Welche Form der Maxwell-Gleichungen ist fundamental, in Integralform oder Differentialform?

Wenn die Differentialform grundlegend ist, erhalten wir keinen Strom, aber die Integralform ist grundlegend, wir erhalten einen Strom.

Ich bin mir nicht sicher, wie Sie zu diesem Schluss gekommen sind, aber es ist nicht wahr. Sowohl die Differential- als auch die Integralform der Maxwell-Gleichungen sagen genau dasselbe aus . Beides lässt sich aus dem anderen ableiten, und beide sagen in jeder Situation genau die gleichen körperlichen Folgen voraus.

Die meisten Physiker würden sagen, dass die Differentialform grundlegender ist, aber das ist nur ein Artefakt davon, wie wir über moderne Physik denken, in Bezug auf Felder, die an bestimmten Punkten interagieren. Es ist wirklich eine philosophische Frage, keine physikalische, weil es für Berechnungszwecke keine Rolle spielt, welche Form Sie für grundlegender halten.

In der spezifischen Situation, nach der Sie fragen, erhalten Sie mit dem Solenoid einen Strom in der Schleife um das Solenoid. Es ist möglicherweise einfacher, dies anhand der integralen Form des Faradayschen Gesetzes zu erkennen, aber die differentielle Form macht genau die gleiche Vorhersage.

Lassen Sie mich dies ausdrücklich demonstrieren. Angenommen, Sie haben ein ideales Solenoid mit Radius$r_0$, mit$n$Windungen pro Längeneinheit, ausgerichtet entlang der$z$Achse. Sein Magnetfeld ist gegeben durch

$$\vec{B} = \begin{cases}\mu_0 n I\hat{z} & r < r_0 \\ 0 & r > r_0\end{cases}$$

Wie Sie bemerkt haben, impliziert dies das$\nabla\times\vec{E} = 0$außerhalb des Solenoids. Jetzt könnten Sie denken , dass dies das Integral impliziert$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell$um eine Schleife außerhalb des Solenoids herum, die die EMF liefert, muss Null sein. Aber das ist nicht wirklich der Fall. Die Beziehung zwischen$\nabla\times\vec{E}$und$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell$stammt aus dem Satz von Stokes und besagt

$$\oint_{\mathcal{C}}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell = \iint_{\mathcal{S}}(\nabla\times\vec{E})\cdot\mathrm{d}^2\vec{A}$$

Das Linienintegral um die Schleife wird also durch die Kräuselung von bestimmt$\vec{E}$ überall innerhalb der Schleife, einschließlich innerhalb des Solenoids wo

$$\nabla\times\vec{E} = -\mu_0 n \frac{\partial I}{\partial t}\hat{z}\quad(r < r_0)$$

Das Ausführen des Integrals gibt Ihnen

$$\mathcal{E} = \oint_{\mathcal{C}}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\ell = \iint_{\mathcal{S}}(\nabla\times\vec{E})\cdot\mathrm{d}^2\vec{A} = -\int_0^{2\pi}\int_{0}^{r_0}\mu_0 n \frac{\partial I}{\partial t}\hat{z}\cdot r\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\hat{z} = -\mu_0 \pi r_0^2 n\frac{\partial I}{\partial t}$$

Sie können also sehen, dass jeder zeitveränderliche Strom im Solenoid eine EMF erzeugt und einen Strom induziert.

Weder die Integral- noch die Differentialdarstellung sind grundlegender; man kann zu beiden über Sätze der Vektorrechnung gelangen. Die eleganteste Formulierung der Maxwellschen Gleichungen verwendet Differentialformen (im Sinne der Differentialgeometrie). Mit der potentiellen 1-Form$A$, können wir einen Feldstärketensor konstruieren$F = \mathrm{d} A = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$und die Maxwell-Gleichungen werden zu:

$$\mathrm{d} F =0, \, \, \, \, \delta F =0$$

wo$\delta = \star \mathrm{d} \star$, normalerweise Kodifferential und Operator genannt$\star$ist das Hodge-Dual.

Man kann ausrechnen, welche fundamental oder abgeleitet sind, je nachdem, ob sie eine Definition einer Größe darstellen.

$\nabla\cdot D = \rho$ist grundlegend, da dies die moderne Art ist, ein flussähnliches Feld zu definieren. Man fügt dazu die Gleichungen hinzu$F=EQ$und$D=\epsilon E$, die zwar nicht zu den klassischen vier Gleichungen gehören, aber verschiedentlich nebenbei hinzugefügt werden.

$\nabla\cdot B=0$ist eine Aussage, dass es keine magnetischen Ladungen gibt, wurde abgeleitet, indem zuerst magnetische Ladung angenommen und dann bewiesen wurde, dass sie nicht existiert.

$\nabla\times E = -\tau B$ist eine abgeleitete Relation, da in dieser Relation nichts definiert ist. Dies ist das Induktionsgesetz von Faraday.

$\nabla\times H = \tau D + J$ist ebenfalls abgeleitet, da alle$H$,$D$, und$J$werden an anderer Stelle abgeleitet. Hinweis, Gleichungen mit Additionen sind normalerweise eine abgeleitete Gleichheit.

Leo Young (System of Units in Electricity and Magnetism) sagt uns, dass man acht Gleichungen benötigt, damit die Maxwellschen Gleichungen als Basis für den Elektromagnetismus funktionieren. Sechs wurden oben gezeigt. Braucht man auch$B = \mu H$und$F = I \times B$, um Elektromagnetismus abzuleiten.

Da Leo Young eine Theorie ansprach, die sowohl mit CGS Gaussian als auch mit SI kohärent ist, verwendet er zusätzliche Konstanten S und U, die in SI auf Eins gesetzt sind, aber die Werte von annehmen$S=4\pi$und$U=1/c$in CGS One addiert man diese Zahlen einfach in eine SI-Gleichung, so dass bei der Substitution cgs-Formeln entstehen.

Oliver Heaviside, der als erster die EM-Theorie ausgehend von Maxwells Gleichungen darlegte, nahm nicht automatisch an$\nabla\cdot B=0$, aber$\nabla\cdot B = m$, wo$m$ist die Punktdichte der magnetischen Ladung. Dies wirkt sich aus$\nabla\times E$auch.