Ist die Energieeinsparung wirklich bemerkenswert?

Question

Ist die Energieeinsparung wirklich bemerkenswert?

Taube

Ist die Energieerhaltung nicht nur ein triviales Ergebnis, das sich aus der Definition von kinetischer Energie und potentieller Energie ergibt?

Die kinetische Energie eines Massenkörpers $m$ und Geschwindigkeit $v$ definiert ist $\frac{1}{2}mv^2$ und seine potentielle Energie aufgrund einer Kraft $F$ wird als Funktion seiner Position definiert $r$ in Bezug auf eine Referenzposition $r_0$ als $PE=-\int_{r_0}^rFdr$

Die absolute Gesamtenergie eines Körpers kann also wie folgt berechnet werden:

E = \frac{1}{2} M v^{2} - \int_{R_{0}}^{R} F D R

$E=\frac{1}{2}mv^2-\int_{r_0}^rFdr$

Jetzt das $E$ bleibt auch dann unverändert, wenn sich Position und Geschwindigkeit des Körpers ändern, wenn alle Kräfte konservativ sind. Aber mal sehen, wie sich das ändert $E$ ist definiert:

Der Wechsel ein $E$ ist die Änderung in $PE$ + die Änderung in $KE$ .

Nun, die Änderung in $KE$ ist nur gleich der geleisteten Arbeit.

δ K E = \int_{R_{1}}^{R_{2}} F D R . . . . . . (1)

$\delta KE= \int_{r_1}^{r_2}Fdr......(1)$ Durch die sich ändernde Variable in

v

$v$

= \int_{v_{1}}^{v_{2}} M v D v

$=\int_{v_1}^{v_2}mvdv$

= \frac{1}{2} M (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})

$=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$

Und die PE ändert sich, wenn sich der Körper bewegt $r_1$ Zu $r_2$ Ist:

δ P E = - \int_{R_{1}}^{R_{2}} F D R . . . . (2)

$\delta PE=-\int_{r_1}^{r_2}Fdr....(2)$

Beachten Sie, dass die Integrale $(1)$ Und $(2)$ nur durch Vorzeichen unterscheiden. Es ist also keine Überraschung, dass die Nettoveränderung bestehen bleibt $0$ . Um den Ausdruck der Veränderung auszuwerten $KE$ , ändern wir die Variablen des Integrals zu $v$ . Und um den Ausdruck für Veränderung zu bekommen $PE$ , ändern wir die Variable nicht und werten das Negative desselben Integrals in Bezug auf die Position aus. Wenn umsteigen $PE$ ist nur als negative Änderung definiert $KE$ , ist es dann nicht trivial, dass die Nettoenergie unverändert bleibt?

Auch ich kann einem Körper eine unveränderte Menge zuschreiben. Angenommen, auf einen Körper wirkt eine Kraft $F$ und ich schreibe diese Quantität dem Körper zu:

A = M \ln (v) - \int_{T_{0}}^{T} \frac{F}{v} D T

$A=m\ln(v)-\int_{t_0}^t\frac{F}{v}dt$

t_{0}

$t_0$ ist jede willkürlich gewählte Zeit. Diese Menge setzt sich aus zwei Größen zusammen:

B = m \ln (v)

$B=m\ln(v)$ Und

C = - \int_{t_{0}}^{t} \frac{F}{v} d t

$C=-\int_{t_0}^t\frac{F}{v}dt$ .

Der Wechsel ein $C$ wie sich die Zeit ändert von $t_1$ Zu $t_2$ Ist:

δ C = - \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{F}{v} D T

$\delta C=-\int_{t_1}^{t_2}\frac{F}{v}dt$

Nehmen Sie die Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit an $t_1$ Ist $v_1$ und zur zeit $t_2$ Ist $v_2$ . Nun, die Änderung in $B$ wie sich die Geschwindigkeit des Körpers ändert $v_1$ Zu $v_2$ Ist:

δ B = M (\ln (v_{2}) - \ln (v_{1}))

$\delta B=m(\ln(v_2)-\ln(v_1))$

= \int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{M D v}{v}

$=\int_{v_1}^{v_2}\frac{mdv}{v}$

= \int_{v_{1}}^{v_{2}} \frac{M D v}{v D T} D T

$=\int_{v_1}^{v_2}\frac{mdv}{vdt}dt$

= \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{F}{v} D T

$=\int_{t_1}^{t_2}\frac{F}{v}dt$

= - δ C

$=-\delta C$

So, $\delta B+\delta C=0$ . Somit, $\delta A=0$ . So, $A$ ist ebenfalls eine invariante Größe. Was ist dann so besonders an der Energieerhaltung, wenn zahlreiche unveränderliche Größen wie z $A$ kann einem Körper zugeordnet werden?

Definiert eigentlich $PE$ erfordert, dass die Kraft konservativ ist, da es unendlich viele Pfade geben kann, die sich verbinden $r_0$ Zu $r$ und wir verlangen $PE$ unabhängig vom eingeschlagenen Weg sein. Sondern um die Menge zu definieren $C$ Es gibt keine solche Einschränkung der Natur der Kraft, weil die Zeit nur entlang eines einzigartigen Weges fließen kann $t_0$ Zu $t$ . $PE$ bezieht sich jeden Punkt im Raum auf eine Zahl, während $C$ bezieht sich jedes Mal auf eine Zahl.

ACuriousMind

Dass die Änderung von KE gleich der geleisteten Arbeit ist, ist bereits die Aussage der Energieerhaltung (in diesem mechanischen Zusammenhang, in dem es scheinbar keine anderen Energieformen gibt). Natürlich ist es trivial, den Energieerhaltungssatz aus dem Energieerhaltungssatz abzuleiten...

Taube

@ACuriousMind Oh, danke. Daran habe ich nicht gedacht. Ist der Arbeitsenergiesatz dasselbe wie die Energieerhaltung?

Taube

@ACuriousMind Wenn wir das ganze Universum als unser System nehmen, dann gibt es in der klassischen Mechanik absolut keine anderen Energieformen. Man spricht von chemischer und thermischer Energie, aber auch das sind nur kinetische und potentielle Energien.

Benutzer126422

Wenn

t_{1} = 0

$t_1=0$ dann divergiert C für ein Teilchen unter konstanter Kraft, das sich in Ruhe befindet a

t_{1} = 0

$t_1=0$ . Und das Hauptproblem ist für mich, dass A nicht vom Zustand (Position und Geschwindigkeit) des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt abhängt, sondern auch von seiner vorherigen Geschichte

Taube

@ArmandoEstebanQuito denke ich

A

$A$ ist fast analog zu Energie. Hier,

B

$B$ ist eine Funktion der Geschwindigkeit, genau wie

K E

$KE$ . Der einzige Unterschied ist das

C

$C$ ist eine Funktion der Zeit, während

P E

$PE$ ist eine Positionsfunktion.

Benutzer126422

Sie ist nicht nur eine Funktion der Zeit, wenn ja, würde sie nur von t abhängen. Aber es kommt auch drauf an

t_{0}

$t_0$ und auf F(t). Die Energie hängt stattdessen nur von der aktuellen Position und Geschwindigkeit ab

Taube

@ArmandoEstebanQuito Nein, es ist eine Funktion der Zeit, wenn beides der Fall ist

F

$F$ Und

v

$v$ sind Funktionen der Zeit. Und PE hängt auch von einem Bezugspunkt ab

r_{0}

$r_0$ , So

C

$C$ hängt von einer willkürlich gewählten Zeit ab

t_{0}

$t_0$ . Und es hängt davon ab

F (t)

$F(t)$ genauso wie potentielle Energie davon abhängt

F (r)

$F(r)$ .

Taube

@ArmandoEstebanQuito Kurz gesagt, diese Menge hängt von Zeit und Geschwindigkeit ab, genau wie Energie von Position und Geschwindigkeit abhängt.

Taube

@ArmandoEstebanQuito Tatsächlich definierend

P E

$PE$ erfordert, dass die Kraft konservativ ist, da es unendlich viele Pfade geben kann, die sich verbinden

r_{0}

$r_0$ Zu

r

$r$ und wir verlangen

P E

$PE$ unabhängig vom eingeschlagenen Weg sein. Sondern um die Menge zu definieren

C

$C$ Es gibt keine solche Einschränkung der Natur der Kraft, weil die Zeit nur entlang eines einzigartigen Weges fließen kann

t_{0}

$t_0$ Zu

t

$t$ .

P E

$PE$ bezieht sich jeden Punkt im Raum auf eine Zahl, während

C

$C$ bezieht sich jedes Mal auf eine Zahl.

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Dass die Änderung von KE gleich der geleisteten Arbeit ist, ist bereits die Aussage der Energieerhaltung (in diesem mechanischen Zusammenhang, in dem es scheinbar keine anderen Energieformen gibt). Natürlich ist es trivial, den Energieerhaltungssatz aus dem Energieerhaltungssatz abzuleiten...
@ACuriousMind Oh, danke. Daran habe ich nicht gedacht. Ist der Arbeitsenergiesatz dasselbe wie die Energieerhaltung?
@ACuriousMind Wenn wir das ganze Universum als unser System nehmen, dann gibt es in der klassischen Mechanik absolut keine anderen Energieformen. Man spricht von chemischer und thermischer Energie, aber auch das sind nur kinetische und potentielle Energien.
Wenn $t_1=0$ dann divergiert C für ein Teilchen unter konstanter Kraft, das sich in Ruhe befindet a $t_1=0$ . Und das Hauptproblem ist für mich, dass A nicht vom Zustand (Position und Geschwindigkeit) des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt abhängt, sondern auch von seiner vorherigen Geschichte
@ArmandoEstebanQuito denke ich $A$ ist fast analog zu Energie. Hier, $B$ ist eine Funktion der Geschwindigkeit, genau wie $KE$ . Der einzige Unterschied ist das $C$ ist eine Funktion der Zeit, während $PE$ ist eine Positionsfunktion.
Sie ist nicht nur eine Funktion der Zeit, wenn ja, würde sie nur von t abhängen. Aber es kommt auch drauf an $t_0$ und auf F(t). Die Energie hängt stattdessen nur von der aktuellen Position und Geschwindigkeit ab
@ArmandoEstebanQuito Nein, es ist eine Funktion der Zeit, wenn beides der Fall ist $F$ Und $v$ sind Funktionen der Zeit. Und PE hängt auch von einem Bezugspunkt ab $r_0$ , So $C$ hängt von einer willkürlich gewählten Zeit ab $t_0$ . Und es hängt davon ab $F(t)$ genauso wie potentielle Energie davon abhängt $F(r)$ .
@ArmandoEstebanQuito Kurz gesagt, diese Menge hängt von Zeit und Geschwindigkeit ab, genau wie Energie von Position und Geschwindigkeit abhängt.
@ArmandoEstebanQuito Tatsächlich definierend $PE$ erfordert, dass die Kraft konservativ ist, da es unendlich viele Pfade geben kann, die sich verbinden $r_0$ Zu $r$ und wir verlangen $PE$ unabhängig vom eingeschlagenen Weg sein. Sondern um die Menge zu definieren $C$ Es gibt keine solche Einschränkung der Natur der Kraft, weil die Zeit nur entlang eines einzigartigen Weges fließen kann $t_0$ Zu $t$ . $PE$ bezieht sich jeden Punkt im Raum auf eine Zahl, während $C$ bezieht sich jedes Mal auf eine Zahl.

Gertian · Answer 1

Das ist es definitiv! Es kann interessant sein, sich einige Fälle anzusehen, in denen dies nicht der Fall ist.

Ein Beispiel, das mir in den Sinn kommt, wäre Reibung, aber wie wir alle wissen, bleibt Energie immer noch erhalten, sie wird nur als Wärme gespeichert, die normalerweise nicht berücksichtigt wird.

Ein interessanteres Beispiel findet sich in Quantenfeldtheorien in gekrümmten Räumen, wo es nicht immer trivial ist, eine Energie überhaupt zu definieren, geschweige denn zu zeigen, dass sie erhalten bleibt!

Lassen Sie mich ein Beispiel geben: (Es tut mir leid, wenn dies nicht die Antwort ist, auf die Sie gehofft haben ...)

Typischerweise definieren wir den Energie-Impuls-Tensor als:

T^{μ v} = \partial^{μ} ϕ π^{v} - G^{μ v} L

$T^{\mu\nu} = \partial^\mu \phi \pi^\nu - g^{\mu\nu} \mathcal{L}$

Typischerweise sagen wir, dass die Energie nämlich einfach die 00-Komponente dieses Tensors ist $T^{00}$ und es wird angenommen, dass dies erhalten bleibt. Aber denken wir über diese Aussage nach!

Eine Erhaltungsaussage kann nur gemacht werden, wenn in diesem Fall ein 4-Vektor-Strom vorhanden ist, den Energiestrom mit nullter Komponente die Energiedichte und seine anderen Komponenten den Energiefluss nennen wir dieses Objekt $E^\mu$ .

Wenn diese vorhanden ist und daraus extrahiert werden kann $T^{\mu\nu}$ als wir haben müssen $E^{\mu} = T^{\mu\nu}k_\nu$ Lassen Sie uns prüfen, welche Bedingungen dafür erfüllt sein müssen $E^\mu$ konserviert werden.

Stromerhaltung bedeutet das $\nabla_\mu E^\mu = 0$ Wo $\nabla$ ist die kovariante Ableitung der Raumzeit

\nabla_{μ} T^{μ v} k_{v} = 0

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}k_\nu = 0$

Vorausgesetzt, dass $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ das wird:

T^{μ v} \nabla_{μ} k_{v} = 0 \to \nabla_{μ} k_{v} = 0

$T^{\mu\nu} \nabla_\mu k_\nu = 0 \rightarrow \nabla_\mu k_\nu=0$

Dies ist eine sehr strenge Forderung, die typischerweise nicht erfüllt wird! Wenn $T^{\mu\nu}$ Wäre es symmetrisch, könnten wir es immer noch umschreiben als:

T^{μ v} \frac{1}{2} (\nabla_{μ} k_{v} + \nabla_{v} k_{μ}) = 0 \to (\nabla_{μ} k_{v} + \nabla_{v} k_{μ}) = 0 \to k = Tötungsvektor

$T^{\mu\nu}\frac{1}{2} (\nabla_\mu k_\nu + \nabla_\nu k_\mu)=0 \rightarrow (\nabla_\mu k_\nu + \nabla_\nu k_\mu)=0 \rightarrow k = \text{killing vector}$

Was in mehr Fällen zufrieden ist!

Abschluss: $T^{00}$ Dies entspricht genau dann der Energiedichte eines Vektorstroms $T^{\mu\nu}$ ist symmetrisch, kovariante Konstante und es gibt einen Tötungsvektor in unserer Raumzeit!

Offensichtlich ist dies nicht immer der Fall. Zum Beispiel hat das Krasner-Universum keinen solchen Tötungsvektor!

Noch relevanter ist, dass das Friedman-Universum, in dem wir leben, auch keinen solchen Tötungsvektor hat! Und in der Tat ist es in der Kosmologie sehr schwierig, eine zufriedenstellende Definition von Energie zu finden.

Um es abzurunden, in klassischen einfachen Fällen, nein, es ist nicht erstaunlich. Wenn wir zu Quantensystemen gehen, ist es sehr erstaunlich und definitiv nicht immer wahr!

Hoffentlich hat dir das geholfen :)! Fühlen Sie sich frei, einige Fragen zu stellen, da dies offensichtlich ziemlich viel ist, um es auf einmal zu verstehen ...

Benutzer126422 · Answer 2

Was Sie getan haben, ist, eine Konstante abzuleiten und zu integrieren (in Ihrem Beispiel Masse). Die Erhaltungsgröße, die Sie auf diese Weise finden, ist trivial und keine Erhaltungsgröße, sondern per Definition ein invarianter Skalar.

Du fingst an mit:

$m/2=\frac{E_k}{v^2}$

Dann differenziere:

$0=\frac{mv}{v^2}dv-\frac{mv^2}{v^3}dv=\frac{m }{v }dv-\frac{m }{v }dv$

Dann integrieren, um zu bekommen

$m\ln(v)-m\ln(v_0)-\int{\frac{ma}{v}dt}=const$

+1, aber trotzdem, wie ist es keine konservierte Größe? Sie haben gerade gezeigt, dass es konstant bleibt. Wenn wir uns ein Objekt vorstellen, das sich durch den Raum bewegt und dessen Geschwindigkeit sich mit der Zeit ändert, dann ist meine Größe auch eine seltsame Zahl, die Sie zu verschiedenen Zeitpunkten berechnen und als konstant finden können. Wenn $a$ Und $v$ beides sind Funktionen von $t$ , Dann ruf an $\frac{ma}{v}=g(t)$ . Dann ist meine Menge: $A = M \ln (v_{2}) - M \ln (v_{1}) - \int_{T_{0}}^{T} G (T) D T = C Ö N S T A N T$ $A=m\ln(v_2)-m\ln(v_1)-\int_{t_0}^tg(t)dt=constant$ . Während die Energieerhaltung ist: $E = \frac{1}{2} M v_{2}^{2} - \frac{1}{2} M v_{1}^{2} - \int_{R_{0}}^{R} F (R) D R = C Ö N S T A N T$ $E=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2-\int_{r_0}^rF(r)dr=constant$ .
Ihre Erhaltungsgröße ist unabhängig von den Gesetzen der Physik garantiert wahr. Es ist nur eine triviale Identität. Sie können immer schreiben, für jedes f(x,v,t), ff=0, dann F-int{f}=c, wobei F das Primitiv von f ist. Es geht nicht um Physik, es ist eine mathematische Identität

Cort Ammon · Answer 3

Ich denke, der Grund, warum es unscheinbar erscheint, ist, dass Sie einen Sonderfall betrachten, der entwickelt wurde, lange nachdem der beeindruckendere allgemeine Fall auftauchte.

In dem von Ihnen erwähnten Fall gehen Sie davon aus, dass Änderungen der potentiellen Energie das Gegenteil von Änderungen der kinetischen Energie sind. Aber Sie gehen von der Annahme aus, dass potentielle Energie überhaupt existiert.

Das wirklich Erstaunliche an der Energieerhaltung war die Entdeckung, dass wir Begriffe wie kinetische Energie potentielle Energie schreiben können, die zur Energieerhaltung führten. Betrachten Sie als Beispiel die potenzielle Energie der Gravitation. Wir entdeckten, dass es eine Zahl gab, die proportional zur Höhe eines Objekts und der Masse eines Objekts war und die die Geschwindigkeit eines Objekts vollständig vorhersagen konnte, wenn es aus dieser Höhe fiel. Denk darüber nach. Irgendeine seltsame Verbindung zwischen einer Höhe und einer Geschwindigkeit, die unglaublich wiederholbar war? Das ist eine beeindruckende Aussage!

Dann fingen wir an, andere Energieformen zu entdecken. Wir entdeckten elektromagnetische (Licht-) Energie. Wir haben Schallenergie entdeckt. Wir haben thermische Energie entdeckt. Wir haben die chemische Energie entdeckt. Bei jeder dieser Arten von Energien haben wir festgestellt, dass, wenn Sie eine Energie in eine andere und zurück umwandeln, das Ergebnis immer ein Netz ohne jegliche Änderung dieses seltsamen und mächtigen Skalarwerts war.

Das Erstaunliche ist, dass ich Ihnen ein Motorrad zeigen kann, das „mit Wasser fährt, fast ohne Benzin“, indem ich die Drehung des Motors verwende, um einen Generator (mechanisch -> elektrisch) anzutreiben, der dann zur Elektrolyse von Wasser verwendet wird (elektrisch -> chemisch), dann verwenden Sie ein von Seltenerdmagneten erzeugtes Magnetfeld, um die erzeugten Moleküle so auszurichten, dass sie sich effizienter neu kombinieren, und verwenden Sie das, um den Kolben anzutreiben (chemisch -> mechanisch), um Energie ohne Verschwendung zu erzeugen -- nur ein Zyklus mit Wasser! Ich kann Ihnen sogar meinen Prototypen zeigen, der "fast fertig" ist: Er braucht noch ein wenig Benzin, aber er "läuft jetzt hauptsächlich mit Wasser". Und nach all dem kannst du einfach lächeln und sagen: "Das ist schön, aber es funktioniert nicht wirklich."

Tatsächlich können Sie sich so sicher sein, dass das US-Patentamt keine Patente mehr für Maschinen akzeptiert, die behaupten, Energie zu erzeugen, die im Widerspruch zum Energieerhaltungsgesetz stehen.

All diese Schritte. Denken Sie an all die Gleichungen, die Sie schreiben könnten, und all die empirischen Kurvenanpassungen, die Sie machen könnten, wie Explosionen in Kolben funktionieren und was meine Seltenerdmagnete tun könnten. Und Sie können sie alle überspringen, weil Sie sicher sein können, dass Energie gespart wird.

Das ist beeindruckend.

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Cort Ammon

Potentielle Energie verstehen

Beispiel mit Hamiltonian H≠T+V=EH≠T+V=EH \neq T+V=E, aber E=T+VE=T+VE=T+V bleibt erhalten

Warum hat der Neigungswinkel keinen Einfluss darauf, wie hoch ein gestartetes Objekt eine reibungslose Rampe hinaufrutscht?

Befolgt eine auf die Erde fallende Masse den Energieerhaltungssatz?

Eine Frage zur Definition der potentiellen Energie mit einem Beispiel

Fallen alle Energieformen unter kinetische und potentielle Energie?

Arbeit, die an einem Objekt ausgeführt wird, während es angehoben wird

Verwirrung über die Energieerhaltung bei der Analyse dieses Experiments

Zufall, gezielte Definition oder etwas anderes in Formeln für Energie

Impuls und Energie der Stäbe