Integralform des Gaußschen Gesetzes für Magnetismus aus dem Satz von Stokes?

Maxwellsche Gleichungen in gekrümmter Raumzeit werden in der Form geschrieben

$$\begin{split}\nabla_a F^{ab} &= - 4\pi J^b,\\ \nabla_{[a} F_{bc]} &= 0,\end{split}$$ mit $F$die Faradaysche Zweierform, $J^a$der aktuelle Vierervektor, $\nabla$die kovariante Ableitung und $[]$bezeichnet die Antisymmetrisierung der Indizes. In Bezug auf die äußere Rechnung werden sie zu: $$\begin{split} d\star F &= 4\pi \star J\\ dF&=0,\end{split}$$ mit $\star$das Hodge Dual, das p-Formulare an sendet $4-p$-Formen in Dimension 4. Integrieren wir die linke Seite der ersten Gleichung über eine raumartige Hyperfläche der Dimension 3, $\Sigma$, mit normalem zeitähnlichem Vektor $t^a$, dann liefert der Satz von Stokes $$\int_\Sigma d\star F = \int_S \star F,$$ mit $S$die Grenze von $\Sigma$mit normal $n_a$. Seit $\Sigma$ist raumartig und $(\star F)_{cd} = \frac{1}{2} F^{ab} \epsilon_{abcd}$, $S$ist ebenfalls raumartig und eine Komponente von $F$muss also zeitartig sein $\star F = F^{ab} t_a n_b dS$. Dies ist auch leicht einzusehen, wenn man die Beschränkung des Duals aufnimmt $S$in lokalen Koordinaten sind alle 2-Formen raumartig. Aber das wissen wir $E_a = F_{ab} t^b$, somit $$\int_S \star F = -\int_S F^{ba} t_a n_b d S = -\int_S E_b n^b d S.$$ Nun integrieren wir die rechte Seite, $$\int_\Sigma \star J = \int_\Sigma J^a \epsilon_{abcd}=\int_\Sigma J^a t_a d \Sigma = -q,$$ und nachdem wir dies und das vorherige kombiniert haben, erhalten wir: $$\int_S E_a n^a d S = 4\pi q,$$ Das Gaußsche Gesetz gilt auch in gekrümmter Raumzeit. Beachten Sie, dass $\epsilon_{abcd}$ist der Levi-Civita (Volumen) Tensor, nicht das Symbol. In lokalen Koordinaten sind seine Komponenten das Produkt des Symbols mit $\sqrt{|\det{g_{\mu\nu}}|}$.

Für das Magnetfeld gilt:$B_a = - \frac{1}{2} \epsilon_{abcd} F^{cd} t^b$, nur die raumartigen Komponenten von$F_{ab}$verwendet werden, und das Magnetfeld Teil des Faraday-Tensors ist

$$F = F_{12} dx^1\wedge dx^2 + F_{23} dx^2\wedge dx^3 + F_{31} dx^3\wedge dx^1,$$ und die Komponenten des Feldes sind $B^1 = - |\det g_{\mu\nu}|^{-1/2} F_{23}$usw., daher werden die Integrale $$0=\int_S F = -\int_S \sqrt{|\det g_{\mu\nu}|} (B^1 dx^2\wedge dx^3 + B^2 dx^3\wedge dx^1 + B^3 dx^1\wedge dx^2) = - \int_S B^a n_a dS.$$

So haben wir im dreidimensionalen euklidischen Raum einen Isomorphismus zwischen Vektoren und 1-Formen, wie üblich

$$\eta_\mu = g_{\mu\nu} \eta^\mu.$$ Wir haben auch einen Isomorphismus zwischen 1-Formen und 2-Formen, gegeben durch $\star : dz\mapsto dx\wedge dy$und zyklisch. Dieser Isomorphismus hat einen ausgefallenen Namen, das Hodge-Dual, wenn Sie es allgemein wissen wollen. Dann wenn $B^\mu$das Magnetfeld ist, können wir daraus eine 3-Form machen – etwas, das über ein Volumen integriert werden kann – indem wir (i) den Index verringern, um eine 1-Form zu erhalten, (ii) das Hodge-Dual nehmen, um a zu erhalten 2-Formular (iii) mit $d$um eine 3-Form zu bekommen. Genauer gesagt, $$B_\mu = B_x dx + B_y dy + B_z dz$$ $$(\star B)_{\mu\nu} = B_x dy\wedge dz + B_y dz\wedge dx + B_z dx\wedge dy$$ $$(d\star B)_{\mu\nu\rho} = \frac{\partial B_x}{\partial x} dx\wedge dy \wedge dz + \frac{\partial B_y}{\partial y} dy\wedge dz\wedge dx + \frac{\partial B_z}{\partial z} dz\wedge dx\wedge dy$$ Aber das ist $$(d\star B)_{\mu\nu\rho} = \left(\frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \right) dx\wedge dy\wedge dz$$ so nennen diese armen Seelen, die nichts von differenziellen Formen wissen $\nabla \cdot \mathbf B$. Jetzt können Sie einfach den wunderbaren Satz von Stokes anwenden!

Das sollten sie Ihnen in der Multivariablenrechnung beibringen, aber tun Sie es nicht!

Ohne ein bestimmtes Szenario anzugeben und Proportionalitätskonstanten zu ignorieren, betrachten Sie einfach eine allgemeine Differentialform$\omega$, und dies soll den elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche darstellen, die ein Volumen V begrenzt. Im klassischen Elektromagnetismus sagt uns das Gaußsche Gesetz, dass der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche proportional zu der in dieser Oberfläche eingeschlossenen Ladungsmenge ist; mit anderen Worten, stellen Sie sich den Fluss als "Flussrohre" vor, die innerhalb des Volumens V enden. If$\omega$stellt dann die Flussrohre dar$d\omega$stellt ihre Endpunkte dar, und wir können das Gaußsche Gesetz einfach und intuitiv schreiben als

$\displaystyle{\int_{\partial V}\omega =\int_{V}d\omega}$

Dies ist genau das verallgemeinerte Stokes-Theorem - die Anzahl der Flussröhren, die innerhalb des Volumens enden, ist gleich der Anzahl der Flussröhren, die die Oberfläche durchqueren.