Warum gibt es nur zwei linear unabhängige quartische Higgs-Terme für die Adjungierte 242424 in SU(5)SU(5)SU(5) GUTs?

Ich habe die Aussage in unzähligen Veröffentlichungen gelesen, zum Beispiel hier Gl. 4.2 oder hier Gl. 2.1 ohne weitere Erklärung oder Bezugnahme, dass das "allgemeinste renormierbare Higgs-Potential" für ein adjungiertes (=24-dimensionales) Higgs ϕ Ist

v ( ϕ ) = − 1 2 μ 2 T R ( ϕ 2 ) + 1 4 A ( T R ( ϕ 2 ) ) 2 + 1 2 B T R ( ϕ 4 )

wobei ich den kubischen Begriff der Kürze halber vernachlässigt habe.

Gruppentheoretisch kann dieses Potential geschrieben werden als

v ( ϕ ) = − 1 2 μ 2 ( 24 ⊗ 24 ) 1 S + 1 4 A ( 24 ⊗ 24 ) 1 S ( 24 ⊗ 24 ) 1 S + 1 2 B ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 ( 24 ⊗ 24 ) 24 ) 1 S

Dennoch sagt uns die reine Gruppentheorie, dass mehrere andere quartische Invarianten möglich sind. Wir haben

24 ⊗ 24 = 1 S ⊕ 24 S ⊕ 24 A ⊕ 75 S ⊕ 126 A ⊕ 126 A ¯ ⊕ 200 S ,

wobei jede Darstellung durch ihre Dimension und die Indizes bezeichnet wird S Und A bezeichnen symmetrisch bzw. antisymmetrisch. Naiv würde ich sagen, wir haben 7 Quartik-Invarianten:

( ( 24 ⊗ 24 ) 1 S ( 24 ⊗ 24 ) 1 S ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 S ( 24 ⊗ 24 ) 24 S ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 A ( 24 ⊗ 24 ) 24 A ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 75 S ( 24 ⊗ 24 ) 75 S ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 126 A ( 24 ⊗ 24 ) 126 A ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 126 A ¯ ( 24 ⊗ 24 ) 126 A ¯ ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 200 S ( 24 ⊗ 24 ) 200 S ) 1 ,

Weil

1 S ⊗ 1 S = 1 24 S ⊗ 24 S = 1 75 S ⊗ 75 S = 1 e T C .

Daher meine Frage: Warum fehlen all diese anderen Produkte im "allgemeinsten renormierbaren Potential"? Vielleicht sind nur zwei dieser sieben Terme linear unabhängig, aber zumindest für mich ist das alles andere als offensichtlich. Und außerdem, warum sind dann genau diese beiden eine geeignete linear unabhängige Wahl?

Ihre Darstellungstheorie schlägt fehl (abgesehen von einigen möglichen Fehlern in den Berechnungen), weil Sie symmetrische Tensorprodukte berücksichtigen müssen - Sie haben nur 1 ϕ und nicht 4 verschiedene ϕ 'S.

Antworten (1)

Die einfachste Antwort auf Ihre Frage finden Sie in einem schönen Buch von F. Iachello, Lie Algebras and Applications , Lect. Hinweise Phys. 708 (Springer, Berlin Heidelberg 2006), DOI 10.1007/b11785361 , ISBN-10 3-540-36236-3

SU(5) (~ A4) hat Rang 4 und somit 4 unabhängige Casimir-Invarianten (Ihr φ transformiert sich wie die adjungierten Generatoren der Lie-Algebra.) Die Invarianten sind quadratisch, kubisch, quartisch und quintisch. Letzteres würde eine nicht renormierbare Higgs-Wechselwirkung liefern. Die kubische wurde durch Fiat (die BEGN-diskrete Isoparitätssymmetrie auferlegt) grundsätzlich abgelehnt, um das Modell und die Analyse zu vereinfachen. Sie müssen es also als Vertrauenssache ins Buch nehmen, dass die quartische Invariante tatsächlich unabhängig von der quadratischen ist. Leider hast du es aber komplett verstümmelt.

Was in Ihrer zweiten Formel mit b multipliziert wird, hätte in Ihrer idiosynkratischen Sprache sein sollen:

1 2 B T R ( ϕ 4 ) ↦ 1 2 B ( 24 ⊗ 24 ⊗ 24 ⊗ 24 ) 1 S .
Das heißt, Ihre vier 24er müssen sich nicht paarweise zu 24ern zusammensetzen, die sich dann zu einem Singulett zusammensetzen!

Ihr erster und zweiter Term sind die quadratische Invariante und ihr Quadrat, aber der letzte ist die quartische Invariante, von der Sie sich überzeugen könnten, dass sie davon unabhängig ist, aber für raffinierte Details müssen Sie das Buch (die Bücher) treffen. Sie können dies dem Adjungierten von SU(2), Rang 1, gegenüberstellen, wo es nur eine Invariante gibt, also notwendigerweise T R ( ϕ 4 ) ∝ ( T R ϕ 2 ) 2 , leicht zu überprüfen durch Diagonalisieren von φ , wie in Ihrer Ruegg-Referenz.

Warum gibt es nur zwei linear unabhängige quartische Higgs-Terme für die Adjungierte 242424 in SU(5)SU(5)SU(5) GUTs?
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