Grundlegende Darstellung von SU(3)SU(3)SU(3) ist eine komplexe Darstellung

Zunächst einmal haben wir es mit einheitlichen Darstellungen zu tun, so dass die$T^a$s sind immer selbstadjungiert und die Darstellungen haben die Form

$$U(v) = e^{i \sum_{a=1}^Nv^a T_a}$$ mit $v \in \mathbb R^N$. Wenn du das sagst $U$real ist, meinst du nur, dass die Repräsentation aus dem sehr realen , einheitlichen, $n\times n$Matrizen $U$. Auf diese Weise die Bedingung $(T_a)^* = -T_a$entspricht der Realitätsanforderung (im eigentlichen Sinne).

Kommen wir zu Ihrem Fragenpaar.

(1) . Da hast du Recht:

VORSCHLAG . Eine unitäre endlichdimensionale Darstellung ist genau dann komplex (dh sie ist weder reell noch pseudoreell), wenn es mindestens einen selbstadjungierten Generator gibt$T_a$hat einen Eigenwert$\lambda$so dass$-\lambda$ist kein Eigenwert.

NACHWEISEN

Nehme an, dass

$$(T_a)^* = -V T_a V^{-1}\tag{1}$$ für eine unitäre Matrix $V$Und jeder $a=1,2,3,\ldots, N$. Denn das wissen wir auch $T_a$selbstadjungiert ist, gibt es eine orthogonale Basis von Eigenvektoren $u_j^{(a)}\neq 0$, $j=1,\ldots, n$und die Eigenwerte $\lambda_j^{(a)}$sind real. Deswegen: $$T_au_j^{(a)}= \lambda_j^{(a)} u_j^{(a)}\:.$$ Nehmen Sie die komplexe Konjugation und verwenden Sie (1) $$VT_aV^{-1}u_j^{(a)*}= -\lambda_j^{(a)} u_j^{(a)*}$$ so dass $V^{-1}u_j^{(a)*}\neq 0$ist ein Eigenvektor von $T_a$mit Eigenwert $-\lambda_j$. Wir schließen daraus $\lambda$ist genau dann ein Eigenwert $-\lambda$ist (Folglich, wenn die Dimension des Raums ungerade ist, $0$muss zwangsläufig auch ein Eigenwert sein).

Nehmen wir umgekehrt das für die selbstadjungierte Matrix$T^a$seine (reellen) Eigenwerte erfüllen die Nebenbedingung, dass$\lambda$ist genau dann ein Eigenwert$-\lambda$ist. Wie$T^a$selbstadjungiert ist, gibt es eine unitäre Matrix, so dass:

$$T_a = U diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1}$$ Wenn $n$gerade ist, ansonsten gibt es ein weiteres verschwindendes letztes Element auf der Diagonalen. Daher $$T^*_a = U^* diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1*}$$ Beachte das $U^*$ist unitär, wenn $U$ist derart. Lassen Sie uns durch angeben $e_1,e_2, \ldots, e_n$die Orthonormalbasis der Eigenvektoren von $T^a$wobei die Matrix die obige Diagonalform annimmt. Wenn $W$ist die (echte) unitäre Matrix, die tauscht $e_1$mit $e_2$, $e_3$mit $e_4$und so weiter (verlassen $e_n$behoben, wenn $n$ist seltsam), wir haben das $$W diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) W^{-1} = - diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2})$$ und somit $$T^*_a = U^*W^{-1}(- UT_aU^{-1}) WU^{-1*} = -S T_a S^{-1}$$ mit $S= U^*W^{-1}U$, die wegen der Zusammensetzung von einheitlichen Matrizen einheitlich ist.

Wir können schlussfolgern, dass, wie Sie behaupten, ein Weg, um zu zeigen, dass eine Darstellung komplex ist (dh sie ist nicht real), darin besteht, zu zeigen, dass mindestens eine Generatormatrix vorhanden ist$T_a$hat (nicht verschwindende) Eigenwerte, die nicht in Plus-Minus-Paaren vorkommen.

QED

(2) . Angesichts von (1) ist die betrachtete Darstellung offensichtlich komplex, wenn die von Ihnen vorgelegte Liste der Eigenwerte korrekt ist.

Die N-dimensionale fundamentale Darstellung von SU(N) für N größer als zwei ist eine komplexe Darstellung, deren komplexes Konjugat oft als antifundamentale Darstellung bezeichnet wird.

Somit ist die Fundamentaldarstellung von SU(3) eine komplexe Darstellung.

(siehe zum Beispiel: Wiki )