Der Ein-Schleifen-Beitrag zu einem zeitlich geordneten Produkt erhaltener Ströme

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$$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \langle V^{\mu,a}(x) V^{\nu,b}(0) \rangle = \langle : {\bar \psi}(x) \gamma^\mu M^a \psi(x) : : {\bar \psi}(0) \gamma^\nu M^b \psi(0) : \rangle$$ Mehrere Strukturen dieser Größe können direkt berechnet werden. Lassen Sie uns zunächst die Indexstruktur untersuchen. Erstens aufgrund der Translationsinvarianz, die wir haben $\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \Pi^{\nu\mu,ba}(-x)$.

Das werden wir zunächst zeigen$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) \propto Tr(M^a M^b) = \delta^{ab}$. Um dies zu sehen, lassen Sie uns die Indexstruktur explizit ausschreiben

$$\Pi^{\mu\nu,ab} = \gamma_{ij}^\mu \gamma_{i'j'}^\nu M_{rs}^a M_{r's'}^b \langle : {\bar \psi}_{i,r}(x) \psi_{j,s}(x) : : {\bar \psi}_{i',r'}(0) \psi_{j',s'}(0) : \rangle$$ Die Größe in der Korrelationsfunktion ist proportional zu $\delta_{rs'}\delta_{r's}$, seit ${\bar \psi}$Verträge mit $\psi$. Somit steht die volle Menge proportional zur Verfügung $M^a_{rs} M^b_{r's'} \delta_{rs'} \delta_{r's} = Tr(M^a M^b) = \delta^{ab}$. Somit haben wir $\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = \Pi^{\nu\mu,ab}(-x)$.

Als nächstes hat diese Größe Lorentz-Indizes$\mu\nu$. Die einzigen Lorentz-Mengen im Spiel sind hier$g^{\mu\nu}$Und$x^\mu$,$x^\nu$. Der einzige Tensor, der konstruiert werden kann, ist

$$A(x^2) g^{\mu\nu} + B(x^2) x^\mu x^\nu$$ Als nächstes können wir die Menge unter Skalierung von untersuchen $x$. Daran erinnern, dass in der $d=2$freie Theorie, $\psi$Massendimension hat $\frac{1}{2}$. Also wenn $x^\mu \to \lambda x^\mu \implies \psi \to \lambda^{1/2} \psi$. Also müssen wir haben $$\Pi^{\mu\nu,ab}(\lambda x) = \lambda^{-2} \Pi^{\mu\nu,ab}(\lambda x)$$ Daher, $$A(x^2) \propto \frac{1}{x^2},~~~B(x^2) \propto \frac{1}{x^4}$$ Wenn wir all dies zusammenfügen, finden wir die Struktur $$\Pi^{\mu\nu,ab}(x) = A \delta^{ab} \frac{1}{x^4} \left( x^2 g^{\mu\nu} + B x^\mu x^\nu \right)$$ Endlich können wir reparieren $B$, indem Sie das verlangen, da $V^{\mu,a}$ist ein erhaltener Strom, den wir haben müssen $$\partial_\mu \Pi^{\mu\nu,ab}(x) =0,~~~\text{if}~~~ x \neq 0$$ Eine schnelle Berechnung ergibt $$\partial_\mu \Pi^{\mu\nu,ab}(x) = - A \delta^{ab} \left( B+2 \right) \frac{x^\nu}{(x^2)^2} \implies B = - 2$$ All dies zusammenfügen $$\boxed{ \Pi^{\mu\nu,ab}(x) = A \delta^{ab} \frac{1}{x^4} \left( x^2 g^{\mu\nu} - 2 x^\mu x^\nu \right) }$$ Das ist alles, was wir über diese Größe sagen können, ohne Diagramme explizit zu berechnen. Die Konstante $A$kann nur durch tatsächliche Berechnung der relevanten Feynman-Diagramme bestimmt werden.