Warum entspricht ein negativer Reflexionskoeffizient einer Phasendifferenz von ππ\pi?

Als Beispiel verwende ich die Fresnel-Gleichungen:

$$t_{p,s}=\frac{2\cos\theta^i}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{T}$$

$$r_{p,s}=\frac{\cos\theta^{t,i}-\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{R}$$

Die Indizes auf der linken Seite von$(\mathrm{T})$&$(\mathrm{R})$;$p,s$sind mit den hochgestellten Zeichen verknüpft$t,i$auf der RHS von$(\mathrm{T})$&$(\mathrm{R})$. Wo$p$bezeichnet die elektrische Feldkomponente parallel zur Einfallsebene (das ist die Seite / der Bildschirm),$s$die elektrische Feldkomponente senkrecht zur Einfallsebene ist. Die hochgestellten Zeichen$i$,$t$Inzidenz bzw. Übertragung bezeichnen.

Bei normaler Inzidenz$\theta^i=\theta^t=0$und so

$$r_p=r_s=r=\frac{E^r}{E^i}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\tag{N}$$

Betrachten wir den einfachen Fall von normal aus Luft einfallendem Licht ($n_1 \approx 1$) zu Glas ($n_2\approx 1.5$) Dann:

$$\color{blue}{\fbox{$\frac{E^r}{E^i}=-0.2$}}$$

Hier beginnt nun meine Hauptfrage: Laut jeder Quelle, der ich begegne, geben sie typischerweise an: „Der Grund für das Minuszeichen ist, dass es eine Phasendifferenz von gibt$\pi$zwischen der reflektierten Welle und der einfallenden Welle."

Walter Lewin verwendete die gleiche Berechnung wie in$(\mathrm{N})$und erreichte das blau markierte Kästchen und fragte seine Zuhörer: "Was bedeutet das Minus?" Was zu sehen ist$53$min in seinem Vortrag "8.03 - Lect 18 - Index of Refraction, Reflection, Fresnel Equations, Brewster Angle". Einer seiner Schüler antwortete, dass die Bedeutung des Minus ist$180^{\circ}$Phasendifferenz. Dann bekräftigt Walter weiter, dass das Minus bedeutet$\pi$Phasendifferenz und gab dafür eine intuitive (heuristische) Begründung (die meine Frage hier leider nicht beantwortet).

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Hier ein kurzer Auszug aus meinem Vorlesungsskript:

Der Text, den ich für diese beiden Aufzählungspunkte rot umrandet habe, bedarf einer Begründung. Warum impliziert „positiv“ „gleichphasig“ und „negativ“ „Phasendifferenz von“.$\pi$'?

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Abschließend möchte ich verstehen, warum der Vorzeichenwechsel in der Kurve von auftritt$r_p$; da es das einzige Verhältnis von Reflexion zu Einfall ist, das tatsächlich die$\theta_i$Achse:

Wenn ich mir die Grafik auf der linken Seite ansehe, wird mir gesagt, dass die Phasendifferenz

$$\theta^r-\theta^i=\begin{cases} \pi & \text{if}\quad \theta^i \lt \theta_B \\ 0 & \text{if}\quad \theta^i \gt \theta_B \end{cases}$$

ohne Beweis. Ich bin es sehr leid, dass mir das ohne Erklärung gesagt wird. Auf Seite 391 von „Introduction to Electrodynamics“, 3. Auflage, von „David J. Griffiths“ ist das gleiche Diagramm wie auf der linken Seite des Bildes oben, und seine Begründung lautet so

In der Grafik zeigt eine negative Zahl an, dass die Welle ist$180^{\circ}$außer Phase mit dem einfallenden Strahl.

Was wiederum für mich nutzlos ist und die mathematische Argumentation nicht mit aller Strenge erklärt; Das ist die Art von Erklärung, nach der ich suche.

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Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, dass das Minuszeichen einer Phasendifferenz von entspricht$\pi$aus dem Skalarprodukt innerhalb des Arguments des elektrischen Felds kommen müsste:

$$\vec E_i=\vec E_{0_i}e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}\tag{1}$$ $$\vec E_r=\vec E_{0_r}e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}\tag{2}$$ $$\vec E_t=\vec E_{0_t}e^{i(\omega t - k_t\cdot \vec r)}\tag{3}$$

Teilungsgleichung$(2)$von$(1)$Ich finde das per Definition

$$r_p=\frac{E_r}{E_i}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}\frac{e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}}{e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}$$

Aber ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll, um das zu zeigen, wenn

$$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\tag{?}$$ dann gibt es eine Phasendifferenz von $\pi$zwischen $\vec E_i$Und $\vec E_r$.

Könnte mir bitte jemand helfen, den Beweis zu vervollständigen oder mir zu zeigen, ob es einen anderen Weg gibt, um zu beweisen, dass ein negatives Verhältnis von Reflexion zu Einfall eine Phasenänderung von bedeutet$\pi$?

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Ich habe bereits ähnliche Fragen auf dieser Seite gelesen; wie diese , diese und diese beliebte Frage , aber sie beantworten meine Frage hier immer noch nicht.

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Aktualisieren:

Seitdem habe ich eine Antwort erhalten, die einen Sonderfall von Eulers Identität erwähnt; die Antwort besagt das

jedes Minuszeichen kann als Phasenverschiebung uminterpretiert werden$\pi$, die Sie in das Feldargument einbringen können.

Verwendung der Ungleichung$(\mathrm{?})$und Eulers Formel bedeutet das

$$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\implies \vec r(k_i-k_r)=\pi\tag{4}$$

Also wie funktioniert$(4)$Zeigen Sie, dass jede negative Zahl eine Phasendifferenz von hat$\pi$aus dem Verhältnis von Reflexion zu Einfall?