In der wenigen Physik, die ich bisher gelernt habe, scheint es ein (möglicherweise oberflächliches Muster) zu geben, über das ich mich gewundert habe.
Die Formel für die kinetische Energie eines sich bewegenden Teilchens lautet .
Die Formel für die kinetische Rotationsenergie lautet .
Die Formel für die in einem Kondensator gespeicherte Energie lautet: .
Die Formel für die an einen Induktor gelieferte Energie lautet .
Schließlich kennt jeder die berühmte Formel von Einstein .
Mir ist klar, dass es andere Energieformeln gibt (z. B. Gravitationspotentialenergie), die diese Form nicht annehmen, aber gibt es einen tieferen Grund, warum die obigen Formeln eine ähnliche Form annehmen? Ist es ein Zufall? Oder gibt es eine Motivation für Physiker und Lehrbuchautoren, diese Formeln so darzustellen, wie sie es tun?
Normalerweise sind lineare Gleichungen in der Physik sehr verbreitet. Etwas wie
Also hast du , usw.
Nun, es stellt sich heraus, dass Sie einen Ausdruck für Energie erhalten, wenn Sie diese linearen Gleichungen mit einem kleinen Inkrement der Variablen multiplizieren. Warum das passiert, ist nicht so einfach herauszufinden. Die einfachste Erklärung ist, dass wir unsere Variablen normalerweise so definieren, dass Kraft und ähnliche Größen (z. B. Nettoladung usw.) linear sind.
Wenn Sie nun eine lineare Gleichung multipliziert mit einer kleinen Änderung im linearen Teil aufsummieren, erhalten Sie so etwas wie , was ein quadratischer Term der Form ist
Die meisten von ihnen (alle Ihre Beispiele außer , was wirklich gerecht ist sowieso) ergeben sich aus der Integration einer linearen Gleichung wie als , und es ist oft nur eine Konvention, dass wir die lineare Beziehung so wählen, dass sie eine Proportionalitätskonstante von 1 hat, sodass das Integral eine Konstante von 1/2 hat (zum Beispiel hätten wir stattdessen wählen können, wie wir es mit Bereichen von tun Kreise, zu haben Und ).
Die kinetische Energieformel ist ziemlich natürlich, weil die Bewegung, die es erzeugt (über Euler-Lagrange-Gleichungen), eine geodätische Bewegung oder "freie Bewegung" ist. (Ich habe absorbiert in die Metrik, .) Und ich glaube, das ist völlig allgemein; es würde gelten, jede Riemannsche Mannigfaltigkeit als Konfigurationsraum zu nehmen. Ich suchte nach einer Referenz und fand diese (Seite 119): http://wwwf.imperial.ac.uk/~dholm/classnotes/HolmPart1-GM.pdf
Dasselbe gilt für die kinetische Winkelenergie: Freie Rotation ist eine geodätische Bewegung auf der Mannigfaltigkeit , wenn Sie Ihre kinetische Energieformel als Maß verwenden. (Ich habe die gleiche Referenz für diesen Kommentar.)
Das allgemeine Muster (zumindest für die ersten beiden Formeln) ist also, dass sie quadratische Formen sind, weil sie heimlich Metriken auf dem entsprechenden Konfigurationsraum sind, ihre Verwendung gerechtfertigt, weil sie die Metriken sind, in Bezug auf die freie Bewegung geodätische Bewegung ist.
Die anderen, ich kann nicht sehen, ob sie in dieses Muster passen.