Kräfte als Ein-Formen und Magnetismus

Tolle Frage!

Ich würde sagen, dass "Kraft ist eine Einheitsform" eine Aussage ist, die etwas Wahres enthält, aber etwas kontextabhängig ist.

In jedem Kontext, in dem Sie eine Metrik haben, können Sie frei zwischen Vektoren und Einsformen hin und her konvertieren, und die Unterscheidung zwischen ihnen wird uninteressant. Beispiele für solche Kontexte sind die relativistische Raumzeit und der Newtonsche 3-Raum.

Wenn Sie keine Metrik haben, können Sie das nicht tun. Ein Beispiel dafür ist die vierdimensionale Galileische Raumzeit, die keine (nicht entartete) Metrik zulässt. Ein weiteres Beispiel ist die Verwendung verallgemeinerter Koordinaten, wie in der Abbildung unten. Die Engel$\phi$und$\theta$sind verallgemeinerte Koordinaten, die den Zustand des Arms und der Langhantel angeben. Auf dem ist keine Metrik definiert$(\phi,\theta)$Platz. Als Funktion dieser Koordinaten können Sie eine potentielle Energie definieren$U$für das System, das von den Massen seiner drei Teile (Oberarm, Unterarm und Langhantel) abhängt. Der Gradient von$U$ist eine 1-Form und repräsentiert die Gravitationskraft auf das System.

Ein anderes, ähnliches Beispiel ist, wenn wir die Gleichung nehmen$W=Fd$für mechanische Arbeit, klar, wenn$F$ist ein Skalar und$d$ist ein Vektor,$F$muss eine 1-Form sein.

Wir haben also einige Kontexte, in denen es keine Motivation gibt, darauf zu bestehen, dass Kraft eine 1-Form ist, und andere Beispiele, in denen es eine sehr starke Motivation gibt. Beachten Sie, wie Ihr Beispiel einer magnetischen Kraft nicht in die Form der letzteren Arten von Kontexten passt. Es ist nicht aus dem Gradienten eines Potentials ableitbar (weil es geschwindigkeitsabhängig ist) und wirkt ohne andere Kräfte nicht auf ein freies Teilchen. Andererseits passt es gut in die Kategorie der Situationen, in denen die Unterscheidung zwischen einem Vektor und einer 1-Form irrelevant ist. Elektromagnetismus ist eine rein relativistische Theorie ohne nützliche, eindeutig definierte galileische Grenze, daher macht es keinen Sinn, über magnetische Kräfte zu sprechen, außer in dem Kontext, in dem es eine Metrik für die 4-dimensionale Raumzeit gibt.

Vielleicht kann aus der Relativitätstheorie ein gewisser Einblick in dieses Problem gewonnen werden. In der Relativitätstheorie wird das EM-Feld durch eine Zweierform (dh mit 6 Komponenten) dargestellt. Wenn diese Zweierform mit einem Strom gespeist wird, um darauf einzuwirken, ergibt dies eine Kraft – oder besser gesagt eine Viererkraft, sodass Sie sowohl Kraft als auch Kraft erhalten.

Was bedeutet das? Nun, Sie können die Vier-Kraft mit jedem zeitähnlichen Einheitsvektor füttern und die Kraft erhalten, wie sie von Beobachtern gesehen wird, die diesen zeitähnlichen Einheitsvektor als ihre Vier-Geschwindigkeit haben.

Das ist natürlich alles schön und gut, aber wir sind dem Herausfinden, wie man die Einheitsform des Magnetfelds im Vanilla-3D-Raum definiert, keinen Schritt näher gekommen.

Nathaniel spricht über Clifford- (oder geometrische) Algebra, und vielleicht kann das einen Einblick geben. In GA haben wir nicht diese Besessenheit, über Einsformen und zu sprechen$k$-Formen im Allgemeinen als Abbildungen--Ich habe ehrlich gesagt das Gefühl, dass diese Idee, da sie aus der Differentialgeometrie stammt, fast eine Krankheit ist, denn es bedeutet immer, dass Sie darüber nachdenken müssen, auf welche Vektoren diese Abbildungen wirken, um Sinn zu machen. Mit GA können Sie dieser Frage vollständig ausweichen (wie hier!), da solche Objekte einfach anhand ihrer algebraischen Eigenschaften definiert werden.

Diese Sichtweise gefällt mir viel besser, denn für mich ist Kraft Kraft. Man kann viele Dinge mit Gewalt tun, und es ist einfach seltsam , Arbeit und Verschiebungen als Teil der Definition von Kraft selbst herauszustellen.

(Bearbeitet, um einen Abschnitt zu entfernen. Selbst wenn ein Partikel einer beliebigen Flugbahn folgt, spielt es keine Rolle, da die Magnetkraft immer noch senkrecht zur Geschwindigkeit ist, also habe ich mich in diesem Punkt geirrt.)

Ich denke, der Punkt ist, dass die Kraft eines EM-Feldes, die auf ein Teilchen wirkt, nicht nur durch die Formen selbst definiert wird, sondern mehr durch die Lorzenzkraft$F= q(E +i_v B)$Wo$E$ist eine Eins-Form,$B$eine Zweierform, bei der wir den Tangentialvektor der Teilchenkurve mit der inneren Ableitung einsetzen. Hier können Sie sehen, dass der magnetische Teil nicht zum Arbeitsintegral beiträgt, da wir den Tangentialvektor erneut einfügen müssen, was Null ergibt.