Warum nur Transformationen im Elektromagnetismus messen?

Question

Warum nur Transformationen im Elektromagnetismus messen?

Benutzer40276

Zunächst muss ich sagen, dass ich Mathematiker bin, daher mag diese Frage etwas dumm klingen. Versuchen Sie in diesem Sinne, koordinatenfreie Notationen zu verwenden.

Bei dieser Frage werde ich hauptsächlich die Notation aus dem Artikel http://arxiv.org/abs/1209.2530 verwenden (was eigentlich die Quelle meiner Zweifel ist).

Lassen $X$ sei eine 4-dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand (normalerweise eine global hyperbolische Lorentz-Mannigfaltigkeit), $j_e \in \Omega^3_c (X, \mathfrak{g})$ , $G = U(1)$ , $\mathcal{U} = \{U_i\}_i$ eine offene Abdeckung von $X$ (Falls benötigt $\mathcal{U}$ können alle endlichen Schnittpunkte kontrahierbar oder sogar diffeomorph zum euklidischen Raum sein).

In $U(1)$ -Eichtheorie ohne magnetische Ladungen, die Lagrange-Dichte ist gegeben durch

L [A] = \frac{- 1}{2} F_{A} \land ⋆ F_{A} + A \land J_{e}

$L[A] = \frac{-1}{2} F_A \wedge \star F_A + A \wedge j_e$ Und

d ⋆ F_{A} = j_{e}

$d\star F_A = j_e$ für jeden

A = {A_{i}}_{U_{i}} \in \prod Ω^{1} (U_{i}, g)

$A = \{ A_i\}_{U_i} \in \prod \Omega^1 (U_i, \mathfrak{g})$ unter Erfüllung der üblichen Klebebedingung auf der offenen Bespannung

U

$\mathcal{U}$ von

X

$X$ .

Ich habe zwei Fragen, wobei die erste die Hauptfrage ist.

1)Seit $A$ ist nicht global definiert als a $1$ -form, was ist $\int_X A \wedge j_e$ in diesem Fall?

2) Der Lagrange $L$ ist invariant unter der Änderung $A \mapsto A + \alpha$ für $\alpha$ einige geschlossen $1$ -form. Etwas präziser,

L [A + a] - L [A] = - D (a \land ⋆ F_{A})

$L[A + \alpha] - L[A] = - d (\alpha \wedge \star F_A)$ . Das bedeutet also, dass die Aktion

S [A] = \int_{X} L [A]

$S [A] = \int_X L[A]$ ist invariant unter Transformationen

A \mapsto A + a

$A \mapsto A + \alpha$ . Daher sollten diese Transformationen statt nur der Eichtransformationen berücksichtigt werden, wenn der Raum der Feldkonfigurationen als Quotient definiert wird.

In der obigen Arbeit werden solche Transformationen statt der üblichen Eichtransformationen als Eichtransformationen bezeichnet $A \mapsto A + gdg^{-1}$ (siehe Seite $5$ ). Meine Frage ist also, warum die Menschen den klassischen Raum der Feldkonfigurationen normalerweise nicht als betrachten

Ω^{1} (X) / Ω_{C l Ö S e D}^{1} (X)

$\Omega^1 (X)/\Omega^1_{closed} (X)$ ?

Ich weiß, dass solche Transformationen auf der Quantenebene nicht mit dem Raum der Feldkonfigurationen übereinstimmen, da Wilson-Schleifen auf verschiedenen Elementen derselben Klasse unterschiedliche Werte erreichen würden. Klassisch, so wie ich es verstehe, wird die gesamte Theorie jedoch nur durch die Krümmung bestimmt $F_A$ .

Vielen Dank im Voraus.

QMechaniker

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v1): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien, zB arxiv.org/abs/1209.2530

Benutzer40276

@Qmechanic Warum wird das direkte Verlinken der PDF-Datei nicht empfohlen?

QMechaniker

ZB wenn Leute eine langsame Verbindung / Ausrüstung haben.

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Warum nur Transformationen im Elektromagnetismus messen?

Kleiner Kommentar zum Beitrag (v1): Bitte verlinken Sie in Zukunft auf Abstract-Seiten statt auf PDF-Dateien, zB arxiv.org/abs/1209.2530
@Qmechanic Warum wird das direkte Verlinken der PDF-Datei nicht empfohlen?

ACuriousMind · Answer 1

Als Mannigfaltigkeit, $X$ lässt Partitionen der Einheit zu. Integration eines eichinvarianten Funktionals $G[A]$ über alles $X$ während $A$ ist eigentlich nur durch lokale Felder definiert $A_i$ auf einem Deckel $\{U_i\}$ von $X$ wird einfach durch die Wahl einer Partition der Einheit definiert $\{\chi_i\}$ An $\{U_i\}$ und dann schreiben
$\int_{X} G [A] = \sum_{ich} \int_{U_{ich}} χ_{ich} G [A_{ich}]$ $\int_X G[A] = \sum_i \int_{U_i}\chi_i G[A_i]$ wobei die Eichinvarianz des Funktionals gewährleistet $G[A_i] = G[A_j]$ auf Überlappungen (aufgrund der Form der Klebebedingung für die $A_i$ ), so dass dies klar definiert und unabhängig von der gewählten Abdeckung oder Partition ist.

Das Objekt $A\wedge j_e$ ist nicht eichinvariant, aber fast so: Under $A\mapsto A+\mathrm{d}\phi$ , wir bekommen $A\wedge j_e\mapsto A\wedge j_e + \mathrm{d}(\phi\wedge j_e)$ seit $\mathrm{d}j_e=0$ .
Wenn die Verwandlung $A\mapsto A+\alpha$ hat $\alpha$ geschlossen, aber nicht von der Form $g^{-1}\mathrm{d}g$ , dann handelt es sich nicht um eine Eichtransformation im physikalischen Sinne, da sie nicht aus der eigentlichen Eichgruppe hervorgeht. Insbesondere funktioniert dies nicht für nicht-abelsche Gruppen. Es ist ein "Unfall" der Wahl $\mathrm{U}(1)$ als Eichgruppe, dass solche Transformationen auch die Wirkung invariant lassen – und zwar eine, die sich nur auf topologisch nicht-trivialen Mannigfaltigkeiten zeigt, da if $\alpha = \mathrm{d}\phi$ genau ist, dann ist es von der Form $g^{-1}\mathrm{d}g$ für $g= \exp(\phi)$ . Hier ist der Grund, warum eine generische geschlossene Form für nicht-Abelsche Theorien nicht funktioniert:

Für die lokalen Formen $A_i$ , auf den Überlappungen $U_i\cap U_j$ mit Übergangsfunktion $f_{ij}$ wir haben
$A_{ich} = {A D}_{F_{ich J}} (A_{J}) + F_{J ich}^{*} θ$ $A_i = \mathrm{ad}_{f_{ij}}(A_j) + f_{ji}^\ast\theta$ Wo $\theta$ ist die Cartan-Maurer-Form auf der Gauge-Gruppe und ist die bekanntere $f_{ji}^\ast\theta = f_{ji}^{-1}\mathrm{d}f_{ji}$ für Matrixgruppen. Nun, wenn Sie das tun $A\mapsto A+\alpha$ , du erhältst $A_{ich} + a = {A D}_{F_{ich J}} (A_{J} + a) + F_{J ich}^{*} θ$ $A_i + \alpha = \mathrm{ad}_{f_{ij}}(A_j + \alpha) + f_{ji}^\ast\theta$ also bekommen wir $\alpha =\mathrm{ad}_{f_{ij}}(\alpha)$ als zusätzliche Anforderung, dh Konsistenz des lokalen Ausdrucks für das Eichfeld erfordern würde $\alpha$ zentral sein, oder das Eichhauptbündel trivial sein.

Aber es gibt noch mehr: Der entscheidende Punkt ist das $A\mapsto A+\alpha$ keinen Bündelautomorphismus des Eichhauptbündels induziert. In der üblichen Umgebung haben wir einen Bündelautomorphismus $t : P\to P$ , das ist äquivalent a $\mathrm{ad}$ -äquivariante Funktion $g : P\to G$ mit $g(ph) = \mathrm{ad}_h g(p)$ , die wiederum auf lokale Funktionen herabsteigt $g_i: U_i\to G$ mit $g_i = \mathrm{ad}_{f_{ij}}(g_j)$ , und alle Sammlungen dieser Funktionen können wieder zu einem Bündelautomorphismus zusammengeklebt werden. Das kannst du nicht mit $\alpha$ , aber Sie könnten jetzt daran denken, lokale Formen auszuprobieren $\alpha_i = \mathrm{ad}_{f_{ij}}(\alpha_j)$ . Allerdings verbietet niemand die Wahl der $U_i$ zusammenziehbar, und dann jeder solche $\alpha_i$ ist schon formlos $g_i^{-1}\mathrm{d}g_i$ , was bedeutet, dass nichts hinzugefügt wird.

Danke für deine Antwort. Allerdings betraf meine erste Frage nicht die Integration der gesamten Lagrangefunktion. Allerdings habe ich seine Bedeutung bereits verstanden. Die Form $j_e$ ist eigentlich eine Distribution von Compact Support (obwohl der Autor dies nicht erwähnt). In diesem Fall gilt die Poincaré-Dualität $A$ auch wenn es keine geschlossene Form ist. Das Poincaré-Dual muss jedoch meines Wissens keine glatte Kurve sein. Wenn es glatt ist, wird das Integral als pfadgeordnetes Integral ausgewertet. Weiß jedoch nicht, wie ich mit dem nicht glatten Fall umgehen soll, wenn es zu "wild" ist
Über 2 bin ich nicht wirklich überzeugt, warum man diese zusätzliche Symmetrie nicht einbaut. Es ist auch seltsam, dass etwas, das eine Symmetrie ist, keine Symmetrie auf der Quantenebene ist, aber vielleicht ist das etwas, das Physikern bekannt ist … Nun, zu Ihrem Kommentar zu nicht-abelschen Gruppen, sagen Sie, dass die Wirkung von Yang-Mlls Funktional ist bei dieser Art von Transformation nicht invariant $A \mapsto A + \alpha$ ? Ich glaube nicht...
@ user40276: Ich habe die Antwort mit einer kurzen Bemerkung aktualisiert, warum $A\wedge j_e$ ist "eichinvariant genug", damit mein Integral funktioniert, und mit einer längeren Erklärung, warum a lediglich geschlossen ist $\alpha$ respektiert die Struktur einer allgemeinen Eichtheorie nicht richtig.
Vielen Dank für Ihre Ergänzungen zu Ihrer Antwort. Sie haben Recht mit dem nicht-abelschen Fall. Ich war zu dumm anzunehmen, dass sich die Krümmung durch diese allgemeinere Transformation nicht ändern würde. Ich bin jedoch immer noch nicht davon überzeugt, dass diese Transformationen nicht auf den Elektromagnetismus im klassischen Fall angewendet werden sollten. Eine Nichtberücksichtigung dieser Transformationen würde einen zu viel größeren Raum von Feldkonfigurationen erzeugen. Nun, über die $A \wedge j_e$ , wäre es wahrscheinlich unveränderlich für allgemeine Eichtransformationen, nachdem es potenziert wurde (d.h. nehmen $mod \mathbb{Z}$ ), ...
aber das Problem des Poincaré-Duals ist immer noch da… Entschuldigung, dass ich zu nervig bin :P
@user40276: Du nervst nicht :) Ich bin mir nicht sicher, was genau du mit dem Poincaré-Dual meinst, könntest du es buchstabieren? Um nicht davon überzeugt zu sein, dass diese Transformationen nicht angewendet werden sollten - sie sind sicherlich Symmetrien von EM - sie sind einfach nicht Teil der Eichsymmetrie . Ich bin tatsächlich etwas verwirrt, weil ich sie noch nie irgendwo diskutiert gesehen habe. Ich denke, sie sind keine Lie-Symmetrie und erzeugen daher kein Erhaltungsgesetz, also sind sie aus physikalischer Sicht nicht besonders interessant.
Nun, von Poincaré dual $\eta$ Ich meine einen geschlossenen Unterverteiler $Y$ , so dass $\int_X \eta \wedge \omega = \int_Y \omega$ für jede kompakte Kohomologieklasse $[\omega]$ . Im obigen Fall jedoch die $A$ ist nicht geschlossen. Aber in dem oben erwähnten Artikel sagt er, dass die Poincaré-Dualität für den nicht abgeschlossenen Fall gilt, wenn $j_e$ verteilt ist. Jedenfalls habe ich dieses Ergebnis nirgendwo gefunden. Vielleicht stelle ich diese Frage zum Poincare-Dual in mathstack oder mathoverflow.
Über den Symmetrieteil. Was ist eine Eichsymmetrie? Mit anderen Worten, was genau macht eine gegebene Symmetrie zu einer Eichsymmetrie? Vielleicht ist es die Möglichkeit, den zweiten Satz von Noether anzuwenden. Übrigens, was sind die Arten von Symmetrien, die nach der Quantisierung immer noch eine Symmetrie sind? Offensichtlich sind diese von mir erwähnten Transformationen keine Symmetrien auf der Quantenebene (Aharonov-Bohm-Effekt).

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