1^2$Wo$\alpha$ist die Winkelbeschleunigung.$F_{fric} = \mu mgcos(\theta)$Und$\tau_{fric} = RF_{fric}$sind beide konstant. Nach Auswertung der Integrale ist die gesamte kinetische Energie am Boden dieselbe wie zuvor unter Verwendung der Bewegungsgleichungen berechnet. Hier arbeitet Reibung aufgrund von Schlupf, da der Anteil der negativen Arbeit am CM betragsmäßig größer ist als der Anteil der positiven Arbeit, der eine Rotation um das CM verursacht. Die gerade beschriebene Bewegung stimmt mit der Bewegung überein, die in einer Antwort auf diesen Beitrag entwickelt wurde , aber im Gegensatz zu einer Behauptung in der Antwort auf diesen früheren Beitrag gibt es keine Erwärmungseffekte, um diese Bewegung zu erklären.

3. An einer Umlenkrolle ziehen

Betrachten Sie als triviales Beispiel eine Riemenscheibe, die sich um eine Achse dreht, die durch ihr CM mit Masse im Trägheitsrahmen befestigt ist$m$und Trägheitsmoment$I$, wie die folgende Abbildung zeigt.

Die Drehung ist auf ungleiche Spannungen zurückzuführen$T_2$größer als$T_1$an einem Seil, das eine Drehung verursacht. Die Achse stellt eine Zwangskraft bereit$\vec F_c$nach oben betragsmäßig gleich$T_2 – T_1 + mg$um das CM festzuhalten. Reibung zwischen dem Seil und der Rolle verursacht – wenn kein Schlupf vorausgesetzt wird – eine Drehung, daher können die Zugkräfte als Reibungskräfte an der Rolle betrachtet werden. Unter der Annahme, dass keine anfängliche Drehbewegung vorliegt, wird die Bewegungsgleichung für die Riemenscheibe nach der Zeit verwendet$t_1$, die gesamte zurückgelegte Winkelstrecke ist$\theta_f = {{(T_2 – T_1)Rt^2} \over{2I}}$, und die Rotationsenergie ist${(T_2 – T_1)^2R^2t_1^2}\over {2I}$. Unter Verwendung der Zwei-Term-Beziehung für die Arbeit durch Reibung ist der erste Term – für die kinetische Energie des CM – Null, da es aufgrund der Zwangskraft keine Bewegung des CM gibt. Der zweite Term ist die kinetische Energie für die Rotation um das CM bis zur Zeit$t_1$Ist$\int_{0}^{\theta(t_1)} (T_2 – T_1)R d \theta = (T_2 – T_1) R \theta_f$. Verwenden Sie das frühere Ergebnis für$\theta_f$, ist dies das gleiche Ergebnis wie aus der Bewegungsgleichung für die Rotation.

Zusammenfassung

Abschließend kann die durch Reibung geleistete Arbeit bewertet werden, indem diese Arbeit in zwei Teile getrennt wird; Dieser Ansatz bietet einen Einblick in die Auswirkungen der Reibung auf die Translations- und Rotationsbewegung. Auch dieser Ansatz basiert auf der früheren Antwort von @user256872. Kommentare zu diesem Ansatz sind willkommen.

Pseudoarbeit und Arbeit

Andere Fragen/Antworten zu diesem Austausch und in der Literatur diskutieren den Unterschied zwischen Arbeit, wie sie in der Mechanik definiert ist (manchmal Pseudoarbeit genannt), und Arbeit, wie sie in der Thermodynamik definiert ist. Siehe Pseudoarbeit und echte Arbeit Sherwood, Bruce Arne The American Journal of Physics, Band 51 (7) – 1. Juli 1983 . Das Konzept der Pseudoarbeit erscheint mir sinnvoll.

Einige zu berücksichtigende Fragen

1. Für das erste Beispiel mit Rollen ohne Schlupf ist eine Erklärung dafür, dass Reibung keine (Netto-)Arbeit leistet, dass es Schlupf (keine Relativbewegung) des Kontaktpunktes des Körpers auf der Steigung gibt. Für das letzte Beispiel, bei dem Reibung die Riemenscheibe antreibt, gibt es jedoch auch keine Relativbewegung, aber hier funktioniert Reibung. Bedeutet dies, dass kein Schlupf nicht immer keine Reibungsarbeit bedeutet?

2. Wie kann dieser Ansatz zur Bewertung der Reibungsarbeit auf die allgemeine dreidimensionale Bewegung eines starren Körpers erweitert werden, bei der der Trägheitstensor benötigt wird?

3. Wenn Reibungserwärmung keine merkliche Änderung der Temperatur einer Flüssigkeit verursacht, kann die Bernoulli-Energiegleichung für die Strömungsmechanik so modifiziert werden, dass sie einen Reibungskopfverlust enthält, um die Reibung zu berücksichtigen. für eine merkliche Temperaturänderung ist die Auswertung komplex und erfordert den ersten Hauptsatz und Impulsbeziehungen. Gibt es für den Fall, dass Festkörper Reibung erfahren, einen ungefähren Ansatz (ähnlich dem modifizierten Bernoulli für Flüssigkeiten), der verwendet werden kann?

4. Wo finden wir Diskussionen darüber, wie die Reibungserwärmung für Feststoffe sowohl mit einem ungefähren als auch mit einem detaillierten Ansatz bewertet werden kann?