Überbestimmt die Maxwell-Gleichungen die elektrischen und magnetischen Felder?

Das ist kein Problem, weil zwei der acht Gleichungen Beschränkungen sind und sie nicht ganz unabhängig von den restlichen sechs sind.

Die Beschränkungsgleichungen sind die skalaren,

$${\rm div}\,\,\vec D = \rho, \qquad {\rm div}\,\,\vec B = 0$$ Vorstellen $\vec D=\epsilon_0\vec E$und $\vec B=\mu_0\vec H$überall der Einfachheit halber.

Wenn diese Gleichungen im Anfangszustand erfüllt sind, werden sie sofort jederzeit erfüllt sein. Das liegt daran, dass die Zeitableitungen dieser nicht-dynamischen Gleichungen ("nicht-dynamisch" bedeutet, dass sie nicht dafür ausgelegt sind, Zeitableitungen von Feldern selbst zu bestimmen; sie enthalten nicht wirklich Zeitableitungen) aus den verbleibenden 6 Gleichungen berechnet werden können . Einfach bewerben${\rm div}$auf den verbleibenden 6 Komponentengleichungen,

$${\rm curl}\,\, \vec E+ \frac{\partial\vec B}{\partial t} = 0, \qquad {\rm curl}\,\, \vec H- \frac{\partial\vec D}{\partial t} = \vec j.$$ Wenn Sie sich bewerben ${\rm div}$, die Curl-Begriffe verschwinden, weil ${\rm div}\,\,{\rm curl} \,\,\vec V\equiv 0$ist eine Identität und Sie bekommen $$\frac{\partial({\rm div}\,\,\vec B)}{\partial t} =0,\qquad \frac{\partial({\rm div}\,\,\vec D)}{\partial t} =-{\rm div}\,\,\vec j.$$ Die erste Gleichung impliziert dies ${\rm div}\,\,\vec B$bleibt Null, wenn es im Anfangszustand Null war. Die zweite Gleichung kann unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung für umgeschrieben werden $\vec j$, $$\frac{\partial \rho}{\partial t}+{\rm div}\,\,\vec j = 0$$ (dh wir gehen davon aus, dass dies für die Quellen gilt) zu bekommen $$\frac{\partial ({\rm div}\,\,\vec D-\rho)}{\partial t} = 0$$ Also ${\rm div}\,\,\vec D-\rho$bleibt auch immer Null, wenn er im Ausgangszustand Null ist.

Lassen Sie mich erwähnen, dass unter den 6+2-Komponenten-Maxwell-Gleichungen 4 davon die beinhalten$\vec E,\vec B$, kann schriftlich gelöst werden$\vec E,\vec B$in Form von vier Komponenten$\Phi,\vec A$. In dieser Sprache bleiben uns nur die verbleibenden 4 Maxwell-Gleichungen. Allerdings sind jeweils nur 3 davon wirklich unabhängig, wie oben gezeigt. Das ist auch OK, weil die vier Komponenten von$\Phi,\vec A$sind nicht ganz bestimmt: Eine dieser Komponenten (oder eine Funktion) kann durch den 1-Parameter geändert werden$U(1)$Eichinvarianz.

I) Lassen Sie uns nur zum Spaß die Frage von OP verallgemeinern$n$Raumzeitdimensionen und prüfen Sie, wie das Zählen von Gl. und Freiheitsgrade (dof) funktionieren in dieser allgemeinen Einstellung. Wir werden die Antwort von Lubos Motl als Vorlage für diesen Teil verwenden. Auch werden wir eine spezielle Relativistik verwenden$(-,+,\ldots,+)$Notation mit$c=1$, wo$\mu,\nu\in\{0,\ldots,n-1\}$bezeichnen Raumzeit-Indizes, während$i,j \in\{1,\ldots,n-1\}$bezeichnen räumliche Indizes. Maxwell-Gleichungen. sind die folgenden.

1. Quellenfreie Bianchi-Identitäten:

   $${\rm d}F~=~0 \qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad \sum_{\rm cycl.~\mu,\nu,\lambda} d_{\lambda} F_{\mu\nu} ~=~0, \qquad\qquad F~:=~\frac{1}{2} F_{\mu\nu}~ {\rm d}x^{\mu} \wedge {\rm d}x^{\nu}.$$ Hier $$\left(\begin{array}{c} n \cr 3\end{array}\right) {\rm~Bianchi~identities} ~=~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 3\end{array}\right) {\rm~constraints}~+~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~ ({\rm No~magnetic~monopole~eqs.})~+~ ({\rm Faraday's~law}).$$

2. Maxwell-Gleichungen. mit Quelltermen:

   $$d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~-j^{\nu} .$$ Hier $$n {\rm~source~eqs.}~=~1 {\rm~constraint} ~+~ (n-1) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~({\rm Gauss'~law}) ~+~ ({\rm Ampere's~law~with~displacement~term}).$$

Wir haben die Terminologie verwendet, dass eine dynamische Gl. enthält Zeitableitungen, während eine Einschränkung dies nicht tut. Also die Anzahl der dynamischen EQs. ist

$$\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right)~+~(n-1)~=~ \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right),$$

was genau passt

$${\rm the~number~} \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right) {\rm~of~} F_{\mu\nu} {\rm~fields}$$ $$~=~\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right){~\rm magnetic~fields~} F_{ij} ~+~(n-1) {\rm~electric~fields~}F_{i0} .$$

Maxwell-Gleichungen. mit Quelltermen implizieren die Kontinuität Gl.

$$d_{\nu}j^{\nu} ~=~-d_{\nu}d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~0,\qquad\qquad F^{\mu\nu}~=~-F^{\nu\mu},$$

also muss man die hintergrundquellen nachfragen$j^{\nu}$gehorche der Kontinuitäts-Gl.

Aus Konsistenzgründen sollte die zeitliche Ableitung jeder der Beschränkungen verschwinden. Im Falle der Nicht-Magnet-Monopol-Gleichungen folgt dies aus dem Faradayschen Gesetz. Beim Gaußschen Gesetz folgt dies aus dem modifizierten Ampereschen Gesetz und der Kontinuitätsgleichung Gl.

II) Der vorherige Abschnitt (I) hat die Zählung in Bezug auf die vorgenommen$\left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right)$Feldstärken$F_{\mu\nu}$. In Bezug auf die$n$Potenziale abschätzen$A_{\mu}$, die Zählung geht wie folgt. Die Bianchi-Identitäten sind jetzt trivial zufrieden,

$$F~=~{\rm d}A\qquad\qquad A~:=~A_{\mu}~ {\rm d}x^{\mu}.$$

Es gibt noch die$n$Maxwell-Gleichungen. mit Quellbegriffen

$$(\Box\delta^{\mu}_{\nu}-d^{\mu}d_{\nu})A^{\nu}~=~-j^{\mu} , \qquad\qquad \Box~:=~d_{\mu}d^{\mu}.$$

Aufgrund der Eichsymmetrie gibt es eine einzige Spurweite dof$A \to A + {\rm d}\Lambda$und$F \to F$. Wird mit der Lorenz -Eichbedingung eichfixiert

$$d_{\mu}A^{\mu}~=~0,$$

die Maxwell-Gleichungen. werden$n$entkoppelte Wellengleichungen

$$\Box A^{\mu}(x)~=~-j^{\mu}(x).$$

Durch eine räumliche Fourier-Transformation werden diese zu entkoppelten linearen ODEs zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten,

$$(d^2_t+\vec{k}^2) \hat{A}^{\mu}(t;\vec{k})~=~\hat{j}^{\mu}(t;\vec{k}) ,$$

die, ausgehend von einer anfänglichen Zeit$t_0$, kann für alle Zeiten gelöst werden$t$, vgl. Frage von OP. [Man sollte überprüfen, ob die Lösung

$$\hat{A}^{\mu}(t;\vec{k}) ~=~\int {\rm d} t^{\prime} ~G(t-t^{\prime};\vec{k})~\hat{j}^{\mu}(t^{\prime};\vec{k}), \qquad\qquad (d^2_t+\vec{k}^2)G(t-t^{\prime};\vec{k})~=~\delta(t-t^{\prime}),$$

erfüllt die Lorenz-Eichbedingung. Dies folgt aus der Kontinuitätsgleichung]

III) Es ist interessant, die vollständige Lösung herzuleiten$\tilde{A}^{\mu}(k)$in$k^{\nu}$-Impulsraum ohne Spurbefestigung . Die Fourier-transformierten Maxwell-Gl. lesen

$$M^{\mu}{}_{\nu}~\tilde{A}^{\nu}(k)~=~\tilde{j}^{\mu}(k), \qquad\qquad M^{\mu}{}_{\nu}~:=~k^2\delta^{\mu}_{\nu} -k^{\mu}k_{\nu}.$$

Um fortzufahren, muss man die Matrix analysieren$M^{\mu}{}_{\nu}$für fest$k^{\lambda}$. Es gibt drei Fälle.

1. Konstanter Modus $k^{\mu}=0$. Dann die Matrix$M^{\mu}{}_{\nu}=0$verschwindet identisch. Maxwell-Gleichungen. sind nur dann zu erfüllen, wenn$\tilde{j}^{\mu}(k=0)=0$ist Null. Das Eichpotential$\tilde{A}_{\mu}(k=0)$überhaupt nicht durch Maxwell-Gleichungen eingeschränkt, dh es gibt eine volle$n$-Parameter Lösung.

2. Massives Gehäuse $k^2\neq 0$. Die Matrix$M^{\mu}{}_{\nu}$ist mit Eigenwert diagonalisierbar$k^2$(mit Vielfältigkeit$n-1$) und Eigenwert$0$(mit Vielfältigkeit$1$). Letzteres entspricht einem reinen Gauge-Modus$\tilde{A}^{\mu}~\propto~k^{\mu}$. Die Komplettlösung ist a$1$-Parameter Lösung der Form

   $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~\frac{\tilde{j}^{\mu}(k)}{k^2}~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k).$$ Abgesehen vom Quellterm ist dies ein reines Eichmaß.

3. Masseloses Gehäuse $k^2=0$ und $k^{\mu}\neq 0$. Die Matrix$M^{\mu}{}_{\nu}$ist nicht diagonalisierbar. Es gibt nur Eigenwert$0$(mit Vielfältigkeit$n-1$). Maxwell-Gleichungen. sind nur möglich, wenn die Quelle zu befriedigen$\tilde{j}^{\mu}(k)=\tilde{f}(k)k^{\mu}$ist proportional zu$k^{\mu}$mit einem Proportionalitätsfaktor$\tilde{f}(k)$. In diesem Fall werden Maxwell-Gl. werden

   $$-k_{\mu}\tilde{A}^{\mu}(k)~=~\tilde{f}(k).$$ Lassen Sie uns ein vorstellen$\eta$-Dualer Vektor$^1$ $$k^{\mu}_{\eta}~:=~(-k^0,\vec{k})\qquad {\rm for}\qquad k^{\mu}~=~(k^0,\vec{k}).$$ Beachten Sie, dass $$k_{\mu}~k^{\mu}_{\eta}~=~(k^0)^2+\vec{k}^2$$ ist nur das euklidische Abstandsquadrat$k^{\mu}$-Impulsraum. Die Komplettlösung ist ein$(n-1)$-Parameter Lösung der Form $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~-\frac{k^{\mu}_{\eta}}{k_{\nu}~k^{\nu}_{\eta}}\tilde{f}(k) ~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k)~+~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k).$$ Der Begriff proportional zu$k_{\mu}$ist ein reines Messgerät. Hier$\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)$bezeichnen$n-2$transversale Moden, $$k_{\mu}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0, \qquad\qquad k_{\mu}^{\eta}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0.$$ Das$n-2$transversale Modi$\tilde{A}^{\mu}_{T}$sind die einzigen sich ausbreitenden physikalischen dof (elektromagnetische Wellen, Photonenfeld).

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$^1$Longitudinale und zeitliche Polarisationen sind im masselosen Fall proportional$k^{\mu}\pm k^{\mu}_{\eta}$, beziehungsweise.

Gleichungen sind für jede Zeit geschrieben$t$und es besteht keine Notwendigkeit, ihre Gültigkeit zu irgendeinem Zeitpunkt zu "beweisen". Diese Gleichungen sind die experimentellen Gesetze und natürlich jederzeit konsistent. Die Beschränkungen werden hier nicht den Feldern auferlegt, sondern den elektrischen und magnetischen Ladungen. Die Ladungen haben keine Quellen/Senken, so wie die abgeleiteten Gleichungen$\partial\rho/\partial t + \rm div \vec{j}=0$sagen nämlich das und heißen die Ladungserhaltungssätze. (Sie sind eine experimentelle Tatsache.) Die Ladungserhaltungsgesetze bestimmen nicht die Ladungsdynamik; für letztere existieren die "mechanischen" Gleichungen. Bei einer Elementarladung$q$, seine Erhaltung bedeutet seine Zeitunabhängigkeit:$\frac{dq}{dt}=0$die normalerweise nicht als zusätzliche Gleichung geschrieben, sondern als Lösung verwendet wird$q=const$in den "mechanischen" Gleichungen.

Sie haben also sechs Gleichungen für Felder und zwei als Erhaltungssätze für Ladungen.

Das sieht man leicht, wenn man mit den Maxwell-Gleichungen zu den entkoppelten, inhomogenen Wellengleichungen für die Felder kommt,

$$\begin{split}\Box \vec{E} &= - \mu_0 \frac{\partial \vec{J}}{\partial t} - \vec{\nabla} \frac{\rho}{\varepsilon_0},\\ \Box \vec{B} &= \mu_0\vec{\nabla}\times \vec{J}, \end{split}$$ mit $\Box \equiv \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$der Dalembertianer. Diese Ableitung erfordert die Verwendung aller Maxwell-Gleichungen, und es existiert eine Lösung, die eindeutig definiert ist, wenn wir geeignete Randbedingungen verwenden, daher sind die Maxwell-Gleichungen nicht unabhängig.

Ein Hinweis auf ihre Abhängigkeit voneinander ist das Helmholtz-Theorem, sofern die Quellen lokalisiert sind. Nach dem Satz ist ein Körper eindeutig definiert, wenn sowohl seine Divergenz als auch seine Kräuselung bekannt sind, dh der Satz definiert 3 Funktionen aus 4 abhängigen Gleichungen.

Die Maxwell-Gleichungen überbestimmen die elektrischen und magnetischen Felder nicht. Dies wird klarer, wenn wir die vier Maxwell-Gleichungen mit geometrischer Algebra in eine umschreiben:

$$(c^{-1}\partial_t + \vec\nabla)(\vec E + i\zeta\vec H) = \zeta(\rho c +\vec j)$$ , wobei die Vektorprodukte der Pauli-Identität folgen $\vec a\vec b = \vec a\cdot\vec b + i\vec a\times \vec b$. Im Prinzip können wir die Maxwell-Gleichung umkehren, um sie nach dem elektromagnetischen Feld aufzulösen $\vec E + i\zeta\vec H$, indem Randbedingungen angewendet werden.

Die Maxwell-Gleichungen sind tatsächlich redundant, wenn man mit den normalen Variablen arbeitet, werden die Redundanzen eliminiert. Eine sehr klare Diskussion findet sich in:

Photonen und Atome: Einführung in die Quantenelektrodynamik Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg

Hier ist eine verwandte Frage, die ich immer an Studenten werfe. Im freien Raum können Sie die Maxwell-Gleichung in 2 Vektor-Helmholtz-Gleichungen umwandeln, eine für E und eine für B. Wie kommt es also, dass sie entkoppelt sind? Es scheint, dass wir E und B getrennt berechnen könnten. Der Hinweis ist, dass Sie im freien Raum einige Randbedingungen angeben müssen, um überhaupt Nicht-Null-Felder zu haben. Und die Randbedingungen müssen mit den Maxwell-Gleichungen übereinstimmen. Die transversale, gekoppelte Natur der Felder kommt also aus dem BC und wird in den freien Raum propagiert.

Übrigens müssen für endliche Strahlen die E- und B-Felder nicht quer zueinander sein (dh es gibt Längsfelder). Dies macht das Arbeiten mit endlichen Strahlen viel schwieriger als das Arbeiten mit unphysikalischen ebenen Wellen.