Energieerhaltung / Poynting-Vektor

Auf dieser Seite heißt es:

„Die einzigen Feldpaare (a,b), für die wir einen von Null verschiedenen Wert des Poynting-Vektors für einen großen Abstand r₀ über der Kugel erhalten können, sind (R, R); (Strahlung, Strahlung) und (2, R ); (relativistisch, Strahlung). Der Grund ist folgender: Die sphärische Oberfläche nimmt mit r₀² zu und jedes Feld in diesen Paaren auf dieser Oberfläche nimmt mit 1/r₀ ab, sodass ihr Produkt mit (1/r₀)² abnimmt. Folglich sogar wenn r₀ gegen unendlich geht, bleibt das Oberflächenintegral (Gl. (33)) des Poynting-Vektors unverändert.In diesem Fall geht eine genau bestimmte Menge an Leistung aus der Kugel, egal wie groß r₀ ist.Daher geht diese Energie verloren immer."

Liegt hier ein Fehler vor, so nimmt sicher jedes Feld ab$\frac{1}{r_{0}^{2}}$, was bedeutet, dass ihr Produkt abnimmt als$\frac{1}{r_{0}^{4}}$?

Zum Beispiel in meinen Anmerkungen zur Plasmaphysik mitten in einer Ableitung der Energieerhaltung (wobei$E^{f}$ist die Energie der EM-Felder) heißt es:

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} E^{f}}{\mathrm{~d} t}=& \varepsilon_{0} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{E} \cdot\left[\frac{1}{\varepsilon_{0} \mu_{0}} \nabla \times \mathbf{B}-\frac{1}{\varepsilon_{0}} \mathrm{j}\right]+\frac{1}{\mu_{0}} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{B} \cdot(-\nabla \times \mathbf{E})=\\ &-\int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{j} \cdot \mathbf{E}+\frac{1}{\mu_{0}} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{B})-\frac{1}{\mu_{0}} \int \mathrm{d}^{3} x \mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{E}) \end{aligned}$$ Verwenden der Vektoridentität $$\nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})=\mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})-\mathbb{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{B})$$ wir können schreiben: $$\int \mathrm{d}^{3} x[\mathbf{E} \cdot(\nabla \times \mathbf{B})-\mathbf{B} \cdot(\nabla \times \mathbf{E})]=-\int \mathrm{d}^{3} x \nabla \cdot(\mathbf{E} \times \mathbf{B})=\int_{S}(\mathbf{E} \times \mathbf{B}) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\sigma}=0$$ wie für$\mathbf{x} \rightarrow \infty$die Felder müssen gegen Null gehen, um die Energie endlich zu halten.

Dies deutet darauf hin, dass die Felder viel schneller abnehmen als die sie umgebende Oberfläche zunimmt, was bedeutet, dass kein Fluss die Oberfläche im Unendlichen durchquert, was der am Anfang dieser Frage zitierten Webseite widerspricht. Ich bin ziemlich verwirrt von diesen beiden Erklärungen und würde gerne die Bedingungen/Fälle kennen, in denen das Oberflächenintegral des Poynting-Vektors tatsächlich verschwindet.

BEARBEITEN : Beachten Sie in diesem Fall zur Energieeinsparung, $\frac{\mathrm{d} E^{f}}{\mathrm{~d} t}= -\int \mathrm{d}^{3} x\ \mathbf{j} \cdot\mathbf{E}$ müssen zufrieden sein.