Übertragene Leistung und Satz von Poynting Widerspruch?

Ich las Kapitel 12.1 in Hayt & Buck „Engineering Electromagnetics“, 8. Ausgabe. Hier diskutieren sie die Reflexion gleichförmiger ebener Wellen bei senkrechtem Einfall.

Sie leiteten die folgenden Ausdrücke für die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten ab:

Γ = E X 10 − E X 10 + = η 2 − η 1 η 2 + η 1

τ = E X 20 + E X 10 + = 2 η 2 η 1 + η 2 = 1 + Γ

Wo η 1 , η 2 sind die intrinsischen Impedanzen der beiden Materialien (die komplex sein können), und das elektrische Feld ist in x-Richtung parallel zur Grenzfläche gleichmäßig.

Dann betrachten sie die reflektierte und die übertragene Leistung.

Sie verwenden den Satz von Poynting in Zeigerform: ⟨ S ⟩ = | 1 2 ℜ { E S × H S } | . Daraus schließen sie aus den Reflexions- und Transmissionskoeffizienten und den Eigenimpedanzen

⟨ S 1 R ⟩ = | Γ | 2 ⟨ S 1 ich ⟩

⟨ S 2 ⟩ = ℜ { 1 / η 2 ∗ } ℜ { 1 / η 1 ∗ } | τ | 2 ⟨ S 1 ich ⟩

Andererseits impliziert die Energieerhaltung, dass die übertragene Leistung die einfallende Leistung minus der reflektierten Leistung sein muss, also ist ein anderer Ausdruck

⟨ S 2 ⟩ = ( 1 − | Γ | 2 ) ⟨ S 1 ich ⟩

Aber die beiden Formen der für die übertragene Leistung erhaltenen Koeffizienten sind im Allgemeinen nicht gleich. Nach meinen Berechnungen wären sie genau dann gleich, wenn die beiden Eigenimpedanzen ein Verhältnis haben, das eine reelle Zahl ist. Aber ich sehe keinen Grund dafür, dass dies im Allgemeinen der Fall ist, und dennoch scheint keiner der Schritte diese Annahme zu treffen.

Wo entsteht also der Widerspruch?

Ich würde vermuten, dass dies bei einer komplexen Impedanz eine Art Dispersion impliziert (dh es wird an Ladungen gearbeitet, wodurch möglicherweise Oberflächenströme erzeugt werden).
Das dachte ich auch, aber berücksichtigt der Satz von Poyting nicht die Leitung? Wenn ich mich richtig erinnere, enthält es die Summe aus Leitungsstromenergie, elektrischer Feldenergie und magnetischer Feldenergie.
Das tut es, aber das bedeutet dann nicht, dass der Poyting-Vektor erhalten bleibt, denken Sie an einen Widerstand, der Poyting-Vektor geht in den Widerstand, wobei die Energie, die er trägt, in Joulesche Erwärmung umgewandelt wurde.

Antworten (3)

Wenn die Impedanzen komplex sind, bedeutet dies, dass Sie dissipative Terme haben. Wenn das Problem beispielsweise ein normaler Einfall aus dem Vakuum in einen Leiter war, dann ist die Energieeinsparung nicht so einfach wie zu sagen, dass der (Größe des) Poynting-Vektors der einfallenden Welle gleich der Summe der Poynting-Vektoren in den gesendeten und reflektierten Wellen ist.

In einem Dirigenten ist dann ein E ⋅ J Term, der in jede Energieerhaltungsrechnung aufgenommen werden muss, da das übertragene E-Feld auf die Leitungsladungen wirkt (nicht der Fall, wenn die Impedanzen real sind).

Beispielsweise könnte das elektrische Feld in einem leitenden Material mit einem komplexen Wellenvektor die Form haben

E → = E 0 exp ⁡ ( − a X ) exp ⁡ [ ich ( k X − ω T ) ]   J ^
und der zeitlich gemittelte Poynting-Vektor wird proportional zu sein exp ⁡ ( − 2 a X ) , sondern ist ein Vektor entlang der x-Achse.

Die Divergenz davon ist ungleich Null, was Ihnen sagt, dass der Poynting-Vektor keine Erhaltungsgröße ist, sodass Sie die Summen der Poynting-Vektoren nicht einfach gleichsetzen können.

Tatsächlich wird die Energie der Leiter in die induzierten Ströme umgewandelt. Was mich jedoch verwirrt, ist, warum diese nicht vom Poynting-Vektor berücksichtigt werden. In dem Buch besagt das Theorem, dass der Fluss des E x H-Vektors in eine geschlossene Oberfläche die Summe ist aus: dem Volumenintegral von E Punkt J; die zeitliche Ableitung des Volumenintegrals von 1/2 D Punkt E; die Zeitableitung des Volumenintegrals von 1/2 B Punkt H. Ich würde also erwarten, dass der dissipative Term Teil des E * J-Integrals ist ...
@TobErnack Ich kann deiner Verwirrung nicht folgen. Nehmen wir das Beispiel einer Welle, die sich in einem Metall ausbreitet. Seine Amplitude und sein Poynting-Vektor fallen exponentiell ab. Wenn ich ein Volumen im Metall betrachte, ist der Poynting-Vektor innen nicht gleich dem Poynting-Vektor außen. Die Abweichung von S ist ungleich Null, also der Fluss von S ist nicht konserviert. Ich denke, das ist alles, was hier vor sich geht.
Hm ich glaube ich verstehe was du meinst. Wenn wir im Metall tief genug gehen, wird die Amplitude der elektrischen und magnetischen Felder sehr klein, und daher wird der Poynting-Vektor dort auch klein, sodass nicht die gesamte Leistung berücksichtigt wird, die in den Ladungen dissipiert wurde beim ankommen. Aber was ist mit den Feldern direkt an der Grenze? Sie haben noch keine Zeit zum Abklingen, aber ihre Amplituden sind aufgrund des Transmissionskoeffizienten noch unterschiedlich.
Wenn wir also den Poynting-Vektor an einem Punkt direkt unter der Grenzfläche berechnen würden, würde sich der exponentielle Zerfallsterm geringfügig von 1 unterscheiden, und daher sollte die durchschnittliche Leistung dort nahe an der Gesamtleistung liegen? Aber es scheint, dass die Größe des Vektors stattdessen direkt an der Grenze diskontinuierlich ist.
@TobErnack Die Divergenz wird auch maximiert! E ⋅ J ist eine Senke des Poynting-Vektors. Unmittelbar hinter der Grenze wird die Differenz zwischen einfallender und reflektierter Leistung verwendet, um die gesendete Welle mit Energie zu versorgen und eine Stromdichte zu versorgen.
Es ist lange her, aber ich habe diese Frage gerade wieder aufgegriffen, und mir ist jetzt klar, dass meine Energieerhaltungsgleichung tatsächlich fehlt E ⋅ J B Term, der durch die Verschiebung gebundener Ladung verursacht wird, wenn die Impedanzen komplex sind (induziert gebundene Ströme).
Es gibt jedoch einen Unterschied zwischen dem freien Strom (der Null sein kann, wenn das Medium makroskopisch nicht leitend ist) und den gebundenen Strömen. Sie könnten ein dispersives, aber nicht leitendes Medium haben, und in diesem Fall verlieren Sie auch Energie in den gebundenen Strömen, die nicht durch das makroskopische Poynting-Theorem (das freie Ströme verwendet) berücksichtigt werden. Die Dispersivität würde eine komplexe Eigenimpedanz verursachen.

Ich kam ein paar Jahre später auf dieses Problem zurück und fand schließlich heraus, was falsch war.

Zunächst einmal bleiben die Poynting-Vektoren tatsächlich über die Grenze hinweg erhalten (platziert bei z = 0 ), aber Sie können die nicht verwenden S → 1 ich Und S → 1 R Vektoren unabhängig in der Energieerhaltungsgleichung. Denn es kommt zu einer Interferenz zwischen einfallender und reflektierter Welle, die im Medium 1 ein Stehwellenmuster verursacht, dessen mittlere Intensität ortsabhängig ist.

Im Allgemeinen bewirken Interferenzeffekte, dass die Intensität der Summe zweier Wellen unterschiedlich ist von der Summe der Intensitäten der beiden Wellen. Die Störung bedeutet, dass Sie nicht einfach sagen können ⟨ S 1 ich ⟩ = ⟨ S 1 R ⟩ + ⟨ S 2 ⟩ oder ( 1 − | Γ | 2 ) ⟨ S 1 ich ⟩ = ⟨ S 2 ⟩

Lassen S → 1 sei der gesamte Poynting-Vektor in Medium 1, und S → 2 das gleiche für Medium 2.

Per Definition, S → 1 = E → 1 × H → 1 Wo E → 1 , H → 1 sind die gesamten elektrischen und magnetischen Felder in Medium 1. Angenommen, die Grenzfläche zwischen Medium 1 und 2 hat keine Stromschichten ( K → S = 0 → ), dann implizieren die Randbedingungen dies E → 1 = E → 2 Und H → 1 = H → 2 . Deshalb müssen wir auch eindeutig haben S → 2 = S → 1 , und die Intensität bleibt über die Grenzfläche erhalten (at z = 0 ).

Das heißt, wir sollten das immer noch sagen können ⟨ S 1 ⟩ = ⟨ S 2 ⟩ (bei z = 0 , nochmal). Wie finden wir also richtig? ⟨ S 1 ⟩ gegeben ⟨ S 1 ich ⟩ ?

Die einfallende Welle in Medium 1 breitet sich im aus z ^ Richtung, mit E → 1 ich In X ^ Und H → 1 ich In j ^ . Außerdem wissen wir das in Phasorform H 1 ich = E 1 ich η 1

Die reflektierte Welle in Medium 1 breitet sich im aus − z ^ Richtung, mit E → 1 R wieder rein X ^ . Dies impliziert H → 1 R ist in − j ^ , weil die Richtung der Welle umgedreht wurde. In Phasorform haben wir also H 1 R = − E 1 R η 1 . Außerdem wissen wir das E 1 R = Γ E 1 ich , und daher H 1 R = − Γ H 1 ich .

Die Gesamtzeiger in Medium 1 sind dann E 1 = E 1 ich + E 1 R = ( 1 + Γ ) E 1 ich Und H 1 = H 1 ich + H 1 R = ( 1 − Γ ) H 1 ich .

Daher ist der Poynting-Vektor in Zeigerform S 1 = 1 2 E 1 × H 1 ∗ = 1 2 ( 1 + Γ ) ( 1 − Γ ∗ ) E 1 ich × H 1 ich = ( 1 + Γ ) ( 1 − Γ ∗ ) S 1 ich

Beachten Sie, dass S 1 = ( 1 − | Γ | 2 ) S 1 ich + 2 J ℑ { Γ } S 1 ich , also gibt es neben dem einen zusätzlichen Begriff ( 1 − | Γ | 2 ) Faktor, der von der Interferenzwirkung herrührt. Wenn Γ Und S 1 ich Imaginäre Komponenten haben (dh wann η 2 η 1 ist nicht echt und η 1 nicht reell ist) erhalten wir einen Beitrag ungleich Null zum Realteil des Poynting-Zeigers. Also können wir nur verwenden ⟨ S 1 ich ⟩ = ⟨ S 1 R ⟩ + ⟨ S 2 ⟩ Wenn η 1 real ist oder wann η 2 η 1 ist echt.

Wir können ersetzen Γ = η 2 − η 1 η 2 + η 1 Und S 1 ich = | E 1 ich | 2 2 η 1 erhalten

S 1 = 2 η 2 η 1 + η 2 2 η 1 ∗ η 1 ∗ + η 2 ∗ | E 1 ich | 2 2 η 1 = 2 η 2 | η 1 + η 2 | 2 | E 1 ich | 2 = | τ | 2 | E 1 ich | 2 2 η 2 ∗ = | E 2 | 2 2 η 2 ∗ = S 2

was das bestätigt S → 1 = S → 2 .

Darüber hinaus, ⟨ S 1 ⟩ = ⟨ S 2 ⟩ = ℜ { | τ | 2 | E 1 ich | 2 2 η 2 ∗ } = | τ | 2 | E 1 ich | 2 2 ℜ { 1 / η 2 ∗ } = ℜ { 1 / η 2 ∗ } ℜ { 1 / η 1 ∗ } | τ | 2 ⟨ S 1 ich ⟩ und so haben wir die Formel für bestätigt ⟨ S 2 ⟩ .

Die Kommentare zur Verlustleistung aufgrund E → ⋅ J → Bedingungen sind gültig, aber sie implizieren dies nicht S → ist über die Grenzfläche diskontinuierlich. Die dissipativen Terme erzeugen einen Absorptionskoeffizienten, der verursacht S → mit zunehmender Entfernung abklingen. Aber direkt über einer Grenzfläche ist das eingeschlossene Volumen Null, also das Volumenintegral von E → ⋅ J → Null sein (unter der Annahme, dass die Stromdichten über ein Volumen verteilt sind und es keine Stromschichten gibt), und daher ist der nach innen gerichtete Fluss gleich dem nach außen gerichteten Fluss über die Grenzfläche (dh der Poynting-Vektor ist kontinuierlich).

Außerdem können Absorptionskoeffizienten auch dann auftreten, wenn das Medium nichtleitend ist, dh auch wenn J → F = 0 → . Dies liegt daran, dass Leistung auch durch gebundene Ströme und Bewegungen gebundener Ladungen dissipiert werden kann, die im Satz von Poynting nicht explizit berücksichtigt werden. Stattdessen zeigen sie sich, indem sie komplexe elektrische und magnetische Dielektrizitätskonstanten verursachen.

Eine andere Möglichkeit, dies zu verstehen, ist, dass obwohl S → hat im Allgemeinen eine Divergenz ungleich Null, die Divergenz ist immer noch endlich, also Flüsse von S → können nur kontinuierlich über ein Volume hinweg variieren, und sie können sich nicht einfach über eine Schnittstelle hinweg ändern. Dazu bräuchten Sie unendliche Volumenstromdichten oder im Grunde so etwas wie Strombleche oder Stromdrähte.

Sie erwarten nur, dass die übertragene Leistung gleich der einfallenden Leistung minus der reflektierten Leistung ist, wenn Ladungen keine Energie zugeführt wird (die dann Energie durch Wärme verlieren können).

Der Poynting-Vektor hat keinen divergenzfreien Energiefluss, er kann Energie gewinnen oder verlieren, indem er Energie an Ladungen erhält oder liefert. Und die Ladungen können Energie aus den Feldern abgeben oder daraus gewinnen, aber auch Energie an Wärme gewinnen oder abgeben.

Ein Argument zur Energieeinsparung sagt Ihnen nichts, wenn Sie nicht wissen, dass die Energie zu nichts anderem führt.

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