Eichkovariante Ableitung in verschiedenen Büchern

Wir werden in Einheiten mit arbeiten$c=1=\hbar$. Das$4$-Potenzial$A^{\mu}$mit oberem Index ist immer definiert als

$$A^{\mu}~=~(\Phi,{\bf A}).$$

1) Senkung des Index der$4$-Potenzial hängt von der Vorzeichenkonvention ab

$$(+,-,-,-)\qquad \text{resp.} \qquad(-,+,+,+)$$

für die Minkowski-Metrik$\eta_{\mu\nu}$. Diese Minkowski-Zeichenkonvention wird in verwendet

$$\text{Ref. 1 (p. xix) and Ref. 2 (p. xv)} \qquad \text{resp.} \qquad \text{Ref. 3 (eq. (1.9))}.$$

Das$4$-Potenzial$A_{\mu}$mit niedrigerem Index ist

$$A_{\mu}~=~(\Phi,-{\bf A}) \qquad \text{resp.} \qquad A_{\mu}~=~(-\Phi,{\bf A}).$$

Maxwellsche Gleichungen mit Quellen sind

$$d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~j^{\nu} \qquad \text{resp.} \qquad d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~-j^{\nu}.$$

Die kovariante Ableitung ist

$$D_{\mu} ~=~d_{\mu}+iqA_{\mu}\qquad \text{resp.} \qquad D_{\mu} ~=~d_{\mu}-iqA_{\mu},$$

wo$q=-|e|$ist die Ladung des Elektrons.

2) Die Vorzeichenkonvention für die Elementarladung$e$ist

$$e~=~-|e| ~<~0 \qquad \text{resp.} \qquad e~=~|e|~>~0.$$

Diese Ladungszeichenkonvention wird in verwendet

$$\text{Ref. 1 (p. xxi) and Ref. 3 (below eq. (58.1))} \qquad \text{resp.} \qquad \text{Ref. 2.}$$

Verweise:

1. ME Peskin und DV Schroeder, Eine Einführung in QFT.

2. A. Zee, QFT auf den Punkt gebracht.

3. M. Srednicki, QFT.

Eine späte Antwort, aber meiner Meinung nach wichtig.

Hinzu kommt noch ein weiterer Aspekt: ​​Das Vorzeichen in der kovarianten Ableitung hängt auch von der Vorzeichenkonvention ab, die bei der Eichtransformation verwendet wird!

Das wird oft übersehen .

Wenn sich das Dirac-Feld transformiert als

$$\psi \rightarrow e^{ig\alpha} \psi,$$ dann ist die kovariante Ableitung definiert als $$D_\mu = \partial_\mu - ig A_\mu.$$

Aber wenn sich das Dirac-Feld so umwandelt

$$\psi \rightarrow e^{-ig\alpha} \psi,$$ dann ist die kovariante Ableitung definiert als $$D_\mu = \partial_\mu + ig A_\mu.$$

Es ist interessant zu sehen, dass sich das Eichfeld in beiden Fällen als transformiert

$$A_\mu \rightarrow A_\mu + \partial_\mu \alpha.$$

Peskin und Schroeder verwenden die erste Konvention mit Kopplungskonstante$g=-|e|$(das ist zwar etwas verwirrend, aber physikalisch sinnvoll, da die elektromagnetische Kopplung zu einem Elektron negativ sein sollte). Sie beginnen mit den allgemeineren Definitionen mit a$g$von dem Moment an, in dem sie in Kapitel 15 zu nicht-Abelschen Theorien übergehen und weiterhin die erste Konvention verwenden.

Die zweite Konvention wird z. in Collins' neuem Buch "Foundations on pQCD". Dies ist so etwas wie der De-facto-Standard für die TMD-Community (querimpulsabhängige PDFs) geworden, daher sollten die Leute erkennen, dass sie Formeln aus diesem Buch nicht einfach mit zB kombinieren können. Peskin und Schroeders'.

Übrigens, im nicht-Abelschen Fall pflanzt sich der Vorzeichenwechsel auch in die Definition des Eichfeldtensors (vor dem Interaktionsteil) fort

In diesen Beispielen habe ich angenommen$(+---)$für alle, wie es in der Teilchenphysik üblich ist (while$(-+++)$ist Standard für GR und Stringtheorie/Susy).