Warum kümmern wir uns um Chiralität?

Parität beinhaltet eine Transformation , die das Vorzeichen des Koordinatensystems ändert. Parität ist eine wichtige Idee in der Quantenmechanik, da sich die Wellenfunktionen, die Teilchen darstellen, bei der Transformation des sie beschreibenden Koordinatensystems unterschiedlich verhalten können. Unter der Paritätstransformation:

Die Paritätstransformation ändert ein rechtshändiges Koordinatensystem in ein linkshändiges oder umgekehrt. Zwei Anwendungen der Paritätstransformation stellen das Koordinatensystem in seinen ursprünglichen Zustand zurück.

Es ist eine vernünftige Annahme, dass es der Natur egal sein sollte, ob ihr Koordinatensystem rechts- oder linkshändig ist, aber überraschenderweise stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist. In einem berühmten Experiment von CS Wu wurde die Nichterhaltung der Parität beim Beta-Zerfall demonstriert

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nachfolgende Experimente haben durchweg gezeigt, dass ein Neutrino seinen Eigendrehimpuls (Spin) immer in die entgegengesetzte Richtung seiner Geschwindigkeit zeigt. Es wird daher als linkshändiges Teilchen bezeichnet. Antineutrinos haben ihren Spin parallel zu ihrer Geschwindigkeit und sind daher rechtshändige Teilchen. Deshalb sagen wir, dass das Neutrino eine intrinsische Chiralität hat.

"Chiral" ist ein Adjektiv, das vom altgriechischen Wort für "Hand" (χείρ) stammt.

Als die beobachtete Händigkeit bestimmter Teilchen und Wechselwirkungen mit der Mathematik der Quantenfeldtheorie beschrieben wurde, wurde das Adjektiv "chiral" anstelle von "Händigkeit" gewählt. Die physikalische Einsicht besteht darin, dass es in QFT vorhanden ist, die korrekte Modellierung der Daten durch QFT zu ermöglichen.

Ich werde eine etwas mathematischere Antwort geben. Lassen Sie mich zunächst erläutern, worum es bei Chiralität geht. Quantenfelder wandeln sich in spezifische Darstellungen der Lorentz-Gruppe um. Die irreduziblen Darstellungen sind als die bekannt$(A,B)$Darstellungen und sie werden durch zwei ganze Zahlen oder halbe ganze Zahlen gekennzeichnet$A$Und$B$. Wenn Sie das noch nie erlebt haben, lesen Sie bitte Weinbergs The Quantum Theory of Fields Kapitel 5.

Die Vertretungen$(\frac{1}{2},0)$Und$(0,\frac{1}{2})$sind die Weyl-Darstellungen. Felder, die sich auf diesen Repräsentationen transformieren, haben Spin$\frac{1}{2}$, wodurch sie Fermionen sind, und werden als chirale Fermionen bezeichnet . Die im$(\frac{1}{2},0)$Darstellung heißen linkshändige Weyl-Fermionen und die in der$(0,\frac{1}{2})$Darstellung werden rechtshändige Weyl-Fermionen genannt. Es lässt sich zeigen, dass diese als Bausteine ​​für alle anderen Bereiche genommen werden können, also mathematisch schon recht relevant sind.

Die chiralen Fermionen haben die besondere Eigenschaft, dass sie zwangsläufig masselose Teilchen sind. Der Grund dafür ist, dass zum Aufbau eines Lorentz-invarianten Massenterms in einer Lagrange-Dichte sowohl ein Objekt aus der benötigt wird$(\frac{1}{2},0)$Vertretung und eine andere aus der$(0,\frac{1}{2})$Darstellung. Ein eigenständiges chirales Fermion lässt keinen Massenterm zu !

Andererseits haben die Standard-Dirac-Fermionen, wie sie uns in der QED begegnen, Masse. Das Dirac-Feld transformiert sich in die Darstellung$(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})$und daher kann es als zusammengesetztes Objekt verstanden werden, das aus zwei chiralen Fermionen gebildet wird. Dies ist ein besonderes Beispiel für das, was ich gesagt habe, dass sie Bausteine ​​für alle Repräsentationen sind. Hier ist die$\gamma^5$Die Geschichte kommt herein: Die auf ein Dirac-Feld angewendeten chiralen Projektoren projizieren auf die irreduziblen links- oder rechtshändigen Weyl-Darstellungen.

Nehmen Sie jetzt mehr Kontakt mit dem auf, was wir in der realen Welt finden, und betrachten Sie das Standardmodell. Es ist eine Eichtheorie mit Eichgruppe${\rm SU}_{\rm C}(3)\times {\rm SU}_{\rm L}(2)\times {\rm U}_{\rm Y}(1)$. Diese Theorie ist von Grund auf mit chiralen Fermionen aufgebaut. Betrachten wir zum Beispiel die Leptonen im elektroschwachen Sektor${\rm SU}_{\rm L}(2)\times {\rm U}_{\rm Y}(1)$. Ein solches Lepton wäre das Elektron. Da wir wissen, dass Leptonen in der realen Welt eine Masse haben, ordnen wir jedem Lepton zwei chirale Fermionen zu$\ell_L$Und$\ell_R$. Aber für jedes Lepton haben wir ein zugehöriges Neutrino und das Neutrino im Standardmodell hat keine Masse. Tatsächlich das Neutrino von Lepton$\ell$erhält nur ein einzelnes chirales linkshändiges Fermion$\nu_\ell$.

Jetzt siehst du das wenig${\rm L}$Ich habe aufgeschrieben${\rm SU}(2)$Gruppe? Es soll uns daran erinnern, dass der linkshändige Teil jedes Leptons,$\ell_L$, und das zugehörige Neutrino$\nu_\ell$, erfinde eins${\rm SU}(2)$Wams$L_\ell=\begin{pmatrix}\nu_\ell \\ \ell_L\end{pmatrix}$. Diese Felder werden unter berechnet${\rm SU}(2)$, während der rechtshändige Teil des Leptons,$\ell_R$, ist ein${\rm SU}(2)$Singulett und ist daher unter neutral${\rm SU}(2)$.

In dieser Umgebung würde ein expliziter Massenterm für das Lepton koppeln$\ell_L$Und$\ell_R$und dies wäre mit der Symmetrie, die wir haben, unvereinbar. Letztendlich führt der Higgs-Mechanismus durch die Yukawa-Kopplung des Leptons an das Higgs-Feld zu einem Massenterm in der Phase der gebrochenen Symmetrie. Natürlich hat das Higgs-Feld die richtigen Quantenzahlen, sodass die Kopplung tatsächlich symmetrisch ist. Schließlich ist bei Spontaneous Symmetry Breaking die Lagrange-Funktion symmetrisch und die Symmetrie wird durch das Vakuum gebrochen, was nicht unveränderlich ist.

Natürlich ist es nicht möglich, einen umfassenden Überblick über die Theorie der Elektroschwachen in einer einzigen Antwort zu geben, aber ich hoffe, dass diese kurzen Bemerkungen deutlich machen, dass die Chiralität eine starke Präsenz im Standardmodell hat.

Was das Standardmodell betrifft, gibt es auch den QCD-Sektor${\rm SU}_{\rm C}(3)$des Standardmodells, in dem die chirale Symmetrie eine große Rolle in der Diskussion der Massenerzeugung spielt, wie ich im Kommentar erwähnt habe.

Abschließend möchte ich noch sagen, dass in der Supersymmetrie chirale Fermionen ganz natürlich sind. Es gibt zwei äquivalente Formalismen für SUSY: einen mit chiralen Fermionen, den wir zum Beispiel bei Wess & Bagger finden, und einen mit Majorana-Fermionen. Da sie gleichwertig sind, ist dies letztendlich eine Frage des Geschmacks. Ich persönlich finde den Formalismus mit chiralen Fermionen eleganter und schöner zu manipulieren.

Was die chiralen Projektionen von anderen Projektionen unterscheidet, ist, dass sie unter kontinuierlichen Lorentz-Transformationen invariant sind (mit diesen kommutieren). Daher ist es möglich, eine Theorie zu haben, in der nur eine projizierte "Hälfte" des Spinors existiert, die aber immer noch Lorentz-invariant ist. Das ist interessant. Und die reale Welt stellt sich als so heraus, also ist es auch wichtig.

Um die Projektionen geometrisch zu motivieren, möchte ich mit einem einfacheren Fall beginnen, nämlich der Rotation in 4+0-Dimensionen.

In 4 oder mehr räumlichen Dimensionen ist es möglich, eine gleichzeitige unabhängige (pendelnde) Rotation in zwei senkrechten Ebenen zu haben.

Eine allgemeine Drehung in vier Dimensionen ist eine Drehung um verschiedene Winkel (die Null sein können) in senkrechten Ebenen. Sie können jedoch jede Drehung immer als Zusammensetzung von zwei Drehungen um gleiche Winkel in senkrechten Ebenen schreiben. Eine Drehung um$θ$im$wx$Flugzeug und$φ$im$yz$Ebene ist eine Drehung um$(θ+φ)/2$im$wx$Und$yz$Ebenen zusammengesetzt mit einer Drehung um$(θ-φ)/2$im$wx$Und$zy$Flugzeuge, wo ich die Reihenfolge umgekehrt habe$zy$sodass die Drehung in die entgegengesetzte Richtung erfolgt.

Darüber hinaus können, wie in drei Dimensionen, orthonormale Basen in vier Dimensionen als rechts- oder linkshändig klassifiziert werden, und Sie können gleichwinklige Rotationen als rechts- oder linkshändig klassifizieren, indem Sie die Rotationsebenen "verketten" ($wxyz$oder$wxzy$) bilden einen rechts- oder linkshändigen Koordinatenrahmen. Dann zerfällt jede Drehung nicht nur in zwei gleichwinklige Drehungen, sondern in eine rechtshändige und eine linkshändige gleichwinklige Drehung.

Bei masselosen Feldern in der 3+1-dimensionalen Raumzeit gibt es eine Drehung in der 2D-Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, und es gibt auch eine Drehung in inneren Dimensionen, die den Eichkräften entsprechen.

Im einfachsten Fall$U(1)\cong SO(2)$, gibt es eine interne Rotationsebene. Wenn Sie sie also mit der räumlichen Rotation kombinieren, haben Sie zwei senkrechte Ebenen, und Sie können die Rotation wie zuvor in gleichwinklige Rotationen mit entgegengesetzter Händigkeit zerlegen. Es ist möglich, dass nur einer der beiden existiert. Herkömmlicherweise wird die Innenrotation durch eine komplexe Phase dargestellt; Das ist der Grund, warum es einen Faktor von gibt$i$In$γ^5$. Ohne das interne Eichfeld gibt es keine chirale Zerlegung, aber in 5 + 1-Dimensionen würde es eine geben, da Sie vier räumliche Dimensionen senkrecht zur Ausbreitung hätten.

Diese einfache chirale Eichtheorie ist weitgehend akademisch, da sie nur physikalisch relevant ist$U(1)$Eichtheorie ist QED, die nicht chiral ist.

Die vollständige Eichgruppe des Standardmodells hat eine komplizierte Struktur, kann aber in SO(10) , die Gruppe der Rotationen des 10-dimensionalen Raums, eingebettet werden. (Eigentlich in Spin (10), aber das ist für diese Antwort nicht möglich.) Sie haben daher insgesamt 12 Dimensionen senkrecht zur Ausbreitung und eine Drehung in 6 senkrechten Ebenen, eine externe und 5 interne. Es ist immer noch möglich, die Drehung in rechts- und linkshändige Teile zu zerlegen, obwohl mir die geometrische Interpretation davon in mehr als 4 Dimensionen nicht klar ist. Es ist möglich, dass nur eine Händigkeit existiert, ohne die kontinuierliche Lorentz-Invarianz zu brechen, und das stellt sich in der Realität als wahr heraus.