Wie konstruiert man die Ladungskonjugationsmatrix für eine gegebene Raumzeitdimension?

Question

Wie konstruiert man die Ladungskonjugationsmatrix für eine gegebene Raumzeitdimension?

Physik
Spinoren
Dirac-Gleichung
Clifford-Algebra
Ladungskonjugation
Raumzeit-Dimensionen

Osiris Xu

Im Allgemeinen könnten Gamma-Matrizen basierend auf der Clifford-Algebra konstruiert werden.

γ^{ich} γ^{J} + γ^{J} γ^{ich} = 2 H^{ich J},

$\begin{equation} \gamma^{i}\gamma^{j}+\gamma^{j}\gamma^{i}=2h^{ij}, \end{equation}$

Meine Frage ist, wie man die Ladungskonjugationsmatrix im Allgemeinen konstruiert, um einen Spinorindex in der Gammamatrix zu erhöhen.

Betrachten Sie in geraden Dimensionen (D=2m) die komplexe Grassmann-Algebra $\Lambda_{m}[\alpha^{1},...,\alpha^{m}]$ mit Generatoren $\alpha^{1},...,\alpha^{m}.$ ) Wir definieren nämlich $\widehat{\alpha }^{i}$ Und $\widehat{\beta}_{i}$ als Multiplikations- und Differenzierungsoperatoren:

{\hat{a}}^{ich} ψ = a^{ich} ψ,

$\begin{equation} \widehat{\alpha}^{i}\psi=\alpha^{i}\psi, \end{equation}$

{\hat{β}}_{ich} ψ = \frac{\partial}{\partial a^{ich}} ψ .

$\begin{equation} \widehat{\beta}_{i}\psi=\frac{\partial}{\partial\alpha^{i}}\psi. \end{equation}$

Nach der Grassmann-Algebra haben wir

{\hat{a}}^{ich} {\hat{a}}^{J} + {\hat{a}}^{J} {\hat{a}}^{ich} = 0,

$\begin{equation} \widehat{\alpha}^{i}\widehat{\alpha}^{j}+\widehat{\alpha}^{j}\widehat{\alpha }^{i}=0, \end{equation}$

{\hat{β}}_{ich} {\hat{β}}_{J} + {\hat{β}}_{J} {\hat{β}}_{ich} = 0

$\begin{equation} \widehat{\beta}_{i}\widehat{\beta}_{j}+\widehat{\beta}_{j}\widehat{\beta}% _{i}=0 \end{equation}$

{\hat{a}}^{ich} {\hat{β}}_{J} + {\hat{β}}_{J} {\hat{a}}^{ich} = δ_{J}^{ich} .

$\begin{equation} \widehat{\alpha}^{i}\widehat{\beta}_{j}+\widehat{\beta}_{j}\widehat{\alpha }^{i}=\delta_{j}^{i}. \end{equation}$ Das bedeutet, dass

{\hat{α}}^{1}, . . ., {\hat{α}}^{m}, {\hat{β}}_{1}, . . ., {\hat{β}}_{m}

$\widehat{\alpha}^{1},...,\widehat{\alpha}^{m},\widehat{\beta }_{1},...,\widehat{\beta}_{m}$ Geben Sie eine Darstellung der Clifford-Algebra für eine Auswahl von an

h

$h$ (nämlich z

h

$h$ entspricht der quadratischen Form

\frac{1}{2} (x^{1} x^{m + 1} + x^{2} x^{m + 2} + . . . + x^{m} x^{2 m})

$\frac{1}{2}(x^{1}x^{m+1}+x^{2}x^{m+2}+...+x^{m}x^{2m})$ ). Daraus folgt, dass Betreiber

Γ^{J} = {\hat{a}}^{J} + {\hat{β}}_{J}, 1 \leq J \leq M,

$\begin{equation} \Gamma^{j}=\widehat{\alpha}^{j}+\widehat{\beta}_{j},1\leq j\leq m, \end{equation}$

Γ^{J} = {\hat{a}}^{J - M} - {\hat{β}}_{J - M}, M < J \leq 2 M,

$\begin{equation} \Gamma^{j}=\widehat{\alpha}^{j-m}-\widehat{\beta}_{j-m},m<j\leq2m, \end{equation}$ bestimmen Sie eine Darstellung von

C l (m, m, C)

$Cl(m,m,\mathbb{C})$ .

Zum Beispiel im $D=4$ , können wir erhalten

Γ^{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

$\Gamma^{1}=\begin{pmatrix}0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ \end{pmatrix}$ ,

Γ^{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

$\Gamma^{2}=\begin{pmatrix}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& {-1}& 0\\ 0& {-1}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}$ ,

Γ^{3} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix})

$\Gamma^{3}=\begin{pmatrix}0& {-1}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& {-1}& 0\\ \end{pmatrix}$ ,

Γ^{4} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$\Gamma^{4}=\begin{pmatrix}0& 0& 0& {-1}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& {-1}& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ \end{pmatrix}.$

Meine Frage ist, wie man allgemein die Ladungskonjugationsmatrix C konstruiert, damit wir sie haben könnten

C Γ C^{- 1} = \pm Γ^{T}

$C\Gamma C^{-1}=\pm\Gamma^T$

user77990

Vorlesungsunterlagen Supersymmetrie Sommersemester 2010 von Maximilian Kreuzer hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/inc/susy.pdf Hier, auf Seite 8 gibt es eine allgemeine Antwort auf Ihre Frage. Vielen Dank, dass Sie diese interessante Darstellung in Bezug auf Grassmann-Bediener geteilt haben!

Antworten (2)

Wie konstruiert man die Ladungskonjugationsmatrix für eine gegebene Raumzeitdimension?

Vorlesungsunterlagen Supersymmetrie Sommersemester 2010 von Maximilian Kreuzer hep.itp.tuwien.ac.at/~kreuzer/inc/susy.pdf Hier, auf Seite 8 gibt es eine allgemeine Antwort auf Ihre Frage. Vielen Dank, dass Sie diese interessante Darstellung in Bezug auf Grassmann-Bediener geteilt haben!

David Bar Mosche · Answer 1

David Bar Mosche

Explizite Ausdrücke für die euklidische Signatur finden sich in den folgenden Vorlesungsnotizen von Hitoshi Murayama (Abschnitt 1.3). Die Ausdrücke sind in der Pauli-Matrix-Tensorproduktbasis angegeben.

Osiris Xu

Danke schön. Aber sie verwendeten eine andere Methode, um die Gammamatrizen zu konstruieren. Irgendeine Idee, wie man die Ladungskonjugationsmatrix für die in meinem ursprünglichen Beitrag angegebenen Gammamatrizen konstruiert?

David Bar Mosche

Ich kann Ihnen zeigen, wie Sie in diesem speziellen Fall konstruieren, aber können Sie bitte Ihre Berechnungen in Ihren Ausdrücken überprüfen

(Γ^{1})^{2} = (Γ^{2})^{2} = 1

$(\Gamma^1)^2=(\Gamma^2)^2=1$ während

(Γ^{3})^{2} = (Γ^{4})^{2} = - 1

$(\Gamma^3)^2=(\Gamma^4)^2=-1$ , dh Sie arbeiten in einer Signatur

(1, 1, - 1, - 1)

$(1, 1, -1, -1)$ . Ist dies wirklich der Fall, den Sie brauchen.

Osiris Xu

Lieber David Ja, ich arbeite mit den allgemeinen Signaturen von (1..1, -1..-1), wo es m +1 und m -1 für die 2m-dimensionale Raumzeit gibt.

Nogueira · Answer 2

Die Ladungskonjugationsmatrix hängt von der Wahl der Basis ab, auf der Sie die Dirac-Matrix darstellen. Dies ist so, weil Sie zufrieden stellen möchten:

C Γ^{M} C^{- 1} = \pm (Γ^{M})^{T}

$C\Gamma^{m}C^{-1}=\pm(\Gamma^{m})^{T}$

Zwei Ladungskonjugationsmatrizen mit unterschiedlicher Wahl der Basis werden miteinander in Beziehung gesetzt

C \to U^{T} C U

$C\rightarrow U^{T}CU$

wo die Dirac-Matrizen unterschiedlicher Basis verwandt werden

Γ^{M} \to U Γ^{M} U^{- 1}

$\Gamma^{m}\rightarrow U\Gamma^{m} U^{-1}$

Jetzt müssen Sie eine Basis festlegen und die Ladungskonjugationsmatrix für diese Basis finden.

Es gibt eine sehr bequeme Basis, die man erhält, indem man die Darstellungen von aufspaltet $SO(2n)$ hinein $U(n)$ . Dies erhält man, indem man die Gammamatrizen wie folgt gruppiert:

Γ_{A} = \frac{1}{2} (Γ^{A} + ich Γ^{A + N})

$\Gamma_{a}=\frac{1}{2}\left(\Gamma^{a}+i\Gamma^{a+n}\right)$

Γ_{\bar{A}} = \frac{1}{2} (Γ^{A} - ich Γ^{A + N})

$\Gamma_{\bar{a}}=\frac{1}{2}\left(\Gamma^{a}-i\Gamma^{a+n}\right)$

Beachten Sie, dass dieser neue Index $a$ beschriftet die grundlegenden Darstellungen der $U(n)$ Untergruppe von $SO(2n)$ , während $\bar{a}$ bezeichnet die antifundamentale Repräsentation. Antifundamentales erheben $U(n)$ Index durch die $U(n)$ Metrik haben wir die folgende Algebra:

{Γ_{A}, Γ_{B}} = 0, {Γ^{A}, Γ^{B}} = 0, {Γ_{A}, Γ^{B}} = δ_{A}^{B}

$\{\Gamma_{a},\Gamma_{b}\}=0,\,\,\,\,\,\,\{\Gamma^{a},\Gamma^{b}\}=0,\,\,\,\,\,\,\{\Gamma_{a},\Gamma^{b}\}=\delta_{a}^{b}$

Dies ist die bekannte Algebra eines fermionischen Quantenoszillators. Eine Repräsentation wird aufgebaut, indem ein Grundzustand festgelegt wird, der durch alle vernichtet wird $\Gamma^{a}=\Gamma_{\bar{a}}$ Vernichtungsoperatoren, und andere Zustände können dann erhalten werden, indem dieser Grundzustand mit den Erhöhungsoperatoren angeregt wird $\Gamma_{a}$ .

Beispiel für $d=10$ , wir haben $n=5$ , dann haben wir den Grundzustand

| 0 ⟩ = | - - - - - ⟩

$|0\rangle=|-----\rangle$

das wird von allen vernichtet $\Gamma^{a}$ , und zum Beispiel:

Γ^{3} | - - - - - ⟩ = | - - + - - ⟩

$\Gamma^{3}|-----\rangle=|--+--\rangle$

Die Ladungskonjugationsmatrix $C$ wird derjenige sein, der alle konjugiert $U(1)$ Gebühren, und dann die fundamentalen Darstellungen auf die antifundamentalen umstellen und umgekehrt:

C | - - - - - ⟩ = | + + + + + ⟩

$C|-----\rangle=|+++++\rangle$

während $C\Gamma_{a}=\pm\Gamma^{a}C$ Und $C\Gamma^{a}=\pm\Gamma_{a}C$ . Explizit kann diese Matrix geschrieben werden als

C = (Γ) Γ^{A + 1} . . . Γ^{A + N}

$C=(\Gamma)\Gamma^{a+1}...\Gamma^{a+n}$

Wo sind nun diese Indizes die $m$ Art Index, der $SO(2n)$ Index. Der $\Gamma$ innerhalb der Klammern ist optional, und es ist festgelegt, wenn wir die Vorzeichen von festgelegt haben $C\Gamma_{a}=\pm\Gamma^{a}C$ Und $C\Gamma^{a}=\pm\Gamma_{a}C$

In dieser Notation wird die Chiralität einfach durch die Anzahl von definiert $+$ Zeichen. Wenn es gerade ist, heißt es Weyl oder Chiral, wenn es ungerade ist, heißt es Anti-Weyl oder Anti-Chiral. Dann sehen Sie, dass die Ladungskonjugationsmatrix je nach Dimension die Chiralität umschalten kann oder nicht. Genauer gesagt, wenn $n$ gerade ist, wird die Chiralität durch die Ladungskonjugationsmatrix bewahrt, während sie bei ungeradem Wert die Chiralität umschaltet.

Es gibt vielleicht einige Anzeichen, die mir hier fehlen, aber die Idee ist folgende.

Wie konstruiert man die Ladungskonjugationsmatrix für eine gegebene Raumzeitdimension?

Osiris Xu

user77990

Antworten (2)

David Bar Mosche

Osiris Xu

David Bar Mosche

Osiris Xu

Nogueira

Geometrische Interpretation der Dirac-Gleichung

Dirac-Gleichung in 1+1D-Raumzeit im Vergleich zur „Standard“-3+1D-Dirac-Gleichung

Dimension von Dirac-γγ\gamma-Matrizen

Dirac-Sea-Interpretation VS der Feynman-Stueckelberg-Interpretation für Antiteilchen

Eine allgemeinere Vollständigkeitsrelation für Dirac-Spinoren

Dirac, Weyl und Majorana Spinors

Von der relativistischen Gleichung zum Finden von Dirac-Matrizen

Verwirrung um den Dirac-Massenbegriff

Warum ist der triviale analoge Ausdruck für Feynmans Schachbrettansatz für die Dirac-Gleichung in 3 + 1-Dimensionen (wie unten beschrieben) nicht korrekt?

Pendelt der Erzeugungs-/Vernichtungsoperator mit den Spinoren?