Ladungskonjugation von Weyl-Spinoren

Ich habe Schwierigkeiten, zwei mir bekannte Tatsachen in Einklang zu bringen: die Tatsache, dass sich die konjugierte Ladung eines Spinors in dieselbe Darstellung wie der ursprüngliche Spinor umwandelt, und die Tatsache, dass (in bestimmten Dimensionen, insbesondere in$D=4$), ist das Ladungskonjugat eines linkshändigen Spinors rechtshändig und umgekehrt.

Um klar zu sein, führe ich die relevante Notation und Terminologie ein. Lassen$\gamma _\mu$Erfüllen Sie die Clifford-Algebra:

$$\{ \gamma _\mu ,\gamma _\nu \} =2\eta _{\mu \nu},$$ lassen $C$sei die Ladungskonjugationsmatrix , ein unitärer Operator, der durch definiert ist $$C\gamma _\mu C^{-1}=-(\gamma _\mu )^T.$$ Das kann man zeigen (siehe z. B. Wests Introduction to Strings and Branes , Abschnitt 5.2). $C^T=-\epsilon C$für $$\epsilon =\begin{cases}1 & \text{if }D\equiv 2,4\, (\mathrm{mod}\; 8) \\ -1 & \text{if }D\equiv 0,6\, (\mathrm{mod}\; 8)\end{cases}.$$ Definieren $B:=-\epsilon \mathrm{i}\, C\gamma _0$. Dann die konjugierte Ladung eines Spinors $\psi$und ein Bediener $M$auf Spinor Raum sind definiert durch $$\psi ^c:=B^{-1}\overline{\psi}\text{ and }M^c:=B^{-1}\overline{M}B,$$ wobei der Balken einfach komplexe Konjugation bezeichnet. Wir definieren $$\gamma :=\mathrm{i}^{-\left( D(D-1)/2+1\right)}\, \gamma _0\cdots \gamma _{D-1},$$ Und $$P_L:=\frac{1}{2}(1+\gamma )\text{ and }P_R:=\frac{1}{2}(1-\gamma ).$$ Das sagen wir dann $\psi$ist linkshändig, wenn $P_L\psi =\psi$(ähnlich für Rechtshänder). Schließlich das Transformationsgesetz für einen Spinor $\psi$wird von gegeben $$\delta \psi =-\frac{1}{4}\lambda ^{\mu \nu}\gamma _{\mu \nu}\psi.\qquad\qquad(1)$$

Jetzt, wo das aus dem Weg ist, glaube ich, zwei Dinge zeigen zu können:

$$\delta \psi ^c=-\frac{1}{4}\lambda ^{\mu \nu}\gamma _{\mu \nu}\psi ^c \qquad\qquad(2)$$ Und $$(P_L\psi )^c=P_R\psi ^c\text{ (for }D\equiv 0,4\, (\mathrm{mod}\; 8)\text{)}.\qquad\qquad(3)$$ Das sagt der erste $\psi ^c$transformiert sich auf die gleiche Weise wie $\psi$und die zweite impliziert, dass, wenn $\psi$ist also Linkshänder $\psi ^c$ist rechtshändig (in diesen geeigneten Dimensionen).

Ich habe Probleme, diese beiden Tatsachen in Einklang zu bringen. Ich hatte den Eindruck, dass wir, wenn wir sagen, ein Fermion ist linkshändig, meinen, dass es sich unter der (1/2,0) -Darstellung von transformiert$SL(2,\mathbb{C})$(Offensichtlich beschränke ich mich jetzt nur auf$D=4$). Seine Ladungskonjugation, die rechtshändig ist, würde sich dann unter transformieren$(0,1/2)$Darstellung, die der ersten Tatsache widerspricht. Die einzige Möglichkeit, wie ich damit klarzukommen scheine, besteht darin, dass die beiden Begriffe der Händigkeit zwar verwandt, aber nicht gleich sind. Das heißt, bei einem gegebenen Fermion, das sich nach unten transformiert$(1/2,0)$und befriedigt$P_L\psi =\psi$, Dann$\psi ^c$verwandelt sich als$(1/2,0)$und befriedigen$P_R\psi =\psi$. Das heißt, die Händigkeit bestimmt im Sinne von$P_L$Und$P_R$ist unabhängig von der Händigkeit, die durch die Darstellung bestimmt wird, in der das Weyl-Fermion lebt.

Könnte mir das bitte jemand erklären?