Das Vakuum finden, das eine Symmetrie bricht

Ich beginne mit einem Beispiel. Betrachten Sie ein symmetriebrechendes Muster wie S U ( 4 ) → S p ( 4 ) . Das wissen wir im S U ( 4 ) Es gibt die Symmetrie des Standardmodells (SM). S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y aber je nachdem, welches Vakuum wir verwenden, um diese Symmetrie zu brechen, können Sie in einem Fall die SM-Symmetrie mit dem Vakuum vollständig brechen:

Σ 1 = ( 0 ich 2 − ich 2 0 )
und in einem anderen Fall wird diese Symmetrie mit dem Vakuum bewahrt
Σ 2 = ( ich σ 2 0 0 ich σ 2 )
Im ersten Fall (mit Σ 1 ), sind die der SM-Symmetrie entsprechenden Generatoren Teil der gebrochenen Generatoren, sodass die SM-Symmetrie vollständig gebrochen ist. Im zweiten Fall ( Σ 2 ) sind die SM-Generatoren Teil der ununterbrochenen Generatoren, dann bleibt die SM-Symmetrie erhalten. Wie Sie lesen können, kenne ich die Antworten, aber nicht, wie ich sie finden kann!

Also, meine Fragen sind:

  1. Wie ist es überhaupt möglich (nicht nur für die S U ( 4 ) → S p ( 4 ) brechendes Muster), um das Vakuum zu konstruieren, das die Symmetrie bricht?

  2. Ist es möglich, beim Aufbau des Vakuums sicherzustellen, dass das Vakuum eine Subsymmetrie wie die SM-Symmetrie im vorherigen Beispiel bricht (oder nicht)?

Es ist eine interessante Frage. Vielleicht suchen Sie den allgemeinsten Tensor, der unter der Untergruppe unveränderlich ist . Das S p Gruppen bewahren genau Ihre Σ 1 und kein anderer (Lin. Indep.) Tensor.
Sie sind richtig für den Fall, in dem Sie die SM-Symmetrie bewahren möchten, aber nicht, wenn Sie diese Symmetrie brechen möchten ...
Was ich meine ist, dass, wenn Sie brechen wollen G zu seiner Untergruppe H , alle VEVs sollten invariante Tensoren unter sein H . ZB wenn wir brechen S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y zu U ( 1 ) EM , der Higgs-VEV ist ein S U ( 2 ) L × U ( 1 ) Y Tensorinvariante unter U ( 1 ) EM (dh es ist elektrisch neutral). Ich habe keine Anwendungen gesehen, bei denen es wichtig war, das Vakuum zu bestimmen, nur welche Symmetrien dadurch erhalten wurden.
Wenn ein Vakuum die Symmetrie nicht bricht, muss der ununterbrochene Generator das Vakuum vernichten. Das Problem kann also übersetzt werden, um Null-Eigenvektoren der ununterbrochenen Generatoren zu finden, die keine Null-Eigenvektoren der unterbrochenen Generatoren sind. Ich frage mich, ob es an dieser Stelle ein darstellungstheoretisches Argument gibt.
Vielleicht ist es ein wenig über meinem Kopf, aber das Potenzial, das Sie wählen, entscheidet, wie die Symmetrie gebrochen wird. Fragst du dich, wie du dein Potenzial auswählst?

Antworten (2)

  1. Wie Ihr QFT-Theorietext Ihnen sagen sollte, wird für eine Aktionsinvariante unter G die Hinzufügung einer Higgs-Potential - Only - Invariante unter ihrer Untergruppe H spontan die Generatoren in G/H brechen . Sie sollten gebührende Sorgfalt walten lassen und alle Beispiele elementarer Klassiker wie Ling-Fong Li, PhysRev D9 (1974) 1723 studieren, verstehen und reproduzieren . Es gibt natürlich viel zu viele solcher Abhandlungen in der stöhnenden Literatur!

  2. Normalerweise ist es möglich, aber dies ist eine Frage, die von den besonderen Umständen von G und H abhängt . Wenn Sie ehrgeizig sind, könnten Sie die Tabellen von Slanskys Übersichtsartikel von 1981 durchgehen , um sich zu vergewissern. Für Ihr spezielles Beispiel oben lautet die Antwort "Ja". SU(4) hat 15 Generatoren, Sp(4) hat 10 und der SM hat nur 4. Bewahren Sie Ihre symplektische Metrik Σ 1 behält Sp(4) bei, aber Sie können überprüfen, indem Sie die Generatoren aufschreiben, dass die Alternative dies nicht tut; dennoch können Sie umschreiben Σ 2 = 1 1 ⊗ ich σ 2 mit der 2x2 Identitätsmatrix auf der linken Seite, wobei natürlich SU(2) erhalten bleibt ; und die rechte Gruppe erhält sich trivialerweise selbst, zumindest ein U ( 1) !

So wie ich die Frage verstehe, lautet sie: Was sind die möglichen ungebrochenen Untergruppen, wenn eine Symmetriegruppe G spontan gebrochen wird? Wenn wir davon ausgehen, dass die Lorentz-Invarianz ungebrochen ist, dann können wir uns die möglichen Vakuum-Erwartungswerte eines Skalarfeldes ansehen, das sich unter irgendeiner Darstellung R der Symmetriegruppe G transformiert. Dies kann wie in den Beispielen bereits für bestimmte G und R berechnet werden aufgeführt, aber es gibt nur wenige allgemeine Ergebnisse.

Ein Skalarfeld, das sich wie ein Vektor unter SU(n) [oder SO(n)] transformiert, kann diese Symmetrien auf SU(n-1) herunterbrechen. ⊗ U(1) [oder SO(n-1)], da die Gruppentransformationen im Unterraum orthogonal zur Richtung des VEV das Vakuum invariant lassen. Es gibt viele weitere Beispiele in der Literatur.

Das Vakuum finden, das eine Symmetrie bricht
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