Wie lautet der korrekte Ausdruck für die magnetische Energiedichte im Inneren der Materie?

Question

Wie lautet der korrekte Ausdruck für die magnetische Energiedichte im Inneren der Materie?

Cham

Ich werde eine magnetisierte Kugel als Beispiel für den Radius verwenden $R$ , mit einer Magnetisierungsdichte $\vec{M}$ . Das magnetische Moment der Kugel ist $\vec{\mu} = \vec{M} \, V$ . Das Magnetfeld innen und außen ist bekannt :

\begin{aligned} (1) & {\vec{B}}_{innen} & = \frac{μ_{0} \vec{μ}}{2 π R^{3}}, \\ (2) & {\vec{B}}_{außen} & = \frac{μ_{0}}{4 π} (\frac{3 (\vec{μ} \cdot \vec{R}) \vec{R}}{R^{5}} - \frac{\vec{μ}}{R^{3}}) . \end{aligned}

$\begin{align}\tag{1} \vec{B}_{\text{inside}} &= \frac{\mu_0 \, \vec{\mu}}{2 \pi R^3}, \\[12pt] \vec{B}_{\text{outside}} &= \frac{\mu_0}{4 \pi} \Big( \frac{3 (\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5} - \frac{\vec{\mu}}{r^3} \Big). \tag{2} \end{align}$ Wie berechnet man dann die Gesamtenergie dieser Kugel richtig ?

\begin{aligned} (3) & U_{magn} & = \int \frac{B^{2}}{2 μ_{0}} D^{3} X \\ (4) & = \frac{1}{2 μ_{0}} \int_{v_{innen}} B_{innen}^{2} D^{3} X + \frac{1}{2 μ_{0}} \int_{v_{außen}} B_{außen}^{2} D^{3} X, \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} U_{\text{magn}} &= \int \frac{B^2}{2 \mu_0} \, d^3 x \\[12pt] &= \frac{1}{2 \mu_0} \int_{\mathcal{V}_{\text{inside}}} B_{\text{inside}}^2 \, d^3 x + \frac{1}{2 \mu_0} \int_{\mathcal{V}_{\text{outside}}} B_{\text{outside}}^2 \, d^3 x, \tag{4} \end{align}$ oder dieses ?

\begin{aligned} (5) & U_{2} & = \frac{1}{2} \int \vec{B} \cdot \vec{H} D^{3} X, \end{aligned}

$\begin{align}\tag{5} U_2 &= \frac{1}{2}\int \vec{B} \cdot \vec{H} \, d^3 x, \end{align}$ Oder ein anderer Ausdruck, der die Materialeigenschaften der Kugel betrifft?

Wie lautet die richtige Interpretation dieser Gleichung:

\begin{matrix} (6) & \int_{alle platz} \vec{B} \cdot \vec{H} D^{3} X = 0, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{6} \int_{\text{all space}} \vec{B} \cdot \vec{H} \, d^3 x = 0, \end{equation}$ wie in Jackson (zweite Auflage), Seite 207 (Übung 5.13) gezeigt.

hyportnex

Dies ist keine "Physik", sondern nur eine Vektoranalyse für if

curl u = 0

$\textbf{curl u}=0$ Und

div v = 0

$\text{div}\textbf{v}=0$ mit

r^{2} | u |

$r^2 |\textbf{u}|$ Und

r^{2} | v |

$r^2 |\textbf{v}|$ im Unendlichen begrenzt, dann ist es immer so

\int u \cdot v d V = 0

$\int \textbf{u}\cdot\textbf{v} dV=0$

Cham

@hyportnex, na gut, aber das gibt nicht die physikalische Interpretation von (5) (vielleicht sollte ich (6) aus der Frage entfernen, da es ein bisschen irrelevant ist). Ich denke, dass die gesamte magnetische Energie in einem Material durch (4) gegeben ist und dass (5) nur einen Teil davon gibt.

hyportnex

Meine Interpretation ist, dass (6) eine Warnung ist: Für magnetostatische Felder müssen H und B irgendwo ausreichend entgegengesetzt gerichtet sein, sonst kann das Integral nicht Null sein. Und tatsächlich, für eine gleichförmig polarisierte Kugel sind die H- und B-Felder im Inneren genau entgegengesetzt (antiparallel), während die Äußeren parallel zueinander sind.

Antworten (1)

Wie lautet der korrekte Ausdruck für die magnetische Energiedichte im Inneren der Materie?

Dies ist keine "Physik", sondern nur eine Vektoranalyse für if $\textbf{curl u}=0$ Und $\text{div}\textbf{v}=0$ mit $r^2 |\textbf{u}|$ Und $r^2 |\textbf{v}|$ im Unendlichen begrenzt, dann ist es immer so $\int \textbf{u}\cdot\textbf{v} dV=0$
@hyportnex, na gut, aber das gibt nicht die physikalische Interpretation von (5) (vielleicht sollte ich (6) aus der Frage entfernen, da es ein bisschen irrelevant ist). Ich denke, dass die gesamte magnetische Energie in einem Material durch (4) gegeben ist und dass (5) nur einen Teil davon gibt.
Meine Interpretation ist, dass (6) eine Warnung ist: Für magnetostatische Felder müssen H und B irgendwo ausreichend entgegengesetzt gerichtet sein, sonst kann das Integral nicht Null sein. Und tatsächlich, für eine gleichförmig polarisierte Kugel sind die H- und B-Felder im Inneren genau entgegengesetzt (antiparallel), während die Äußeren parallel zueinander sind.

valerio · Answer 1

Die Energie des Magnetfelds ist die Arbeit, die erforderlich ist, um eine allgemeine stationäre Verteilung von Strömen und Feldern herzustellen. Diese Arbeit ist in infinitesimaler Form

\begin{matrix} (0) & δ W = \frac{1}{2} \int (δ A \cdot J) D^{3} X \end{matrix}

$\label{0}\tag{0} \delta W = \frac 1 2 \int (\delta \mathbf A \cdot \mathbf J) \ d^3 x$

Wo $\mathbf J$ ist die Stromdichte.

Wenn wir an Arbeiten zu den freien (makroskopischen) Strömen interessiert sind, haben wir (a):

\begin{aligned} δ W & = \frac{1}{2} \int (δ A \cdot J_{F}) D^{3} X \\ = \int δ A \cdot (\nabla \times H) D^{3} X \\ = \int [H \cdot (\nabla \times δ A) + \nabla \cdot (H \times δ A)] D^{3} X \end{aligned}

$\begin{align} \delta W & = \frac 1 2 \int (\delta \mathbf A \cdot \mathbf J_f) \ d^3 x\\ &=\int \delta \mathbf A \cdot (\nabla \times \mathbf H) \ d^3x\\ &=\int [\mathbf H \cdot (\nabla \times \delta \mathbf A) +\nabla \cdot(\mathbf H \times \delta \mathbf A)] \ d^3x \end{align}$

Wo $\mathbf A$ ist das Vektorpotential und $\mathbf H$ ist das Magnetfeld (b). Unter der Annahme einer lokalisierten Feldverteilung verschwindet der zweite Term im Integral, und es wird verwendet $\mathbf B = \nabla \times \mathbf A$ wir bekommen

δ W = \int H \cdot δ B D^{3} X

$\delta W = \int \mathbf H \cdot \delta \mathbf B \ d^3x$

Wenn wir davon ausgehen, dass das Material linear ist, dh das $\mathbf B = \mu \mathbf H$ , wir haben

H \cdot δ B = \frac{1}{2} δ (H \cdot B)

$\mathbf H \cdot \delta \mathbf B = \frac 1 2 \delta( \mathbf H \cdot \mathbf B)$

Daher erhalten wir schließlich den folgenden Ausdruck für die Energie des Magnetfelds in Anwesenheit von linearen Materialien:

U = \frac{1}{2} \int H \cdot B D^{3} X = \frac{1}{2 μ} \int B^{2} D^{3} X

$U = \frac 1 2 \int \mathbf H \cdot \mathbf B \ d^3 x = \frac 1 {2 \mu} \int B^2 \ d^3 x$

wobei die magnetische Energiedichte in die Form geschrieben wird

\begin{matrix} (1) & u = \frac{1}{2} H \cdot B = \frac{B^{2}}{2 μ} \end{matrix}

$\tag{1}\label{1} u = \frac 1 2 \mathbf H \cdot \mathbf B = \frac {B^2} {2 \mu}$

Ableiten $\ref{1}$ haben wir uns der makroskopischen Form der Maxwellschen Gleichungen bedient. Insbesondere nehmen wir für die 4. Gleichung die Form an (unter Vernachlässigung des Verschiebungsstroms):

\nabla \times H = J_{F}

$\nabla \times \mathbf H = \mathbf J_f$

Wo $\mathbf J_f$ ist der freie (makroskopische) Strom.

Das bedeutet, dass $\ref{1}$ stellt die Arbeit dar, die an freien Strömen geleistet wird, wenn die stationäre Stromverteilung von Strömen und Feldern ermittelt wird.

Es wäre insbesondere auch möglich, die mikroskopische Form der Maxwell-Gleichungen zu verwenden

\nabla \times B = μ_{0} J

$\nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J$

Wo $\mathbf J$ ist der Gesamtstrom , also die Summe aus freien und gebundenen Strömen :

J = J_{F} + J_{B}

$\mathbf J = \mathbf J_f + \mathbf J_b$

In diesem Fall gibt es keine $\mathbf H$ Vektor und die magnetische Energiedichte ist (c)

\begin{matrix} (2) & u^{'} = \frac{B^{2}}{2 μ_{0}} \end{matrix}

$\tag{2}\label{2} u' = \frac{B^2}{ 2 \mu_0}$

Dies stellt die Arbeit dar, die an jedem Strom beim Aufbau des Magnetfelds geleistet wird, einschließlich der gebundenen Ströme, dh

\begin{aligned} u & = u_{F} \\ u^{'} & = u_{F} + u_{B} \end{aligned}

$\begin{split} u & = u_f\\ u'& = u_f + u_b\\ \end{split}$

Das bedeutet, dass die zum Aufbau der gebundenen Ströme benötigte Energie für ein lineares Material wie berechnet werden kann

\begin{matrix} (3) & u_{B} = u^{'} - u = \frac{B^{2}}{2} (\frac{1}{μ_{0}} - \frac{1}{μ}) = \frac{B^{2}}{2} (\frac{μ - μ_{0}}{μ μ_{0}}) \end{matrix}

$\tag{3}\label{3} u_b = u'-u = \frac{B^2}2 \left( \frac 1 {\mu_0} - \frac 1 {\mu} \right) = \frac{B^2} 2 \left( \frac{\mu-\mu_0}{\mu \mu_0} \right)$

Da (für ein lineares Material) wir haben

M = (\frac{μ - μ_{0}}{μ μ_{0}}) B

$\mathbf M = \left( \frac{\mu-\mu_0}{\mu \mu_0} \right) \mathbf B$

Wo $\mathbf M$ ist die Magnetisierung, können wir schreiben $\ref{3}$ als

\begin{matrix} (4) & u_{B} = \frac{1}{2} M \cdot B \end{matrix}

$\tag{4}\label{4} u_b = \frac 1 2 \mathbf M \cdot \mathbf B$

Und tatsächlich gilt dieser Ausdruck für jedes Material, nicht nur für lineare (d).

Was den Ausdruck angeht

\int H \cdot B D^{3} X = 0

$\int \mathbf H \cdot \mathbf B \ d^3 x = 0$

Auf Jacksons Buch heißt es im vollen Text:

Ein magnetostatisches Feld ist ausschließlich auf eine lokalisierte Verteilung der Permanentmagnetisierung zurückzuführen. Zeige, dass
$\int H \cdot B D^{3} X = 0$ $\int \mathbf H \cdot \mathbf B\ d^3 x = 0$ vorausgesetzt, das Integral wird über den gesamten Raum genommen.

Dies ist also eine Aussage, dass (in Gegenwart von linearen Materialien) die Arbeit, die an freien Strömen geleistet wird, wenn ein magnetostatisches Feld aufgebaut wird, 0 ist. Ich vermute, dass dies allgemeiner ist, dh für jede Art von Beziehung zwischen gültig ist $\mathbf H$ Und $\mathbf B$ , aber im Moment kann ich es nicht beweisen.

(a) JD Jackson, Klassische Elektrodynamik (1962) 6.2

(b) Ich nehme die Nomenklatur an, in der $\mathbf H$ ist das Magnetfeld und $\mathbf B$ die magnetische Flussdichte (oder magnetische Induktion), die von Jackson verwendet wird.

(c) DJ Griffiths, Einführung in die Elektrodynamik , 3. Aufl. (1999), 7.2.4 und 8.1.2. Besonders interessant ist die Fußnote auf Seite 348.

(d) BD Popovic Bewertung der magnetischen Energiedichte in magnetisierter Materie , PROC. IEE, Bd. 113, Nr. 7, Juli 1966.

Im Fall der in der Frage definierten magnetisierten Kugel kennen wir die gebundenen Ströme. Sie sind alle an der Oberfläche, und deshalb habe ich über Energie nachgedacht (3). Übrigens sollten Sie Ihren Hauptgleichungen ein Tag hinzufügen.
@Cham Ich habe die Antwort verfeinert. Ich glaube, ich habe endlich verstanden, wie es funktioniert.
Im Fall meiner Kugel ist es sehr einfach, die "gebundene" Energie aus Ihrer (4) zu berechnen, und sie ergibt genau das Gleiche wie die Gesamtenergie aus Ihrer (2) (und die Berechnungen sind so viel einfacher, es ist nicht sogar lustig!). Es ist also konsistent.
Gibt es eine Möglichkeit, die Annahme zu beseitigen, dass das Material linear ist? Es scheint, dass dies der Fall sein sollte, da Sie erwähnen, dass einige der resultierenden Gleichungen im Allgemeinen wahr sind. Wie soll das gehen? Beachten Sie, dass es sich bei der Frage um ein permanent magnetisiertes Material handelt, es handelt sich also nicht um ein lineares Material.
@JJMalone Gleichung (2) ist im Allgemeinen wahr und es wird keine Linearität des Materials angenommen. Das Problem ist zu rechnen $u_b$ Und $u_f$ separat. Sie können entweder (4) (was allgemein ist, siehe Referenz (d)) verwenden und finden $u_b$ oder nehmen Sie den allgemeinen Ausdruck für $\delta W$ und finde $u_f$ , aber Sie brauchen die konstitutive Beziehung zwischen $M$ Und $B$ im ersten Fall, bzw $H$ Und $B$ im zweiten Fall. Im Allgemeinen wird es kompliziert, da das Integral von der Vorgeschichte der Probe abhängen kann (Hysterese). Siehe auch farside.ph.utexas.edu/teaching/em/lectures/node78.html

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