Verwechselt mit 4-Vektor-Notation und 4-Ableitung

Ich habe große Probleme herauszufinden, was die Regeln für Algebra und Analysis mit 4-Vektoren sind. Dieses Beispiel soll eines meiner Probleme verdeutlichen:

Die Lagrangedichte für ein reelles Skalarfeld ist

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2.$$ Beim Versuch, die Euler-Lagrange-Gleichung zu lösen, weiß ich nicht, wie ich sie auswerten soll$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})$. Das sind die Ideen, die ich habe:

1.

$$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi=\frac{1}{2}\partial^{\mu}\phi.$$

2. Der Lagrangian kann geschrieben werden als$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$, So

$$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=\frac{1}{2}\partial^{\mu}\phi.$$

3. Aber der Lagrangian kann auch geschrieben werden als$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^{\nu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$, also wie bewerte ich es in diesem Fall? Verändere ich mich$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})$Zu$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}\phi)})$?

4. Wir können die Lagrange-Funktion schreiben als$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$, also haben wir in diesem Fall

$$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=\frac{1}{2}2(\partial_{\mu}\phi)=\partial_{\mu}\phi.$$

Nichts davon ist richtig$(\partial^{\mu}\phi)$! Wie bekomme ich die richtige Antwort? Was mache ich falsch? Gibt es Ressourcen, wo sie mir speziell bei solchen Problemen helfen können?