Satz von Poynting vereinfacht?

Hier ist eine für Medien geeignete Version des Satzes von Poynting$\epsilon_r=1$,$\mu_r=1$(der Einfachheit halber).

$$\nabla \cdot {\bf S} + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right) + {\bf E} \cdot {\bf J} = 0,$$ Wo ${\bf S}$ist der Poynting-Vektor ( ${\bf E} \times {\bf B}/\mu_0$oder ${\bf E} \times {\bf H}$).

Der erste Term, die Divergenz des Poynting-Vektors, ist der Fluss pro Volumeneinheit${\bf S}$, was positiv ist, wenn der Fluss von${\bf S}$ist nach außen . Da der Poynting-Vektor Watt pro Quadratmeter hat, wird dieser Fluss in Watt pro Volumeneinheit gemessen (dh Energieänderungsrate pro Volumeneinheit).

Die Terme 2 und 3 stellen dar: die Änderungsrate der Energie pro Volumeneinheit in den elektromagnetischen Feldern und die Rate, mit der durch das elektrische Feld Arbeit an Ladungen verrichtet wird (das Magnetfeld arbeitet nicht, da die magnetische Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit ist). .

Durch Integrieren über ein Volumen kann der erste Term ersetzt werden, indem man den Gaußschen Satz angibt

$$\oint {\bf S} \cdot d{\bf A} + \int \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right) + {\bf E} \cdot {\bf J}\ dV = 0$$ . wobei das erste Integral nun eindeutig den Gesamtfluss von darstellt ${\bf S}$in oder aus einem Volumen.

Betrachten wir also einige Szenarien.

1. Die elektromagnetischen Felder leisten keine Arbeit, aber die Energiemenge pro Volumeneinheit in den EM-Feldern nimmt ab. Der Satz von Poynting sagt uns, dass die Energie in Form eines positiven Poynting-Vektorflusses austreten muss.

2. Die Energie pro Volumeneinheit bleibt konstant, aber die Felder verrichten Arbeit an den Ladungen. dh${\bf E}\cdot {\bf J}$ist positiv. Der Satz von Poynting sagt uns, dass diese Arbeit durch einen Fluss von geliefert wird${\bf S}$ nach innen .

3. Nehmen wir an, die von den Feldern verrichtete Arbeit ist positiv, aber als Ergebnis nimmt die Energie pro Volumeneinheit in den Feldern mit der gleichen Rate ab. Der Satz von Poynting sagt uns, dass es keinen Fluss von gibt${\bf S}$in oder aus dem betrachteten Volumen.

(Füge meinen Kommentar als Antwort hinzu)

Der Satz von Poynting für EM ist der Ausdruck für eine Kontinuitätsgleichung (und Kompatibilitätsbedingung), die beschreibt, wie Energie in lokalen Begriffen übertragen wird (und wie Energie erhalten wird), indem Verteilungen verwendet werden.

Ähnliche Kontinuitätsgleichungen werden in vielen Bereichen formuliert, insbesondere in Wellen (einschließlich der Quantenmechanik, auch bekannt als Wellenmechanik).

Mathematisch ist es eine Form des Satzes von Stoke , der einfacher ausgedrückt besagt, dass das, was hineingeht , minus dem, was hinausgeht , gleich dem ist , was drinnen bleibt

Im Fall des Pynting-Theorems (wie im Wikipedia-Link angegeben) ist die Rate der Energieübertragung (pro Volumeneinheit) drinnen , der Energiefluss, der die Region verlässt, und die Rate der geleisteten Arbeit eine Ladungsverteilung

(Man kann die "Etiketten" von dem, was draußen , drinnen oder drinnen ist, wechseln und es wird immer noch korrekt sein, solange es konsistent ist)