Satz von Poynting - Energieerhaltung

Question

Satz von Poynting - Energieerhaltung

Ameet Sharma

Satz von Poynting:

\int_{v} (\vec{E} \cdot \vec{J}) D v = - \frac{\partial}{\partial T} \int_{v} \frac{1}{2} (ϵ_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) D v - \frac{1}{μ_{0}} \oint_{S} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S}

$\int_V\left(\vec{E}\cdot\vec{J}\right)\,\mathrm dV = -\dfrac{\partial}{\partial t}\int_V\dfrac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}B^2\right)\,\mathrm dV - \dfrac{1}{\mu_0}\oint_S \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S}$

Meine Frage ist, wie dies die Energieerhaltung beweist?

Das erste Integral gibt die Leistung an, die durch Ladungen in einem Volumen gewonnen wird. Das zweite Integral gibt die Energie an, die in den elektrischen und magnetischen Feldern verloren geht. Unabhängig davon kann gezeigt werden, dass diese Interpretationen für diese mathematischen Begriffe sinnvoll sind. Es ist das dritte Integral, das mich stört.

Ich habe mir Beweise online angesehen ... und sie alle machen den Schritt, den letzten Term einfach als die Kraft zu "interpretieren", die in die Oberfläche des Volumens eintritt. Sie gehen also davon aus, dass Energie erhalten bleibt, und interpretieren daher den letzten Term entsprechend.

Dies ist aber kein Beweis für die Energieerhaltung. Ein Beweis würde unabhängige Gründe erfordern, um den letzten Term als den in das Volumen eintretenden Leistungsfluss zu betrachten.

Vergleichen Sie dies mit der Ladungserhaltung im Elektromagnetismus. Die Ladungserhaltung ist eine Folge der Maxwellschen Gleichungen, sie muss nicht unabhängig angenommen werden.

Grundsätzlich möchte ich herausfinden ... ist die Energieerhaltung eine Folge der Maxwell-Gleichungen oder etwas, das unabhängig davon angenommen wird?

Benutzer36790

Der dritte ist das, was wir Poynting-Vektor nennen ; es repräsentiert den Energiefluss des Feldes.

Benutzer36790

Die ganze Gleichung ist eine Kontinuitätsgleichung ; dies impliziert lediglich Energieerhaltung.

Ameet Sharma

Woher wissen Sie, dass der Poynting-Vektor den Energiefluss darstellt?

Benutzer36790

Durch das Lesen von Büchern ;P

Ameet Sharma

Ich weiß, dass die Bücher sagen, dass es den Energiefluss darstellt, aber wie beweisen Sie, dass es den Energiefluss darstellt?

Benutzer36790

Okay, ich schreibe eine Antwort ... warten Sie.

Knzhou

Sie können von der Lagrange-Funktion ausgehen

L = - F^{2} / 4

$\mathcal{L} = -F^2/4$ und verwenden Sie den Satz von Noether, um den Spannungs-Energie-Tensor zu erhalten

T^{μ ν}

$T^{\mu\nu}$ . Dann

T^{0 i} = S^{i}

$T^{0i} = S^i$ , was unsere Interpretation des Poynting-Vektors ergibt.

Benutzer36790

@AmeetSharma: Fertig.

Antworten (3)

Satz von Poynting - Energieerhaltung

Der dritte ist das, was wir Poynting-Vektor nennen ; es repräsentiert den Energiefluss des Feldes.
Die ganze Gleichung ist eine Kontinuitätsgleichung ; dies impliziert lediglich Energieerhaltung.
Woher wissen Sie, dass der Poynting-Vektor den Energiefluss darstellt?
Ich weiß, dass die Bücher sagen, dass es den Energiefluss darstellt, aber wie beweisen Sie, dass es den Energiefluss darstellt?
Sie können von der Lagrange-Funktion ausgehen $\mathcal{L} = -F^2/4$ und verwenden Sie den Satz von Noether, um den Spannungs-Energie-Tensor zu erhalten $T^{\mu\nu}$ . Dann $T^{0i} = S^i$ , was unsere Interpretation des Poynting-Vektors ergibt.

Benutzer36790 · Answer 1

Lassen Sie das elektromagnetische Feld haben $u$ als seine Energiedichte (Energiemenge pro Volumeneinheit im Feld) und let $\bf S$ stellt den Energiefluss dar - die Energiemenge pro Zeiteinheit, die über eine Flächeneinheit senkrecht zur Strömung fließt).

Jetzt kann das elektromagnetische Feld mit Materie interagieren und an ihr arbeiten; Daher muss diese Energiewechselwirkung bei der Diskussion der Energieeinsparung berücksichtigt werden.

Die Feldenergie innerhalb eines Volumens $V$ Ist $\displaystyle \int_V u\,\mathrm dV\;.$ Aus dem Volumen abfließende Energiemenge $V$ wird von gegeben $\displaystyle \int_\Sigma \mathbf S\cdot n\,\mathrm da \;.$

Nun, die Arbeit, die das Feld pro Zeiteinheit an der Materie innerhalb des Volumens verrichtet $V$ wird von gegeben $\displaystyle \int _V Nq(\mathbf E + \mathbf v\times \mathbf B)\cdot \mathbf v\,\mathrm dV$ Wo $N$ die Anzahl der Partikel pro Volumeneinheit ist; dies kann geschrieben werden als

\begin{aligned} \int_{v} N Q (E + v \times B) D v & = \int_{v} N Q E \cdot v D v \\ = \int_{v} E \cdot \underset{Stromdichte}{\underset{⏟}{(N Q v)}} D v \\ = \int_{v} E \cdot J D v \end{aligned}

$\begin{align}\int _V Nq(\mathbf E + v\times \mathbf B)\,\mathrm dV& = \int_V Nq\mathbf E\cdot v\,\mathrm dV\\ &= \int_V \mathbf E\cdot \underbrace{(Nq\mathbf v)}_\textrm{current-density}\,\mathrm dV\\ &= \int_V E\cdot \mathbf J\,\mathrm dV \end{align}$

Die Kontinuitätsgleichung wird also folgendermaßen geschrieben:

\underset{Änderungsrate der Energie im Volumen v}{\underset{⏟}{- \frac{\partial}{\partial T} \int_{v} u D v}} = \underset{Menge von F ich e l D e N e R G j aus dem Volumen fließen v pro Zeiteinheit}{\underset{⏟}{\int_{Σ} S \cdot N D A}} + \underset{Arbeit, die das Feld pro Zeiteinheit an der Materie im Volumen verrichtet v}{\underset{⏟}{\int_{v} E \cdot J D v}} .

$\underbrace{-\frac{\partial}{\partial t}\int_V u\,\mathrm dV}_\textrm{rate of change of energy inside volume $V$}=\underbrace{\int_\Sigma \mathbf S\cdot \mathbf n\,\mathrm da}_\textrm{amount of $\mathbf{field\, energy}$ flowing out of volume $V$ per unit time} + \underbrace{\int_V \mathbf E\cdot \mathbf J\,\mathrm dV}_\textrm{work done per unit time by the field on the matter inside volume $V$} \;.$ Dies impliziert definitiv die Energieeinsparung, und außerdem ist die Gleichung, die OP in seiner Anfrage geschrieben hat, der Ableger derselben Kontinuitätsgleichung.

Energiedichte und Poynting-Vektor:

Wir können die Differentialform der obigen Kontinuitätsgleichung schreiben als:

- \frac{\partial u}{\partial T} = div S + E \cdot J

$-\frac{\partial u}{\partial t}= \textrm{div}\,\mathbf S + \mathbf E\cdot \mathbf J$ (da die gesamte Ableitung dann in kartesischen Koordinaten erfolgt

div \equiv \nabla

$\textrm{div}\equiv \mathbf \nabla$ ).

Oder wir können schreiben

\begin{matrix} (1) & E \cdot J = - \frac{\partial u}{\partial T} - E \cdot J \end{matrix}

$\mathbf E\cdot \mathbf J= -\frac{\partial u}{\partial t}-\mathbf E\cdot \mathbf J\tag 1$

Um herauszufinden, was $u$ Und $\bf S$ tatsächlich sind, wird davon ausgegangen, dass sie ausschließlich von den Feldern abhängen $\bf E$ Und $\bf B\;.$

Jetzt mit

J = ϵ_{Ö} C^{2} \nabla \times B - ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial T},

$\mathbf J = \epsilon_oc^2\,\mathbf \nabla\times\mathbf B- \epsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\,,$ wir können schreiben

E \cdot J

$\mathbf E\cdot \mathbf J$ als

E \cdot J = ϵ_{Ö} C^{2} E \cdot (\nabla \times B) - ϵ_{0} E \cdot \frac{\partial E}{\partial T} .

$\mathbf E\cdot \mathbf J= \epsilon_oc^2\,\mathbf E\cdot (\mathbf \nabla\times\mathbf B)- \epsilon_0\mathbf E\cdot\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\;.$

Jetzt,

\begin{aligned} E \cdot (\nabla \times B) & = (\nabla \times B) \cdot E \\ = \nabla \cdot (B \times E) + B \cdot (\nabla \times E) . \end{aligned}

$\begin{align}\mathbf E\cdot (\mathbf \nabla\times\mathbf B)&= (\mathbf \nabla\times\mathbf B)\cdot \mathbf E\\ &= \mathbf \nabla\cdot (\mathbf B\times\mathbf E)+ \mathbf B\cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf E)\;.\end{align}$

Deshalb,

\begin{aligned} E \cdot J & = ϵ_{Ö} C^{2} \nabla \cdot (B \times E) + ϵ_{Ö} C^{2} B \cdot (\nabla \times E) - ϵ_{0} E \cdot \frac{\partial E}{\partial T} \\ = ϵ_{Ö} C^{2} \nabla \cdot (B \times E) + ϵ_{Ö} C^{2} B \cdot (\nabla \times E) - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{1}{2} ϵ_{0} E \cdot E) \\ = \nabla \cdot (ϵ_{Ö} C^{2} B \times E) + ϵ_{Ö} C^{2} B \cdot (- \frac{\partial B}{\partial T}) - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{1}{2} ϵ_{0} E \cdot E) \\ (2) & = \nabla \cdot (ϵ_{Ö} C^{2} B \times E) - \frac{\partial}{\partial T} (\frac{ϵ_{Ö} C^{2}}{2} B \cdot B + \frac{ϵ_{0}}{2} E \cdot E) \end{aligned}

$\begin{align}\mathbf E\cdot \mathbf J&=\epsilon_oc^2\,\mathbf \nabla\cdot (\mathbf B\times\mathbf E)+\epsilon_oc^2\,\mathbf B\cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf E)-\epsilon_0\mathbf E\cdot\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\\ &=\epsilon_oc^2\,\mathbf \nabla\cdot (\mathbf B\times\mathbf E)+\epsilon_oc^2\,\mathbf B\cdot (\mathbf \nabla \times \mathbf E)-\frac{\partial}{\partial t}\,\left(\frac12 \epsilon_0\,\mathbf E\cdot \mathbf E\right)\\ &=\mathbf \nabla\cdot (\epsilon_oc^2\,\mathbf B\times\mathbf E)+ \epsilon_oc^2 \mathbf B\cdot \left(-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right)-\frac{\partial}{\partial t}\,\left(\frac12 \epsilon_0\,\mathbf E\cdot \mathbf E\right)\\ &=\mathbf \nabla\cdot (\epsilon_oc^2\,\mathbf B\times\mathbf E) - \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon_oc^2}{2}\,\mathbf B\cdot \mathbf B+ \frac{\epsilon_0}2 \,\mathbf E\cdot \mathbf E\right) \tag 2\end{align}$

Vergleichen $(1)$ Und $(2)\,,$ wir bekommen

u = \frac{ϵ_{0}}{2} E \cdot E + \frac{ϵ_{Ö} C^{2}}{2} B \cdot B S = ϵ_{Ö} C^{2} E \times B .

$u = \frac{\epsilon_0}2 \,\mathbf E\cdot \mathbf E+\frac{\epsilon_oc^2}{2}\,\mathbf B\cdot \mathbf B\\ \mathbf S=\epsilon_oc^2\,\mathbf E\times\mathbf B \;.$

Dieser Vektor $\bf S\,,$ das ist der Energieflussvektor , den wir zu Beginn der Aufstellung der Kontinuitätsgleichung betrachtet haben, wird Poynting-Vektor genannt.

Die ganze Herleitung basiert auf der Kontinuitätsgleichung , die der mathematische Ausdruck der Energieerhaltung ist .

OP kann die Gleichung, die er in der Frage geschrieben hat, abschließen, indem er die Differentialform der Gleichung umwandelt $(2)$ in integrale Form; mit der Definition von $u$ Und $\bf S$ oben und zuletzt unter Verwendung des Satzes von Gauß abgeleitet.

Verweise:

$\bullet$ Vorlesungen über Physik von Feynman, Leighton, Sands.

Sie sagen, dass die Energieeinsparung als unabhängige Gleichung benötigt wird, um daraus abzuleiten, dass der Poynting-Vektor den Energiefluss angibt. Ich glaube nicht, dass das stimmt. Ich denke, die Energiekontinuitätsgleichung kann als Folge der Maxwell-Gleichungen gezeigt werden.

NEIN! Ich habe noch nie eine solche Aussage gemacht. Ich habe auf Ihre Frage geantwortet I know the books say it represents energy flux, but how do you prove it represents energy flux?; das ist es. Ich habe die Kontinuitätsgleichung vor OP klar dargestellt und versucht, jeden Term klar zu interpretieren und wie sie zusammen die Energieerhaltung implizieren. Die Kontinuitätsgleichung kann tatsächlich aus der Maxwell-Gleichung abgeleitet werden, und das habe ich getan, um sie zu definieren $u$ Und $\bf S\;.$ Ich bin wirklich ziemlich verärgert über die Behauptung, die OP gemacht hat.

Dies ist aber kein Beweis für die Energieerhaltung.

Es ist in der Tat ein Beweis für die Energieerhaltung.

Vergleichen Sie dies mit der Ladungserhaltung im Elektromagnetismus. Die Ladungserhaltung ist eine Folge der Maxwellschen Gleichungen, sie muss nicht unabhängig angenommen werden.

Okay, lass uns das Ding reparieren. Die Ladungserhaltung impliziert diese Kontinuitätsgleichung (dies kann aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden):

- \frac{\partial ρ_{v}}{\partial T} = \nabla J .

$-\frac{\partial \rho_V}{\partial t}= \mathbf \nabla \mathbf J\;.$

Dies legt nahe, dass die Energieerhaltung wie folgt aussehen würde:

- \frac{\partial u}{\partial T} = \nabla S .

$-\frac{\partial u}{\partial t}= \mathbf \nabla \mathbf S\;.$

Aber das ist unvollständig , da die Gesamtenergie und nicht nur die Feldenergie erhalten bleibt; die Wechselwirkung von Feld mit Materie muss berücksichtigt werden.

Ist die Energieerhaltung eine Folge der Maxwell-Gleichungen oder etwas unabhängig davon angenommen?

Ja. Die zur Energieerhaltung gedachte Kontinuitätsgleichung wird aus der Maxwell-Gleichung abgeleitet; so ist die Definition von $u$ Und $\bf S$ wurden berechnet. OP muss verwirrt sein, um in meiner Antwort zuerst die Kontinuitätsgleichung zu sehen, als ob ich sagen würde, dass die Kontinuitätsgleichung unabhängig betrachtet werden sollte, um die Energieeinsparung zu berücksichtigen . NEIN! Dies wurde absichtlich getan, um zu begreifen, dass der Satz von Poynting tatsächlich Energieerhaltung impliziert.

Ich schätze Ihre Antwort. Ihr Beweis des Satzes von Poynting ist korrekt. Aber Sie sagen, dass die Energieerhaltung als unabhängige Gleichung benötigt wird, um daraus abzuleiten, dass der Poynting-Vektor den Energiefluss angibt. Ich glaube nicht, dass das stimmt. Ich denke, die Energiekontinuitätsgleichung kann als Folge der Maxwell-Gleichungen gezeigt werden. Ich werde meine eigene Antwort bald posten.
@AmeetSharma: Manchmal bin ich ziemlich erstaunt, inwieweit Menschen Tatsachen falsch interpretieren. Habe ich etwas anderes gesagt, das Sie gezwungen hat zu behaupten, dass ich geschrieben habe, dass die Kontinuitätsgleichung nicht aus der Maxwell-Gleichung abgeleitet werden kann? Wenn Sie die Ableitung von sehen $(2)\,,$ Sie können es tatsächlich nehmen und es auf die Kontinuitätsgleichung zurückführen. Ich bin wirklich ziemlich erstaunt über Ihre Schlussfolgerung aus meiner Antwort.
Ja, weil Sie die Kontinuitätsgleichung nicht bewiesen haben. Du hast es angenommen. dh: Sie haben Energieerhaltung angenommen. Dann haben Sie den Satz von Poynting bewiesen. Und dann haben Sie diese beiden Ideen verwendet, um abzuleiten, dass der Poynting-Vektor ein Energiefluss ist. Ihr Beweis des Satzes von Poynting ist in Ordnung. Aber die Annahme der Energieeinsparung ist der springende Punkt meiner Frage
@AmeetSharma: Bearbeitet. Sehen Sie, ob Sie jetzt im Klaren sind.
@AmeetSharma: Ich habe es nie angenommen. Überprüfen Sie meine Bearbeitung.
bitte reg dich nicht auf. Ich schätze Ihre Hilfe und Ihre Bemühungen. Aber ich sehe nicht, wie Sie in Ihrem Beitrag die Energieeinsparung ableiten. Angenommen, wir haben den Satz von Poynting bewiesen. Jetzt ist die Frage tut $S=\epsilon_oc^2\,\mathbf E\times\mathbf B$ dem Kraftfluss ein Volumen geben? Das gilt es zu demonstrieren. Wenn wir das zeigen, dann haben wir die Energieeinsparung bewiesen. Ich sehe nicht, wo du das beweist. Wenn ich Sie falsch verstehe, entschuldige ich mich. Ich meine keine Respektlosigkeit. Es ist nur ein berechtigtes Missverständnis.
Sind diese Dinge, die verwendet werden: ein allgemeiner Transportsatz + vielleicht Annahme von keinen Quellen und Senken (was etwas mit keinem magnetischen Monopol zu tun haben könnte) + Definition von Arbeit + Lorentzkraftgesetz + Maxwells-Gleichungen + wahrscheinlich etwas über Lügengruppen und Invarianten (Satz von Noether)
@AmeetSharma: Das ist ziemlich einfach. Energieeinsparung sagt $Abnahmegeschwindigkeit der Feldenergie = Feldenergie, die pro Zeiteinheit aus dem Volumen abfließt + Arbeit, die das Feld an Materie innerhalb des Volumens leistet$ $\textrm{rate of decrease of field energy}= \textrm{field energy flowing out of the volume per unit time} +\textrm{work done by the field on matter inside the volume}$ . Der erste Begriff auf RHS ist $\int_{\Sigma} \mathbf S\cdot \mathrm d\mathbf a\;.$ Dann, als ich in meinen Ans zeige, $\bf S$ ist definiert als $\epsilon_oc^2\mathbf E\times \mathbf B\;.$ Ist es dir immer noch nicht klar? Hier gibt es keine Annahme; nur ein grundlegender Vergleich mit der Kontinuitätsgleichung der Ladung und der Einbeziehung der Wechselwirkung des Feldes mit der Materie und den Maxwell-Gleichungen.
@MAFIA36790 Eigentlich beweist das nur das $\vec S = \epsilon_0 c^2 \vec E\times\vec B$ bis auf ein divergenzfreies Vektorfeld: $\vec S' = \vec S+\vec f$ , Wo $\operatorname{div}\vec f = 0$ , könnte auch als Energieflussdichte betrachtet werden. Wenn es durch eine geschlossene Oberfläche integriert wird, würde dies den gleichen Gesamtenergiefluss ergeben, aber nicht, wenn es durch eine offene Oberfläche integriert wird. Ich habe noch nie einen sehr überzeugenden Grund zum Wegwerfen gefunden $\vec f$ ...
@MichelFioc: Ja, es bleibt immer eine Mehrdeutigkeit der Feldenergie ... dies veranlasste mich zu folgender Frage: Warum gibt es eine Mehrdeutigkeit der Feldenergie? ; aber das ist einfach eine andere Geschichte und es wäre irrelevant, sie hier zu platzieren, da OP dies nicht gefragt hat.

UKH · Answer 2

Der Satz von Poynting ist der Arbeits-Energie-Satz in der Elektrodynamik. Die Gleichung sagt uns, dass die Gesamtleistung (oder Energie), die von einer elektromagnetischen Welle getragen wird, gleich der Abnahme der Energiespeicher im Feld (erster Term) minus der vom Feld abgestrahlten Energie (zweiter Term) ist. Die abgestrahlte Energie wird niemals zurückkommen. Es ist weg. Die abgestrahlte Energie ist nichts anderes als ein Teil der Energie, die von der EM-Welle getragen wird. Energiestrahlung bedeutet also, dass die Energie im Feld abnimmt. Dies wird durch den Energieerhaltungssatz gefordert. Es ergibt Sinn. Wenn keine Energie abgestrahlt wird, ist die vom Feld getragene Energie gleich der im Feld gespeicherten Energie. Wenn die gesamte Energie ausstrahlt, wird die Welle gedämpft, da keine Energie mehr im Feld verbleibt.
Die EM-Welle wird durch oszillierende Ladungen erzeugt. Es wird also eine Beschleunigung geben. Das von einer solchen Ladung erzeugte Feld enthält also einen beschleunigungsabhängigen Term und einen geschwindigkeitsabhängigen Term. Ersteres verursacht Strahlung. Letzteres ist die im Feld gespeicherte Energie.

Schön, dass an Ihrer Universität immer noch gelehrt wird, dass EM-Strahlung von beschleunigten Ladungen und nicht von Bewegung stammt. Dies scheint in über 30 Ländern vergessen zu sein. Kann über EM-Strahlung chatten?
@HolgerFiedler: Ich bin wirklich verwirrt darüber, was Sie dazu gebracht hat, zu sagen, dass es in vergessen wurde.... . Jedes Buch macht seinen Standpunkt dazu ziemlich deutlich.
@HolgerFiedler, „Elektrodynamik ist eines meiner Lieblingsthemen. Deshalb diskutiere ich gerne mit Ihnen. Eine ausführliche Diskussion über elektromagnetische Strahlung finden Sie in Standardbüchern zur Elektrodynamik wie Introduction to Electrodynamics von DJGriffith
@HolgerFiedler Außer natürlich, dass ein lokaler Beobachter eine Strahlungswelle ziemlich deutlich wahrnimmt, wenn eine Ladung vorbeigeht. Sie können es sogar mit Ihren eigenen Augen als blaues Leuchten sehen ... es wird Cherenkov-Strahlung genannt.
@FlatterMann „Die von einem Teilchen emittierte Strahlung nimmt dessen kinetische Energie auf und folglich nimmt die Geschwindigkeit des Teilchens während des Emissionsvorgangs ab.“ Diese Aussage steht weder im englischen noch im deutschen Wiki. Es ist nur auf Russisch. ru.wikipedia.org/wiki/Эффект_Вавилова_ —_Черенкова#Интересные_следствия
@HolgerFiedler Das ist Strahlung. Und nein, Wikipedia entscheidet nicht über Physik. Die Natur tut es.

Ameet Sharma · Answer 3

Ich versuche hier zu zeigen, dass die Energieerhaltung (die Energiekontinuitätsgleichung) sowie die Interpretation des Poynting-Vektors als Energiefluss Konsequenzen aus den Maxwell-Gleichungen sind.

Satz von Poynting:

\int_{v} (\vec{E} \cdot \vec{J}) D v = - \frac{\partial}{\partial T} \int_{v} \frac{1}{2} (ϵ_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) D v - \frac{1}{μ_{0}} \oint_{S} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S}

$\int_V\left(\vec{E}\cdot\vec{J}\right)\,\mathrm dV = -\dfrac{\partial}{\partial t}\int_V\dfrac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \dfrac{1}{\mu_0}B^2\right)\,\mathrm dV - \dfrac{1}{\mu_0}\oint_S \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S}$

Die Definition von

$P_E = \int_V\dfrac{1}{2}\epsilon_0 E^2 \,\mathrm dV$ als elektrische potentielle Energie und

$P_M = \int_V\dfrac{1}{2\mu_0} B^2 \,\mathrm dV$ als magnetische potentielle Energie

stammt aus der Elektrostatik und Magnetostatik.

Kinetische Energie, $K = \int_V\left(\vec{E}\cdot\vec{J}\right)\,\mathrm dV$

Der Satz von Poynting kann also einfach geschrieben werden als:

\frac{D}{D T} (K + P_{E} + P_{M}) = - \frac{1}{μ_{0}} \oint_{S} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S}

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(K+P_E+P_M\right) = - \dfrac{1}{\mu_0}\oint_S \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S}$

Nehmen wir nun an, der Raum ist in 2 Bereiche aufgeteilt (einer kann ein geschlossener Bereich sein, der andere kann offen sein oder beide können offen sein), geteilt durch eine Oberfläche S (S1 umschließt Region 1, S2 umschließt Region 2. gleiche Oberfläche mit gegenüberliegenden Normale).

Schreiben Sie den Satz von Poynting für jede Fläche:

\frac{D}{D T} (K_{1} + P_{E_{1}} + P_{M_{1}}) = - \frac{1}{μ_{0}} \oint_{S_{1}} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S}

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(K_1+P_{E_1}+P_{M_1}\right) = - \dfrac{1}{\mu_0}\oint_{S_1} \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S}$

\frac{D}{D T} (K_{2} + P_{E_{2}} + P_{M_{2}}) = - \frac{1}{μ_{0}} \oint_{S_{2}} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S}

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(K_2+P_{E_2}+P_{M_2}\right) = - \dfrac{1}{\mu_0}\oint_{S_2} \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S}$

\frac{1}{μ_{0}} \oint_{S_{1}} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S} = - \frac{1}{μ_{0}} \oint_{S_{2}} (\vec{E} \times \vec{B}) \cdot D \vec{S}

$\dfrac{1}{\mu_0}\oint_{S_1} \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S} = - \dfrac{1}{\mu_0}\oint_{S_2} \left(\vec{E}\times\vec{B}\right)\cdot\,\mathrm {d\vec S}$

So

\frac{D}{D T} (K_{1} + P_{E 1} + P_{M 1}) = - \frac{D}{D T} (K_{2} + P_{E 2} + P_{M_{2}})

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(K_1+P_{E1}+P_{M1}\right) = - \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(K_2+P_{E2}+P_{M_2}\right)$

\frac{D}{D T} (K_{1} + P_{E_{1}} + P_{M_{1}} + K_{2} + P_{E_{2}} + P_{M_{2}}) = 0

$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(K_1+P_{E_1}+P_{M_1}+K_2+P_{E_2}+P_{M_2}\right) = 0$

Da sich die Gesamtenergie in den beiden Regionen nicht ändert (was Energieerhaltung direkt aus den Maxwell-Gleichungen impliziert), können wir den Nettoenergieverlust in einer bestimmten Region als Energie interpretieren, die die Region verlässt ... daher können wir ihn als Poynting interpretieren Vektor.

Es ist die gleiche Idee, egal in wie viele Regionen wir den Raum aufteilen.

Verwenden Sie $$ $$, um die Gleichung im Anzeigestil zu schreiben.
Ich würde es wagen, Ihnen zu sagen, dass das Coulombsche Gesetz und das Biot-Savart-Gesetz funktionieren und nur für die Statik gelten. Während der Statik wird kein zeitabhängiges EM-Feld erzeugt.

Satz von Poynting - Energieerhaltung

Ameet Sharma

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Knzhou

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Energiedichte und Poynting-Vektor:

Verweise:

Ameet Sharma

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Ameet Sharma

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Emil

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Michel Fioc

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