Gaußsches Gesetz für Magnetismus: Doppelintegral

Das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus wird wie folgt mit dem schönen Doppelintegral mit geschlossener Oberfläche (von wikipidia ) angegeben:

∯ S ⁡ B ⋅ D A = 0

Soweit ich weiß, besteht die Idee darin zu sagen, dass wir alle Skalarprodukte zwischen dem Vektorfeld summieren (kontinuierliche Summe seit dem Integral). B (dh Magnetfeld) und Oberflächenelementen D A definiert durch ihre Oberflächennormalen, erhalten wir 0 ?

Angesichts der Tatsache, dass das obige richtig ist, warum das Doppelintegral verwenden (ich nehme an, der Kreis steht für „geschlossene Oberfläche“)? Aber warum ein doppeltes Integral verwenden, während in anderen Formeln wie für den magnetischen Fluss ein einfaches Integral verwendet wird, obwohl es immer noch eine kontinuierliche Summierung über eine Fläche ist - wenn ich mich nicht irre -?

dh:

Φ B = ∮ S B ⋅ D S

Antworten (1)

Ein Doppelintegral bedeutet in diesem Zusammenhang, dass Sie über eine Fläche integrieren. Das Integral ist hier ein Doppelintegral, da eine Fläche durch zwei Parameter parametrisiert wird.

Ich denke, Ihre Verwirrung liegt in der Notation. Ein Oberflächenintegral wird manchmal mit zwei Integralsymbolen bezeichnet, aber nicht immer. Das Integral in der Definition des magnetischen Flusses unterscheidet sich also nicht von dem Integral, das im Gauß'schen Gesetz für Magnetismus erscheint, das tatsächlich besagt, dass der magnetische Fluss durch jede geschlossene Oberfläche Null ist.

Ha ok, Sie sagen also, dass die beiden Notationen tatsächlich dasselbe sind: ∯ B ⋅ D S = ∮ B ⋅ D S ? Es ist also reine Geschmackssache, welche Sie bevorzugen?
Ja. Der magnetische Fluss kann auch für eine nicht geschlossene Fläche definiert werden, in diesem Fall setzt man den Kreis nicht auf das Integralsymbol, aber es ist immer noch ein Doppelintegral. Es ist weitgehend eine Frage der Präferenz. Insbesondere dann, wenn Sie mit Integralen arbeiten N -dimensionale Mannigfaltigkeiten, wo N größer als 3 sein kann, neigen Sie dazu, alles mit einem einzigen ganzzahligen Symbol zu bezeichnen.
Ok, aber im 2D-Fall denke ich, wenn Sie eine nicht geschlossene Oberfläche haben und Sie daher den Kreis entfernen müssen, sollten Sie dann ein Doppelintegral und kein einfaches setzen? Wie Φ B = ∬ S B ⋅ D S und nicht Φ B = ∫ S B ⋅ D S ?
Beide Notationen werden üblicherweise für eine nicht geschlossene Oberfläche verwendet.
Ach sogar: Φ B = ∫ S B ⋅ D S ist akzeptabel ?
Ja, es ist akzeptabel.
@Machupicchu Ich kann mich nicht erinnern, wann ich das letzte Mal mehr als ein integrales Zeichen oder den Kreis gezeichnet habe, um ehrlich zu sein. Ich zeichne nur das einzelne Integralzeichen. Ob das Integral über einer Linie, Fläche oder einem Volumen liegt, oder ob die Linie oder Fläche geschlossen ist, ergibt sich meist aus dem Zusammenhang
@Machupicchu Es ist typisch, beim Unterrichten mehrdimensionaler Kalküle auf Mehrfachintegrationszeichen zu bestehen, um die Dimensionalität der Arbeit anzugeben. Aber sehr oft werden erfahrene Leser in der Lage sein, die Dimension aus anderen Hinweisen abzuleiten, wodurch der knappere Begriff funktionsfähig wird. Wenn Sie Zweifel haben, ob Ihre Absicht für Ihre Leser klar ist, verwenden Sie die Zeichen für mehrere Integrationen ( ∬ , usw.) zur Verdeutlichung.
Gaußsches Gesetz für Magnetismus: Doppelintegral
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