Problem bei der Ableitung der nichtlinearen optischen Wellengleichung

Betrachten Sie die Maxwell-Gleichungen in einem allgemeinen Medium ohne freie Ladungen oder Ströme:

(1) ∇ ⋅ D → = 0
(2) ∇ ⋅ B → = 0
(3) ∇ × E → = − ∂ B → ∂ T
(4) ∇ × H → = ∂ D → ∂ T

Die konstitutiven Beziehungen sind D → = ε 0 E → + P → Und B → = μ 0 ( H → + M → ) .

Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass das Medium nicht magnetisch ist, so dass M → = 0 → .

Nehmen wir außerdem an, dass das Medium isotrop, homogen und nichtdispersiv ist, sodass wir die nichtlineare Polarisationsdichte schreiben können als P → = ϵ 0 χ ( | E → | ) E → , Wo χ ist (allgemein) eine nicht konstante Skalarfunktion von | E → | .

Nehmen Sie die Locke der Gleichung ( 3 ) und verwenden B → = μ 0 H → wir bekommen

(5) ∇ × ∇ × E → = − μ 0 ∂ ∂ T ( ∇ × H → ) = − μ 0 ∂ 2 D → ∂ T 2

Jetzt können wir die Vektoridentität verwenden ∇ × ∇ × E → = ∇ ( ∇ ⋅ E → ) − ∇ 2 E → und verwenden Sie die konstitutive Gleichung für D → erhalten

(6) ∇ 2 E → − μ 0 ε 0 ∂ 2 E → ∂ T 2 = μ 0 ∂ 2 P → ∂ T 2 + ∇ ( ∇ ⋅ E → )

Jetzt geht anscheinend jede Quelle, die ich gesehen habe, davon aus ∇ ( ∇ ⋅ E → ) = 0 → , wonach sie die standardmäßige nichtlineare optische Wellengleichung mit Polarisationsquellterm erhalten:

(7) ∇ 2 E → − μ 0 ε 0 ∂ 2 E → ∂ T 2 = μ 0 ∂ 2 P → ∂ T 2

Leider kann ich nicht erkennen, warum diese Annahme gerechtfertigt ist. Das übliche Argument ist, dass da D → = ε 0 ( 1 + χ ) E → dann seit ∇ ⋅ D → = 0 wir haben auch ∇ ⋅ E → = 0 .

Aber dieses Argument ist im nichtlinearen Fall da fehlerhaft χ ist in der Tat eine Funktion von | E → | , sodass wir bei der Berechnung des Divergenzoperators die Produktregel verwenden müssen:

(8) 0 = ∇ ⋅ D → = ε 0 ∇ χ ( | E → | ) ⋅ E → + ε 0 ( 1 + χ ( | E → | ) ) ∇ ⋅ E →

Wir erhalten daher

(9) ∇ ⋅ E → = − ∇ χ ( | E → | ) ⋅ E → 1 + χ ( | E → | )

und es ist für mich alles andere als offensichtlich, dass dies gleich ist 0 (oder dass der Gradient dieses Ausdrucks gleich ist 0 → ) (In der Tat, | E → | ist im Allgemeinen räumlich abhängig, so dass die räumlichen Ableitungen ungleich Null sind).

Ist diese Annahme also fehlerhaft und die grundlegendste Gleichung der nichtlinearen Optik schlichtweg falsch, oder gibt es einen korrekten Weg, die Wellengleichung (7) der nichtlinearen Optik abzuleiten, vielleicht mit zusätzlichen Annahmen? E → ?

Ihr Ansatz für die nichtlineare Polarisation, P → = ϵ 0 χ ( | E → | ) E → , ist nicht sehr angemessen. Im Frequenzbereich kann dies zwar in etwa eine solche Beziehung haben, aber im Allgemeinen wird die Antwortfunktion zeitlich nicht lokal sein (dh die Nichtlinearität hat ein Gedächtnis) und sie wird überhaupt als Integral des elektrischen Felds angegeben vergangene Zeiten multipliziert mit einem Antwortkern.
Der Einfachheit halber habe ich angenommen, dass das Medium nichtdispersiv ist. Ich denke, dies sollte bedeuten, dass die Abhängigkeit von P → An E → erfolgt sofort, so dass kein Memory-Effekt entsteht. Ich stimme zu, dass dieser Effekt grundsätzlich berücksichtigt werden sollte.

Antworten (1)

Sie haben Recht, im Allgemeinen der Begriff ∇ ∇ ⋅ E sollte in der Gleichung bleiben.

Der Grund, warum es üblich ist, es wegzulassen, ist, dass es die Gleichung vereinfacht. Die beste Begründung, die mir einfällt, ist, dass dieser Term in Isotropen bei der Suszeptibilität vernachlässigbar sein sollte χ hängt nur schwach vom Feld ab.

Betrachten wir den Fall, wo die Suszeptibilität überhaupt nicht variiert, also χ ( E ) kann durch eine koordinatenunabhängige Konstante ersetzt werden χ 0 . Da die Ladungsdichte durch die Divergenz des elektrischen Feldes und auch durch die negative Divergenz der Polarisation gegeben ist, haben wir

∇ ⋅ E = − ∇ ⋅ ( χ 0 E )
und nur so könnte dies überall im isotropen Medium gelten ∗ ist wenn ∇ ⋅ E = 0 überall im Medium.

Rein transversale ebene Wellen erfüllen die Bedingung ∇ ⋅ E = 0.

In diesen Fällen hat die rechte Seite der Wellengleichung zwei Terme

− μ 0 ∂ 2 P ∂ T 2 − ∇ ∇ ⋅ E
aber die zweite ist Null, also können wir die Gleichung vereinfachen und mit RHS arbeiten
− μ 0 ∂ 2 P ∂ T 2 .

Nun sind die Effekte der nichtlinearen Optik meist sehr klein und damit abhängig χ auf dem Feld oder Position ist schwach. Also der zweite Term ∇ ∇ ⋅ E = 0 , obwohl nicht Null, sollte in Bezug auf den ersten Term klein sein

− μ 0 ∂ 2 P ∂ T 2 .

Wir sollten immer noch in der Lage sein, den zweiten Term zu vernachlässigen und dieselbe Gleichung wie im linearen Fall zu verwenden. Die Nichtlinearität bleibt erhalten - aber die Variabilität von χ tritt nur durch den ersten Term in die Gleichung ein, wobei die Polarisation eine nichtlineare Funktion der elektrischen Feldstärke ist.

Mit anderen Worten: Da die Terme in der Gleichung kontinuierliche Funktionen von Feld und Suszeptibilität sind, sollte die kleine Änderung der Suszeptibilität nur eine kleine Änderung der Divergenz von bewirken E . Der Wert sollte also zumindest in einem nicht zu hohen Feldstärkebereich noch vernachlässigbar sein.

∗ Bei Kristallen ist die Situation anders: Da die Suszeptibilität ein Tensor mit unterschiedlichen Komponenten ist, ist die Divergenz Null D verhindert Null-Divergenz von E in allen Ausnahmefällen, z. B. wenn nur eine Komponente aus χ realisiert (wenn die Polarisation der Welle mit einer der Hauptachsen des Kristalls übereinstimmt).

Gibt es eine einfache Möglichkeit, die Größenordnung abzuschätzen? μ 0 ∂ 2 P → ∂ T 2 um es mit der Größenordnung von zu vergleichen ∇ ( ∇ ⋅ E → ) ? Wenn wir den linearen Teil verschieben P → in die LHS der Wellengleichung und verwenden μ 0 ε 0 ( 1 + χ 1 ) = N 1 2 C 0 2 , wir bekommen ∇ 2 E → − N 1 C 0 2 ∂ 2 E → ∂ T 2 = μ 0 ∂ 2 P N L → ∂ T 2 + ∇ ( ∇ ⋅ E → ) wobei LHS eine Wellengleichung mit dem linearen Teil des Brechungsindex ist N 1 , und RHS ist der nichtlineare Term.
Also wollen wir das argumentieren | ∇ ( ∇ ⋅ E → ) | ≪ | μ 0 ∂ 2 P N L → ∂ T 2 | . Es ist etwas schwierig, Schätzungen für diese zu erhalten, da die genauen Ausdrücke kompliziert sind. Ich bin vielleicht pingelig, aber ich vertraue gerne auf die Annäherungen, die ich verwende :)
(Und wir würden auch erwarten, dass diese beiden Terme klein sind, da die Nichtlinearität schwach ist und die Wellen nahe an ebenen Wellen liegen werden, sodass nicht sofort klar ist, wie die Terme verglichen werden.)
Sie haben Recht, der Divergenzterm sollte mit dem nichtlinearen Polarisationsterm verglichen werden. Vielleicht ist es möglich, einen solchen Vergleich anzustellen, wenn beides der Fall ist E Und P N L werden als Taylorreihen in Raumkoordinaten und Zeit ausgedrückt. Dh E k ( X , T ) = E 0 , k + G l X l + G 4 T + . . . , setzen Sie das ein P N L , l ( E ) = χ l k ich E k E ich + . . . zu bekommen P N L ( X , T ) , berechnen Sie die Ableitungen und versuchen Sie herauszufinden, welche Bedingung für die Koeffizienten erfüllt sein muss, damit die obige Ungleichung gilt.
Das kann einfacher sein, wenn eine bestimmte Form von E angenommen wird, wie z. E ( X , T ) = ( X 0 e X + Z 0 e z ) M ( z , T ) cos ⁡ ( Ω T − k z ) , Wo M ( z , T ) ist eine unbekannte Modulationsfunktion, aber es wird erwartet, dass sie mit einer viel kleineren k-Zahl variiert als k der Hauptwelle.
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