Maxwell-Gleichungen in 2+1 D

Ich habe ein Problem mit den Maxwell-Gleichungen in (2 + 1) -Dimensionen unter Verwendung der Differentialform. Nach J. Baez "Gauge Fields, Knots and Gravity" Seite 93 (oder jedem anderen Buch) lauten die Gleichungen

D F = 0 ∗ D ∗ F = J

mit J = − ρ D T + J das ist eine 1-Form, und F ist das elektromagnetische Tensorfeld (2-Form). Diese Gleichungen ergeben die korrekten Maxwell-Gleichungen in der (3+1)-Dimension, aber in (2+1) gibt es eine andere Gleichung mit einem Minuszeichen

div E = − ρ .

Um die Dinge zu detaillieren

F = B D X ∧ D j − E X D T ∧ D X − E j D T ∧ D j ∗ F = B D T + E X D j − E j D X D ∗ F = − ( ∂ T E j − ∂ X B ) D T ∧ D X + ( ∂ T E X − ∂ j B ) D T ∧ D j + ( ∂ X E X + ∂ j E j ) D X ∧ D j ∗ D ∗ F = ( ∂ X E X + ∂ j E j ) D T + ( ∂ T E X − ∂ j B ) D X + ( ∂ T E j − ∂ X B ) D j

was impliziert

div E = − ρ .

WARUM gibt es ein negatives Vorzeichen?

Antworten (1)

Irgendetwas stimmt nicht mit Ihren Vorzeichenpermutationen in der Berechnung des Hodge-Sternoperators. Wenn

F = B + E ∧ D T ,

dann in 2D,

F = B D X ∧ D j + E X D X ∧ D T + E j D j ∧ D T ,

wie du selbst geschrieben hast. Nehmen wir nun unseren anfänglichen Hodge-Stern als ⋆ D X ∧ D j = D T . Das bedeutet, dass ⋆ D T ∧ D X = D j Und ⋆ D j ∧ D T = D X , durch zyklische Permutation (Regel der rechten Hand, und hier ist Ihr Fehler, denke ich). Das bedeutet, dass

⋆ F = B D T − E X D j + E j D X ,

was im Zeichen nicht mit dem übereinstimmt, was Sie bekommen haben. In der Tat ist es leicht, das zu sehen

( ⋆ D ⋆ F ) ( ∂ T ) = − ( ∂ X E X + ∂ j E j ) ,

was das implizite Zeichen festlegt ∇ ⋅ E = ρ .

Die Formel für den Hodge-Operator, den ich habe, lautet ∗ D X ∧ D T = ϵ           2 10 D j = − ϵ 102 D j = D j . Deshalb bekomme ich + E X D j
Gut, wenn Sie wollen ⋆ D X ∧ D T = D j , dann musst du unbedingt haben ⋆ D j ∧ D X = D T (Vorzeichenwechsel) und ⋆ D T ∧ D j = D X , was dein Zeichen noch einmal fixiert. Sie verwenden beim Analysieren falsche Hodge-Dualzahlen ⋆ D ⋆ F .
Danke. Wenn Sie Nakahara (Geometrie, Topologie und Physik) haben, können Sie mir bitte sagen, ob seine Formel 7.172 falsch ist, da ich diese verwende
Nein, Nakahara ist nicht falsch. Es verkompliziert nur etwas sehr Einfaches. Der Wikipedia-Artikel zum Hodge-Dual ist meiner Meinung nach viel besser als der von Nakahara. Ich denke, Sie machen wahrscheinlich etwas falsch mit Ihren Zeichen, wenn Sie Nakaharas Formel verwenden, das ist alles
@anubis Wenn ich Ihre Frage nicht beantwortet habe, sagen Sie es mir bitte und ich werde noch näher darauf eingehen. Wenn ja, und ich denke, dass dies der Fall ist, setzen Sie meinen Beitrag bitte als Antwort, damit diese Angelegenheit geschlossen werden kann.
Entschuldigung, dass ich nicht vorher geantwortet habe. Könnten Sie bitte näher auf die von Nakahara verwendete Formel eingehen, da die Idee für mich darin besteht, diese Berechnungen in gekrümmter Raumzeit zu verwenden, und ich muss eine Formel verwenden. Was ich nicht verstehe, ist, dass die Formel, die er geschrieben hat, in 4D funktioniert, aber nicht in 3D, während er sagt, dass sie für jedes D korrekt ist. Und es ist eine ziemlich einfache Formel, also sieht es nicht so aus, als hätte ich einige Indizes verwechselt
Die Antwort darauf findet sich in dem bereits erwähnten Wikipedia-Artikel. Siehe en.wikipedia.org/wiki/…
Ich stimme zu, dass diese Formel funktioniert. Aber Sie sagten "Nakahara ist nicht falsch". Sie können nicht beide richtig sein. Also lass mich nochmal fragen. Ist Nakaharas Formel falsch?
Endlich, ich glaube, ich habe meine Antwort. Die Grundgleichung sollte sein D ∗ F = ∗ J und nicht ∗ D ∗ F = J was in 4D für eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ergibt ∗ D ∗ F = J Weil ∗ 2 = 1 aber in 3D ∗ 2 = − 1 für die Lorentzsche Signatur, was impliziert, dass wir haben ∗ D ∗ F = − J . Weil ich weiß, dass auch die letzte Gleichung nicht korrekt war, müssen wir − ∂ T E + . . . = J
Freut mich, dass du es geschafft hast =)
Maxwell-Gleichungen in 2+1 D
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