Warum brauchen wir komplexe Darstellungen in Grand Unified Theories?

Die Ladungskonjugation ist extrem schlüpfrig, weil es zwei verschiedene Versionen davon gibt; Es gab viele Fragen auf dieser Seite, die sie durcheinander gebracht haben ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), einige habe ich vor ein paar Jahren gestellt. Insbesondere gibt es in den obigen Kommentaren ein paar Argumente, bei denen genau aus diesem Grund aneinander vorbei geredet wird.

Ich glaube, die aktuelle Antwort fällt in eines der häufigsten Missverständnisse. Ich werde ein möglichst explizites Beispiel geben und versuchen, einen "Rosetta-Stein" für Fragen zu Chiralität, Helizität und zu machen$\hat{C}$. Andere diskrete Symmetrien werden hier angesprochen .

Ein Hypercharge-Beispiel

Betrachten wir der Einfachheit halber die Hyperladung im Standardmodell und betrachten nur das Neutrino, von dem wir annehmen, dass es einen sterilen Partner hat. Für einen gegebenen Impuls gibt es vier Neutrinozustände:

$$|\nu, +\rangle \text{ has positive helicity and hypercharge } Y=0$$ $$|\nu, -\rangle \text{ has negative helicity and hypercharge } Y=-1/2$$ $$|\bar{\nu}, +\rangle \text{ has positive helicity and hypercharge } Y=1/2$$ $$|\bar{\nu}, -\rangle \text{ has negative helicity and hypercharge } Y=0$$

Es gibt zwei Neutrinofelder:

$$\nu_L \text{ is left chiral, has hypercharge } -1/2, \text{annihilates } |\nu, -\rangle \text{ and creates } |\bar{\nu}, + \rangle$$ $$\nu_R \text{ is right chiral, has hypercharge } 0, \text{annihilates } |\nu, +\rangle \text{ and creates } |\bar{\nu}, - \rangle$$ Die Logik hier ist die folgende: Angenommen, ein klassisches Feld transformiert sich unter einer Repräsentation$R$einer internen Symmetriegruppe. Dann wird es bei der Quantisierung Partikel vernichten, die sich unter transformieren$R$und Partikel erzeugen, die sich unter der konjugierten Darstellung transformieren$R^*$.

Die Raum-Zeit-Symmetrien sind komplizierter, weil Teilchen sich unter der Poincare-Gruppe umwandeln und daher Helizität haben, während sich Felder unter der Lorentz-Gruppe umwandeln und daher Chiralität haben. Im Allgemeinen vernichtet ein quantisiertes rechtschirales Feld ein Teilchen mit positiver Helizität. Manchmal werden die beiden Begriffe "rechtschiral" und "positive Helizität" beide als "rechtshändig" bezeichnet, sodass ein rechtshändiges Feld ein rechtshändiges Teilchen vernichtet. Ich werde diese Terminologie vermeiden, um Chiralität und Helizität nicht zu verwechseln.

Zwei Definitionen der Ladungskonjugation

Beachten Sie, dass sich sowohl die Partikelzustände als auch die Felder in Darstellungen von transformieren$U(1)_Y$. Es gibt also zwei unterschiedliche Begriffe der Ladungskonjugation, einen, der auf Teilchen wirkt, und einen, der auf Felder wirkt. Auf Teilchen wirkt ein Ladungskonjugationsoperator$\hat{C}$befriedigend

$$\hat{C} |\nu, \pm \rangle = |\bar{\nu}, \pm \rangle.$$ Dieser Operator hält alle Raumzeit-Quantenzahlen gleich; es ändert weder den Spin noch den Impuls und damit auch nicht die Helizität. Es ist wichtig anzumerken, dass die Teilchenladungskonjugation nicht immer interne Quantenzahlen konjugiert , wie man an diesem einfachen Beispiel sehen kann. Das gilt nur wann$\hat{C}$ist eine Symmetrie der Theorie,$[\hat{C}, \hat{H}] = 0$.

Wenn wir den sterilen Partner nicht hätten, hätten wir außerdem nur die Freiheitsgrade, die durch den geschaffen oder zerstört werden$\nu_L$Feld, und es gäbe keine Möglichkeit der Definition$\hat{C}$im Einklang mit der obigen Definition. Mit anderen Worten, die Teilchenladungskonjugation ist nicht immer definiert , obwohl sie es mit dem sterilen Partner ist.

Es gibt einen anderen Begriff der Ladungskonjugation, der auf klassischen Feldern einfach eine komplexe Konjugation ist,$\nu_L \to \nu_L^*$. Durch die Definition einer konjugierten Darstellung konjugiert diese alle Darstellungen, unter die das Feld transformiert, dh es kippt$Y$zu$-Y$ und dreht die Chiralität um. Dies ist wahr, ob die Theorie ist$\hat{C}$-symmetrisch oder nicht. Der Einfachheit halber definieren wir normalerweise

$$\nu_L^c = C \nu_L^*$$ wo$C$ist eine Matrix, die nur die Komponenten von setzt$\nu_L^*$in die Standardreihenfolge, rein aus Bequemlichkeit. (Manchmal wird diese Matrix auch Ladungskonjugation genannt.)

Das bedeutet in jedem Fall$\nu_L^c$ist rechtschiral und hat eine Hyperladung$1/2$, Also

$$\nu_L^c \text{ is right chiral, has hypercharge } 1/2, \text{annihilates } |\bar{\nu}, +\rangle \text{ and creates } |\nu, - \rangle.$$ Die Bedeutung dieses Ergebnisses liegt darin, dass die Ladungskonjugation von Feldern keine zusätzlichen Teilchen ergibt . Es tauscht nur das aus, was das Feld erzeugt und was es vernichtet. Aus diesem Grund kann beispielsweise eine Majorana-Teilchentheorie eine Lagrange-Funktion haben, die in Bezug auf links-chirale Felder oder in Bezug auf rechts-chirale Felder geschrieben ist. Beide ergeben die gleichen Teilchen; es ist nur eine triviale Änderung der Notation.

(Der Vollständigkeit halber bemerken wir, dass es auch eine dritte mögliche Definition der Ladungskonjugation gibt: Sie könnten die Teilchenladungskonjugation oben modifizieren und die zusätzliche Forderung auferlegen, dass alle internen Quantenzahlen umgedreht werden. Tatsächlich beginnen viele Kurse zur Quantenfeldtheorie mit einer Definition wie Dies. Aber diese strenge Definition der Teilchenladungskonjugation bedeutet, dass sie nicht einmal mit einem sterilen Neutrino definiert werden kann , was bedeutet, dass der Rest der folgenden Diskussion strittig ist. Dies ist ein häufiges Problem mit Symmetrien: Oft können die intuitiven Eigenschaften, die Sie wollen, einfach nicht gleichzeitig zufrieden sein. Sie haben die Wahl, entweder einfach die Definition der Symmetrie aufzugeben oder einige der Eigenschaften aufzugeben.)

Widersprüche zwischen den Definitionen

Die vorhandene Antwort hat diese beiden Begriffe der Ladungskonjugation verwechselt, da davon ausgegangen wird, dass die Ladungskonjugation neue Teilchen ergibt (gilt nur für die Teilchenladungskonjugation), während alle Quantenzahlen umgekehrt werden (gilt nur für die Feldladungskonjugation). Wenn Sie konsequent das eine oder andere verwenden, funktioniert das Argument nicht.

Ein verwirrender Punkt ist, dass das Teilchen$\hat{C}$Operator ordnet einfach Teilchen Antiteilchen zu. Wenn Sie denken, dass Antimaterie dadurch definiert ist, dass sie die entgegengesetzten (internen) Quantenzahlen zu Materie hat, dann$\hat{C}$muss diese Quantenzahlen umkehren. Diese naive Definition funktioniert jedoch nur für$\hat{C}$-symmetrische Theorien, und wir haben es ausdrücklich mit Theorien zu tun, die es nicht sind$\hat{C}$-symmetrisch.

Eine Möglichkeit, über den Unterschied nachzudenken, besteht darin, dass allein in Bezug auf den Darstellungsinhalt und für a$\hat{C}$-symmetrische Theorie ist die Teilchenladungskonjugation dieselbe wie die Feldladungskonjugation, gefolgt von einer Paritätstransformation . Dies führt zu vielen Streitigkeiten, bei denen die Leute sagen: „Nein, dein$\hat{C}$enthält eine zusätzliche Paritätstransformation!"

Beachten Sie der Vollständigkeit halber, dass man diese beiden Begriffe der Ladungskonjugation in der ersten Quantisierung definieren kann, wobei wir uns das Feld als Wellenfunktion für ein einzelnes Teilchen vorstellen. Dies verursacht viel Verwirrung, weil es die Leute dazu bringt, Teilchen- und Feldbegriffe zu verwechseln, wenn sie konzeptionell stark getrennt werden sollten. Es gibt auch ein verwirrendes Vorzeichenproblem, da einige dieser zuerst quantisierten Lösungen Löchern in der zweiten Quantisierung entsprechen und die meisten Quantenzahlen umkehren (siehe meine Antwort hier für weitere Details). Im Allgemeinen denke ich, dass man überhaupt nicht von der „Chiralität eines Teilchens“ oder der „Helizität eines Felds“ sprechen sollte; das erste quantisierte Bild ist schlimmer als unbrauchbar.

Warum zwei Definitionen?

Nun könnte man sich fragen, warum wir zwei verschiedene Begriffe der Ladungskonjugation wollen. Ladungskonjugation an Teilchen verwandelt nur Teilchen in Antiteilchen. Das ist vernünftig, weil wir nicht ändern wollen, was in der Raumzeit vor sich geht; Wir wandeln einfach Teilchen in Antiteilchen um, während wir sie auf die gleiche Weise bewegen.

Andererseits konjugiert die Ladungskonjugation auf Feldern alle Darstellungen, einschließlich der Lorentz-Darstellung. Warum ist das nützlich? Wenn wir mit Feldern arbeiten, wollen wir normalerweise einen Lagrange schreiben, und Lagrange müssen Skalare unter Lorentz-Transformationen sein,$U(1)_Y$Transformationen und absolut alles andere. Daher ist es sinnvoll, alles zu konjugieren, weil wir zB das sicher wissen$\nu_L^c \nu_L$könnte ein akzeptabler Lagrange-Term sein, solange wir alle impliziten Indizes entsprechend kontrahieren. Dies ist natürlich der Majorana-Massenbegriff.

Beantwortung der Frage

Lassen Sie mich nun die eigentliche Frage beantworten. Nach dem Coleman-Mandula-Theorem sind interne und raumzeitliche Symmetrien unabhängig. Insbesondere, wenn wir beispielsweise über eine Reihe von Feldern sprechen, die sich als a transformieren$10$in dem$SU(5)$GUT, diese Felder müssen alle die gleichen Lorentz-Transformationseigenschaften haben. Daher ist es üblich, alle Materiefelder als linkschirale Weyl-Spinoren zu schreiben. Wie oben erwähnt, ändert dies nichts an den Partikeln, es ist nur eine nützliche Möglichkeit, die Felder zu organisieren.

Daher sollten wir unser GUT mit Feldern wie erstellen$\nu_L$und$\nu_R^c$wo

$$\nu_R^c \text{ is left chiral, has hypercharge } 0.$$ Wie hätte es ausgesehen, wenn unsere Theorie nicht chiral wäre? Dann$|\nu, + \rangle$sollte die gleiche Überladung haben wie$|\nu, -\rangle$, was das impliziert$\nu_R$sollte überladung haben$-1/2$wie$\nu_L$. Dann wären unsere Zutaten $$\nu_L \text{ has hypercharge } -1/2, \quad \nu_R^c \text{ has hypercharge } 1/2.$$ Beachten Sie insbesondere, dass die Hyperladungen in einem entgegengesetzten Paar auftreten.

Nehmen wir nun an, dass unsere Materiefelder eine reale Repräsentation bilden$R$der GUT Spurweite Gruppe$G$. Es findet eine spontane Symmetriebrechung statt, wodurch die Eichgruppe auf die des Standardmodells reduziert wird$G'$. Daher die Darstellung$R$zersetzt,

$$R = R_1 \oplus R_2 \oplus \ldots$$ bei dem die$R_i$sind Darstellungen von$G'$. Seit$R$ist echt, wenn$R_i$in der Zersetzung vorhanden ist, dann sein Konjugat$R_i^*$muss auch vorhanden sein. Das ist der entscheidende Schritt.

Insbesondere für jedes linkschirale Feld mit Hyperladung$Y$, gibt es ein weiteres linkschirales Feld mit Hyperladung$-Y$, was einem rechtschiralen Feld mit Hyperladung entspricht$Y$. So kommen links-chirale und rechts-chirale Felder paarweise, mit exakt gleichen Transformationen unter$G'$. Entsprechend hat jedes Teilchen einen Partner mit entgegengesetzter Helizität mit der gleichen Transformation unter$G'$. Das meinen wir, wenn wir sagen, dass die Theorie nicht chiral ist.

Um dies zu beheben, können wir die Hypothese aufstellen, dass alle unerwünschten "Spiegel-Fermionen" sehr schwer sind. Wie in der anderen Antwort angegeben, gibt es keinen Grund dafür. Wenn dem so wäre, stoßen wir wie beim Higgs auf ein Natürlichkeitsproblem: Da es nichts gibt, was Fermionen von Spiegel-Fermionen unterscheidet, gibt es vom Standpunkt der Symmetrien nichts, was die Materie daran hindert, dieselbe riesige Masse anzunehmen. Dies wird als sehr starker Beweis gegen solche Theorien angesehen; einige sagen, dass aus diesem Grund Theorien mit Spiegelfermionen völlig ausgeschlossen sind. Zum Beispiel die$E_8$Die in der Presse stark geförderte Theorie hat genau dieses Problem; die Theorie kann nicht chiral sein.

Dies kann erklärt werden, indem man über die Kopplung von Fermionen an die nachdenkt$SU(2)$schwaches Eichfeld. Fassen wir zusammen, was wir wissen

1. Weyl-Fermionen treten notwendigerweise in zwei komplexen Darstellungen der Lorentz-Gruppe auf$L$und$R$.
2. Nur Fermionen in der$L$Vertretung des Lorentz-Gruppenpaares an die$SU(2)$Messfeld.
3. CPT ist eine Symmetrie der Theorie.

Lassen Sie uns nun den Ladungskonjugationsoperator einführen $C$. Betrachten Sie ein linkshändiges Fermionenfeld, das in der Fundamentaldarstellung lebt$R$einer Messgerätegruppe$G$. Dann erzeugt der Ladungskonjugationsoperator ein linkshändiges Anti-Fermion-Feld in der komplex konjugierten Darstellung$\bar{R}$. Wenn$R$ist dann eine echte Darstellung$R=\bar{R}$.

Warum ist das schlimm? Nun, wenn das linkshändige Anti-Fermion in der gleichen Darstellung lebt wie das linkshändige Fermion, dann kann es auf die gleiche Weise an das Eichfeld koppeln. In der Tat muss es nach der Logik der effektiven Feldtheorie funktionieren, es sei denn, Sie erfinden einen komplizierten neuen Mechanismus, der dies verhindert!

Unter Verwendung der CPT-Symmetrie können wir nun unser linkshändiges Anti-Fermion äquivalent als rechtshändiges Fermion betrachten. Aber das bedeutet, dass Sie eine rechtshändige Fermion-Kopplung zum Eichfeld haben, genauso wie Ihre linkshändige ursprünglich. Mit anderen Worten, Ihre Theorie ist nicht chiral.

Gibt es Schlupflöcher? Nun, man könnte die Hypothese aufstellen, dass die rechtshändigen Fermionen, die an das schwache Feld koppeln, einfach noch nicht beobachtet wurden! Das ist die Idee der Spiegelmaterie . Es ist eine notwendige Vorhersage jeder Theorie, die eine Lie-Algebra verwendet, die keine komplexen Darstellungen hat, wie z$E_8$.

Abschließend denke ich, dass Witten die klarste Erklärung hat, aber sie ist ein wenig knapp! Ich stimme zu, dass einige der obigen Argumente vage sind (wie auch diese Antwort ursprünglich). Stellen Sie bitte weiterhin Fragen in den Kommentaren und hoffentlich können wir eine wirklich zugängliche Erklärung verfeinern!

Der Versuch, eine kurzatmige Antwort zu geben: Das Standardmodell ist chiral, und wir definieren den chiralen Projektionsoperator als

$$P_{RL} = \frac{1}{2}(1 \pm \gamma^5),$$ was beinhaltet$\gamma^5$ausgedrückt als $$\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3.$$ Die imaginäre Zahl$i$in der obigen Definition ist entscheidend für die Einhaltung$\gamma^5$hermitesch $$(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5.$$ Da das Standardmodell chiral ist, ist das unverzichtbar$i$in der Definition der chiralen Projektion$P_{RL}$obliegt es uns, eine komplexe Darstellung zu wählen.

Davon abgesehen ist eine reale Darstellung nicht streng verboten, wenn Sie innovativ genug sind, um einen echten chiralen Projektionsoperator und real zu finden$\gamma^\mu$Darstellung.