Maxwellsche Gleichungen aus Differentialformen

Folgendes habe ich in einigen Vorlesungsnotizen gefunden, die ich vor einiger Zeit gemacht habe:

$$\mathbf{E}=-\text{grad}\Phi-\partial_t\mathbf{A}\\ \mathbf{B}=\mathrm{rot}\mathbf{A}$$

Dies sind die in Potentialform ausgedrückten elektromagnetischen Felder$A^{\mu}=(\Phi,\mathbf{A})$.

Jetzt möchte ich die Maxwell-Gleichungen mithilfe von Differentialformen herleiten. Das Potenzial ist a$1$-Form, der elektromagnetische Feldtensor$F_{\mu\nu}:=(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ist ein$2$-form. Weil$d^2=0$,$df=0$, so dass die homogenen Maxwell-Gleichungen automatisch erfüllt sind. Die Inhomogenen sind

$$\partial_\nu F^{\nu\mu}=j^\mu$$

Unterscheiden zwischen$\mu=0$Und$\mu=i$, das bedeutet übersetzt

$$\begin{align} \rho = j^0 &= \partial_\nu(\partial^\nu A^0-\partial^0 A^\nu)\\ &= \partial_j\partial^j A^0- \partial_0\partial^j A^j\\ & \\ j^i &= \partial_\nu(\partial^\nu A^i-\partial^i A^\nu)\\ &= \partial_0\partial^0 A^i- \partial_0\partial^i A^0 + \partial_j\partial^j A^i- \partial_j\partial^i A^j\\ &= \partial_0(\partial^0 A^i-\partial^i A^0) + \partial_j\partial^j A^i- \partial^i\partial_j A^j \\ \end{align}$$

also haben wir

$$\begin{align} \rho &=\nabla(\color{red}{+}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} &=\partial_t(\partial^t\mathbf{A}-\nabla\Phi) + (\nabla^2)\mathbf{A}-\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})\\ &=\partial_t(\color{red}{-}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{-}\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align}$$

Aber die inhomogenen Maxwell-Gleichungen sind

$$\begin{align} \rho =\nabla\mathbf{E} &= \nabla(\color{red}{-}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} =-\partial_t\mathbf{E}+\mathrm{rot}\mathbf{B} & =\partial_t(\color{red}{+}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{+} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align}$$

Also habe ich einige Zeichen falsch verstanden, aber ich kann nicht sehen warum. Ich dachte, dass ich vielleicht einige falsche Vorzeichen bekommen habe, weil ich einige obere und untere Indizes (wegen der Minkowski-Metrik) gemischt habe, aber da die falschen Vorzeichen meistens mit dem sind$\Phi$, ich bezweifle, dass das der Grund ist.

Irgendwelche Hinweise?