Feynman-Regeln aus Wechselwirkung Lagrange mit elektromagnetischem Tensor (Vertex)

Question

Feynman-Regeln aus Wechselwirkung Lagrange mit elektromagnetischem Tensor (Vertex)

Failtrolol

Ich lerne derzeit für meine QFT-Prüfung und lerne insbesondere die Methoden, die Feynman-Regeln direkt aus dem Lagrangian zu lesen.

Allerdings bin ich mir noch etwas unsicher, wie ich in komplizierten Fällen mit abgeleiteten Termen in der Lagrange-Wechselwirkung umgehen soll.

In diesem Beispiel koppelt die Lagrange-Wechselwirkung ein reales (Pseudo-)Skalarfeld an das Photonenfeld, wobei angenommen wird, dass es die effektive Kopplung darstellt, die durch die Schleife komplexer Skalarteilchen induziert wird.

Die effektive Wechselwirkung Lagrange ist gegeben durch

L_{ich N T, e F F} = - \frac{G_{e F F}}{4} ϕ F^{μ v} F_{μ v}

$\mathcal{L}_{int,eff}=-\frac{g_{eff}}{4}\phi F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ zusätzlich zu QED und Skalarfeld-Lagrange. Der resultierende Scheitelpunkt ist:

Mein allgemeiner Ansatz war nun, den Teil, der Ableitungen enthält, so grundlegend zu zerlegen

F^{μ v} F_{μ v} = (\partial^{μ} A^{v} - \partial^{v} A^{μ}) (\partial_{μ} A_{v} - \partial_{v} A_{μ})

$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=(\partial^\mu\,A^\nu-\partial^\nu\,A^\mu)(\partial_\mu\,A_\nu-\partial_\nu\,A_\mu)$ und das Gehen für die übliche Fourier-Zerlegung zum Ersatz

\partial_{μ} \to ich P_{μ, ich}

$\partial_\mu \rightarrow ip_{\mu,i}$ und multipliziert mit

2!

$2!$ für die Austauschbarkeit der ausgehenden Photonen. Dies ergibt naiverweise die folgenden Terme:

P_{1}^{μ} P_{μ, 1} + P_{1}^{μ} P_{v, 2} + P_{2}^{v} P_{μ, 1} + P_{2}^{v} P_{v, 2} = 2 P_{1} \cdot P_{2} + P_{1}^{μ} P_{v, 2} + P_{2}^{v} P_{μ, 1}

$p_1^\mu p_{\mu,1}+p_1^\mu p_{\nu,2}+p_2^\nu p_{\mu,1}+p_2^\nu p_{\nu,2} = 2p_1\cdot\,p_2 +p_1^\mu p_{\nu,2}+p_2^\nu p_{\mu,1}$

Was nur fast zum gewünschten Ergebnis führt. Ein Hauptproblem besteht darin, dass dies zu einem Index-Durcheinander führt, das kaum vielversprechend aussieht.

Was vermisse ich? Vielleicht kann ich die Ableitung nicht einfach auf das Photonenfeld in ko- und kontravariantem Ausdruck werfen? Extrahieren eines Faktors $g^{\mu\nu}$ hilft nicht, wenn ich keinen algebraischen Fehler gemacht habe.

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Feynman-Regeln aus Wechselwirkung Lagrange mit elektromagnetischem Tensor (Vertex)

MannyC · Answer 1

Durch Neuformung des Lagrange-Scheitels im Fourier-Raum hat man (ignoriert $-g_{eff}/4$ )

- ϕ (P_{3}) (P_{1}^{μ} A^{v} (P_{1}) - P_{1}^{v} A^{μ} (P_{1})) (P_{2 μ} A_{v} (P_{2}) - P_{2 v} A_{μ} (P_{2})),

$-\phi(p_3) \left(p_1^\mu A^\nu(p_1) - p_1^\nu A^\mu(p_1)\right)\left(p_{2\mu} A_\nu(p_2) - p_{2\nu} A_\mu(p_2)\right)\,,$ die durch eine einfache Umbenennung umgestaltet werden können als

- 2 ϕ (P_{3}) P_{1}^{μ} A^{v} (P_{1}) (P_{2 μ} A_{v} (P_{2}) - P_{2 v} A_{μ} (P_{2})) =

$-2\,\phi(p_3) \,p_1^\mu A^\nu(p_1)\left(p_{2\mu} A_\nu(p_2) - p_{2\nu} A_\mu(p_2)\right) =$

= - 2 ϕ (P_{3}) ((P_{1} \cdot P_{2}) A^{v} (P_{1}) A_{v} (P_{2}) - P_{1 μ} P_{2 v} A^{v} (P_{1}) A^{μ} (P_{2}))

$= -2\,\phi(p_3) \,\left((p_1\cdot p_2)\, A^\nu(p_1)A_\nu(p_2) - p_{1\mu} p_{2\nu} \, A^\nu(p_1)A^\mu(p_2)\right)$

= - 2 ϕ (P_{3}) ((P_{1} \cdot P_{2}) G_{ρ σ} A^{σ} (P_{1}) A^{ρ} (P_{2}) - P_{1 ρ} P_{2 σ} A^{σ} (P_{1}) A^{ρ} (P_{2})) .

$= -2\,\phi(p_3) \,\left((p_1\cdot p_2)\, g_{\rho\sigma} A^\sigma(p_1)A^\rho(p_2) - p_{1\rho} p_{2\sigma} \, A^\sigma(p_1)A^\rho(p_2)\right)\,.$ An dieser Stelle nehmen wir einfach die funktionale Ableitung

\frac{(- ich)^{3} δ^{3}}{δ ϕ (P_{3}) δ A^{μ} (P_{2}) δ A^{v} (P_{1})} .

$\frac{(-\mathrm{i})^3\,\delta^3}{\delta\phi(p_3)\,\delta A^\mu(p_2)\,\delta A^\nu(p_1)}\,.$ Jeder Term ist quadratisch in

A

$A$ , erhält einen Faktor zwei, was zu

= - 4 ich ((P_{1} \cdot P_{2}) G_{μ v} - P_{1 μ} P_{2 v}) .

$= -4\mathrm{i}\,\left((p_1\cdot p_2)\, g_{\mu\nu} - p_{1\mu} p_{2\nu} \right)\,.$ Welches ist das gewünschte Ergebnis.

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Failtrolol

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MannyC

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