Wenn AμAμA^\mu nicht eindeutig durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt ist, was passiert, wenn wir es numerisch auflösen?

Question

Wenn AμAμA^\mu nicht eindeutig durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt ist, was passiert, wenn wir es numerisch auflösen?

Physik
Determinismus
Eichtheorie
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen
Randbedingungen

Lukas

Lösung gegeben $A^{\mu}(x)$ zu den Maxwellschen Gleichungen

\begin{matrix} (1) & ◻ A^{μ} (X) - \partial^{μ} \partial_{v} A^{v} = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \Box A^{\mu}(x)-\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0\tag{1} \end{equation}$ die auch einige spezifizierte Anfangsbedingungen zur Zeit erfüllt

t_{0}

$t_0$

\begin{matrix} (2) & A^{μ} (\vec{X}, T_{0}) = F^{μ} (\vec{X}), {\dot{A}}^{μ} (\vec{X}, T_{0}) = G^{μ} (\vec{X}) \end{matrix}

$\begin{equation} A^{\mu}(\vec{x},t_0)=f^{\mu}(\vec{x}),\quad \dot{A}^{\mu}(\vec{x},t_0)=g^{\mu}(\vec{x})\tag{2} \end{equation}$ Wir haben das die Funktion

\begin{matrix} (3) & A^{^{'} μ} (X) = A^{μ} (X) + \partial^{μ} a (X) \end{matrix}

$\begin{equation} A^{'\mu}(x)=A^{\mu}(x)+\partial^{\mu}\alpha(x)\tag{3} \end{equation}$ erfüllt auch die Bewegungsgleichungen, und wenn wir das arrangieren, die Skalarfunktion

α

$\alpha$ befriedigt das auch

\begin{matrix} (4) & \partial^{μ} a (\vec{X}, T_{0}) = 0, \partial^{μ} \dot{a} (\vec{X}, T_{0}) = 0 \end{matrix}

$\begin{equation} \partial^{\mu}\alpha(\vec{x},t_0)=0,\quad \partial^{\mu}\dot{\alpha}(\vec{x},t_0)=0 \tag{4} \end{equation}$ zum Anfangszeitpunkt

t_{0}

$t_0$ , dann die neue Lösung

A^{^{'} μ}

$A^{'\mu}$ erfüllt auch die Anfangsbedingungen. Zum Beispiel die Funktion

a (\vec{X}, T) = (T - T_{0})^{5} H (\vec{X}) e^{- (T - T_{0})^{2}}

$\begin{equation} \alpha(\vec{x},t)=(t-t_0)^5h(\vec{x})e^{-(t-t_0)^2} \end{equation}$ erfüllt die Bedingungen Gl.

(4)

$(4)$ und verschwindet auch bei

t \to \pm \infty

$t\rightarrow \pm \infty$ . Daher ist die Lösung von Gl.

(1)

$(1)$ nicht eindeutig durch die Anfangsdaten Gl.

(2)

$(2)$ .

Frage: Simuliert man Gl. $(1)$ numerisch auf einem Computer, warum ist die Feldkonfiguration zu einem späteren Zeitpunkt nicht eindeutig durch die Daten in Gl. $(2)$ ?

AccidentalFourierTransform

Probieren Sie es aus und simulieren Sie es selbst. Spoiler-Alarm: Sie werden nicht in der Lage sein, zumindest nicht, ohne zuerst die Anzeige zu reparieren. Das numerische Lösen einer PDE erfordert zum Beispiel das Invertieren einer Matrix/das Lösen eines linearen Systems. Dies funktioniert nicht, wenn Sie Eichinvarianz haben, weil die Matrix singulär ist.

Parker

@AccidentalFourierTransform Das ist nicht ganz richtig. Ihre Zahlen können je nach Algorithmus zu einer Lösung konvergieren oder nicht. Einige Techniken beinhalten das Lösen eines linearen Systems und werden fehlschlagen, aber viele Techniken werden zB trivial zur Lösung konvergieren

α \equiv 0

$\alpha \equiv 0$ . Das Problem ist Nichteindeutigkeit, nicht Nichtexistenz.

AccidentalFourierTransform

@tparker Ich habe nie etwas über Nichtexistenz gesagt. Ein lineares System mit singulärer Matrix hat unendlich viele Lösungen. Wir sind uns also einig, dass es um Nichteindeutigkeit geht, nicht um Nichtexistenz.

Parker

@AccidentalFourierTransform Richtig. Ihre Behauptung "Sie werden nicht können" ist also im Allgemeinen nicht korrekt. Ihr Algorithmus kann durchaus zu einer der unendlich vielen Lösungen konvergieren.

QMechaniker

Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/20071/2451

Jinawee

Wenn man Gleichung (1) numerisch auf einem Computer simuliert, warum ist die Feldkonfiguration zu einem späteren Zeitpunkt nicht eindeutig durch die Daten in Gleichung (2) bestimmt? Ich glaube nicht, dass die Annahme stimmt. Auch wenn die Lösung nicht eindeutig ist, kann Ihr Algorithmus zu einer bestimmten Lösung konvergieren. Nehmen Sie die gewöhnliche Gleichung

x^{2} = 1

$x^ 2=1$ . Wenn Sie die Halbierungsmethode im Intervall anwenden

[0, 2]

$[0,2]$ , finden Sie die Lösung

x = 1

$x=1$ , obwohl du vermisst

x = - 1

$x=-1$ . Andere Methoden konvergieren möglicherweise nicht. Ich denke also, dass die Antworten ohne Angabe einer bestimmten numerischen Methode sehr vage sein werden.

Antworten (2)

Wenn AμAμA^\mu nicht eindeutig durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt ist, was passiert, wenn wir es numerisch auflösen?

Probieren Sie es aus und simulieren Sie es selbst. Spoiler-Alarm: Sie werden nicht in der Lage sein, zumindest nicht, ohne zuerst die Anzeige zu reparieren. Das numerische Lösen einer PDE erfordert zum Beispiel das Invertieren einer Matrix/das Lösen eines linearen Systems. Dies funktioniert nicht, wenn Sie Eichinvarianz haben, weil die Matrix singulär ist.
@AccidentalFourierTransform Das ist nicht ganz richtig. Ihre Zahlen können je nach Algorithmus zu einer Lösung konvergieren oder nicht. Einige Techniken beinhalten das Lösen eines linearen Systems und werden fehlschlagen, aber viele Techniken werden zB trivial zur Lösung konvergieren $\alpha \equiv 0$ . Das Problem ist Nichteindeutigkeit, nicht Nichtexistenz.
@tparker Ich habe nie etwas über Nichtexistenz gesagt. Ein lineares System mit singulärer Matrix hat unendlich viele Lösungen. Wir sind uns also einig, dass es um Nichteindeutigkeit geht, nicht um Nichtexistenz.
@AccidentalFourierTransform Richtig. Ihre Behauptung "Sie werden nicht können" ist also im Allgemeinen nicht korrekt. Ihr Algorithmus kann durchaus zu einer der unendlich vielen Lösungen konvergieren.
Wenn man Gleichung (1) numerisch auf einem Computer simuliert, warum ist die Feldkonfiguration zu einem späteren Zeitpunkt nicht eindeutig durch die Daten in Gleichung (2) bestimmt? Ich glaube nicht, dass die Annahme stimmt. Auch wenn die Lösung nicht eindeutig ist, kann Ihr Algorithmus zu einer bestimmten Lösung konvergieren. Nehmen Sie die gewöhnliche Gleichung $x^ 2=1$ . Wenn Sie die Halbierungsmethode im Intervall anwenden $[0,2]$ , finden Sie die Lösung $x=1$ , obwohl du vermisst $x=-1$ . Andere Methoden konvergieren möglicherweise nicht. Ich denke also, dass die Antworten ohne Angabe einer bestimmten numerischen Methode sehr vage sein werden.

Ján Lalinský · Answer 1

Nicht alle Anfangswertprobleme haben eine eindeutige Lösung. Ihr Beispiel für $\alpha$ Funktion zeigt, dass dieses Anfangswertproblem von solcher Art ist.

In diesem Fall liegt das Problem im System der partiellen Differentialgleichungen

\partial_{v} \partial^{v} A^{μ} - \partial^{μ} \partial_{v} A^{v} = 0

$\partial_\nu\partial^\nu A^{\mu}-\partial^{\mu}\partial_{\nu}A^{\nu}=0$ selbst; es schränkt die Funktionen nicht ausreichend ein

φ (x, t), A (x, t)

$\varphi(\mathbf x,t), \mathbf A(\mathbf x,t)$ . Es ähnelt in gewisser Weise einer Situation in der linearen Algebra, die manchmal auftritt, wenn ein System von

n

$n$ lineare Gleichungen für

n

$n$ unknowns hat unendlich viele Lösungen.

Eine etwas andere Art, dies zu sehen: Beachten Sie, dass wir im obigen System von PDE nirgendwo etwas finden können $\partial_t^2 A^0$ oder $\partial_t A^0$ direkt; nur ein räumlicher Gradient von $\partial_t A^0$ ist anwesend. Die Gleichungen für $A^i$ 's beziehen sie nicht direkt mit Zeitableitungen von $\varphi$ .

Das heißt, wenn wir eine Lösung des Anfangswertproblems haben $\varphi(x,t),\mathbf A(x,t)$ und ersetze das skalare Potential durch $\varphi' = \varphi(x,t)+ht^2$ zum Zeitpunkt $t = 0$ (Wo $h$ eine Konstante ist), sind die Gleichungen noch erfüllt und bei $t=0$ , Anfangsbedingungen sind ebenfalls erfüllt. Dies wäre nicht so offensichtlich möglich, wenn das System direkt Zeitableitungen von enthalten würde $\varphi$ . Betrachten Sie ein etwas anderes System

\partial_{v} \partial^{v} A^{μ} = 0,

$\partial_\nu\partial^\nu A^{\mu}= 0,$ (was in der EM-Theorie als Ergebnis der Lorenz-Eichwahl abgeleitet werden kann) - dies schränkt ein

\partial_{t}^{2} φ

$\partial_t^2 \varphi$ , also schlägt das obige Argument fehl. Ich denke, dieses System sollte eine eindeutige Lösung haben, da es einem Satz von Gleichungen für unabhängige harmonische Oszillatoren sehr ähnlich ist. Für den Beweis wenden Sie sich jedoch besser an Mathematiker.

Parker · Answer 2

Parker

Fragst du nach der physikalischen oder mathematischen Erklärung? Dan Yands Antwort gibt die physikalische Erklärung.

Zur mathematischen Frage: Auf welcher Grundlage würden Sie erwarten, dass die Feldkonfiguration durch ihre Anfangsdaten eindeutig bestimmt ist? Anders als für (ungekoppelte) ODEs gibt es für allgemeine lineare homogene PDEs zweiter Ordnung keinen entsprechenden Satz.

AccidentalFourierTransform

Es geht nicht um PDE vs. ODE. Es gibt Punktteilchensysteme mit Eichsymmetrien, deren zeitliche Entwicklung nicht eindeutig durch die Bewegungsgleichungen festgelegt ist. Und umgekehrt: Es gibt Feldsysteme, deren zeitliche Entwicklung durch die Bewegungsgleichungen (etwa die Wärme-/Schrödinger-Gleichung) eindeutig festgelegt ist . Es geht um die Invertierbarkeit des Differentialoperators, Äquiv. über die Existenz einer eindeutigen Green-Funktion. Hindernisse können auftreten, ob das System eindimensional ist oder nicht.

AccidentalFourierTransform

Ein Lagrangian der Form

L (q_{1}, q_{2}) = f (q_{1} - q_{2})

$L(q_1,q_2)=f(q_1-q_2)$ , für willkürlich

f

$f$ , ist invariant unter

q_{i} (t) \to q_{i} (t) + η (t)

$q_i(t)\to q_i(t)+\eta(t)$ . Das System hat eine Eichsymmetrie. Ich überlasse es Ihnen, etwas Bestimmtes auszuwählen

f

$f$ und Euler-Lagrange berechnen. Sie erhalten zwei redundante Bewegungsgleichungen, also nur eine unabhängige Gleichung für zwei Freiheitsgrade. Keine eindeutige Lösung. Etc. (Und wenn wir nur Referenzen zitieren wollen, lassen Sie mich Henneaux, Teitelboim "Quantization of Gauge Systems" zitieren, ein Buch über Punktteilchen, nicht über Felder).

Parker

@AccidentalFourierTransform Ups, du hast Recht. Ich meinte das eine Funktion

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ kann keine Anzeigefreiheit haben, aber Sie können dies umgehen, indem Sie an beiden Enden des Pfeils weitere Variablen hinzufügen. Zur Verdeutlichung bearbeitet.

AccidentalFourierTransform

Ein System mit einem einzigen Freiheitsgrad hat, wenn es Eichsymmetrie hat, überhaupt keine effektiven Freiheitsgrade. Seine Dynamik ist also rein topologisch und/oder bedingt. Zum Beispiel hat ein relativistisches Punktteilchen im reparametrisierungsinvarianten Formalismus eine Eichsymmetrie, und das ist sie immer noch

R \to R

$\mathbb R\to\mathbb R$ .

Parker

@AccidentalFourierTransform Ich würde ein Punktteilchen (ob relativ oder nicht) mit Flugbahn beschreiben

(t (τ), x (τ))

$(t(\tau), x(\tau))$ wie durch eine aa-Funktion beschrieben

R \to R^{2}

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ , nicht

R \to R

$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Parker

Ausdruck der Flugbahn als

x (t)

$x(t)$ fixiert effektiv ein Messgerät und verbringt die Messgerätfreiheit.

Jinawee

Was würde Ihrer Meinung nach passieren, wenn Sie die Gleichung in einen numerischen Integrator einsetzen? Ich vermute, die Lösung könnte von der Schrittgröße abhängen. Aber vielleicht geben einige Integratoren immer die gleiche Lösung. Oder konvergieren sie nie?

Parker

@jinawee Das ist nur die allgemeine Frage, was passiert, wenn Sie versuchen, eine PDE mit unendlich vielen Lösungen numerisch zu integrieren. Wie Sie sagten, denke ich, dass abhängig von Ihrem Algorithmus viele verschiedene Dinge passieren können, einschließlich aller Möglichkeiten, die Sie erwähnen. Aber da die Anfangsbedingungen identisch Null sind, vermute ich, dass die meisten Methoden nur trivial zur Lösung konvergieren würden

α \equiv 0

$\alpha \equiv 0$ .

Chirale Anomalie

@tparker Ich habe meine Antwort gelöscht. (Das OP bestätigte, dass es die Frage nicht angesprochen hat, und nachdem ich die Dinge überprüft habe, kann ich sehen, dass AFT Recht hatte. Die Frage war klar, und ich habe sie zuerst einfach nicht verstanden, weil ... nun, keine Ausreden.) Nur wollte Sie wissen lassen, falls Sie Ihre Antwort bearbeiten möchten, um den Verweis auf meine jetzt gelöschte Antwort zu entfernen.

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