Woher kommt die Übereinstimmungsbedingung für U(1)U(1)U(1)-Untergruppen in vereinheitlichten Modellen?

Question

Woher kommt die Übereinstimmungsbedingung für U(1)U(1)U(1)-Untergruppen in vereinheitlichten Modellen?

Physik
Gruppentheorie
Große Vereinigung
Quantenfeldtheorie
Beyond-the-Standard-Modell

jak

Die passenden Bedingungen für einen Bruch $G \rightarrow \prod_i G_i$ Sind

ω_{G} - \frac{C_{2} (G) (μ)}{12 π} = ω_{G_{ich}} - \frac{C_{2} (G_{ich}) (μ)}{12 π},

$\omega_G-\frac{C_2(G)(\mu)}{12 \pi}=\omega_{G_i}-\frac{C_2(G_i)(\mu)}{12 \pi} ,$

Wo $C_2(g)$ bezeichnet die quadratische Casimir-Invariante für die adjungierte Darstellung der Gruppe $g$ . (Siehe zum Beispiel Gleichung 7 in Implikationen der CERN-LEP-Ergebnisse für die SO(10) Grand Unification )

Allerdings zum Beispiel für die Bremskette $SU(4) \times SU(2)_L \times SU(2)_R \rightarrow SU(3_C) \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ wir haben die passende Bedingung

ω_{U (1)_{Y}} = \frac{3}{5} (ω_{S U (2)_{R}} - \frac{2}{12 π}) + \frac{2}{5} (ω_{S U (4)_{C}} - \frac{4}{12 π})

$\omega_{U(1)_Y} = \frac{3}{5}\left( \omega_{SU(2)_R} - \frac{2}{12\pi} \right) + \frac{2}{5}\left( \omega_{SU(4)_C} - \frac{4}{12\pi} \right)$

(Siehe zum Beispiel Gleichung 8 in Implikationen der CERN-LEP-Ergebnisse für die SO(10) Grand Unification )

Woher kommt diese Übereinstimmungsbedingung für $U(1)$ Untergruppen kommen aus?

ACuriousMind

Was ist

ω_{i}

$\omega_i$ ? Beachten Sie auch, dass der Casimir von

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ verschwindet auf dem Adjoint, da der Adjoint die triviale Darstellung ist.

jak

@ACuriousMind 1.)

ω_{i}

$\omega_i$ entspricht der Untergruppe

i

$i$ . Ich habe es in der Frage geändert, um es klarer zu machen. 2.) Ja, deshalb gibt es keinen Begriff

\propto \frac{1}{12 π}

$\propto \frac{1}{12\pi}$ auf der linken Seite...

ACuriousMind

Das war mir klar

ω_{i}

$\omega_i$ bezieht sich auf

ω

$\omega$ zugehörig

G_{i}

$G_i$ - Ich weiß nicht, welches Objekt Sie meinen

ω

$\omega$ an erster Stelle! Sind das Kopplungskonstanten? Außerdem meinst du nicht das Tensorprodukt

\otimes

$\otimes$ , du meinst das direkte Produkt

\times

$\times$ von Gruppen dort (viele Physiker verwenden dort seltsamerweise das Tensorprodukt).

jak

@ACuriousMind

ω_{i} := α_{i}^{- 1} := \frac{4 π}{g_{i}^{2}}

$\omega_i := \alpha_i^{-1} := \frac{4\pi}{g_i^2}$

Danu

@ACuriousMind Vermutlich die Verwendung von

\otimes

$\otimes$ kommt daher, dass man in der Physik meist mit Algebren arbeitet, statt mit Gruppen.

Antworten (1)

Woher kommt die Übereinstimmungsbedingung für U(1)U(1)U(1)-Untergruppen in vereinheitlichten Modellen?

Was ist $\omega_i$ ? Beachten Sie auch, dass der Casimir von $\mathrm{U}(1)$ verschwindet auf dem Adjoint, da der Adjoint die triviale Darstellung ist.
@ACuriousMind 1.) $\omega_i$ entspricht der Untergruppe $i$ . Ich habe es in der Frage geändert, um es klarer zu machen. 2.) Ja, deshalb gibt es keinen Begriff $\propto \frac{1}{12\pi}$ auf der linken Seite...
Das war mir klar $\omega_i$ bezieht sich auf $\omega$ zugehörig $G_i$ - Ich weiß nicht, welches Objekt Sie meinen $\omega$ an erster Stelle! Sind das Kopplungskonstanten? Außerdem meinst du nicht das Tensorprodukt $\otimes$ , du meinst das direkte Produkt $\times$ von Gruppen dort (viele Physiker verwenden dort seltsamerweise das Tensorprodukt).
@ACuriousMind $\omega_i := \alpha_i^{-1} := \frac{4\pi}{g_i^2}$
@ACuriousMind Vermutlich die Verwendung von $\otimes$ kommt daher, dass man in der Physik meist mit Algebren arbeitet, statt mit Gruppen.

xi45 · Answer 1

Sie ergibt sich aus der Kombination zweier Tatsachen: $i$ ) die Einbettung von $U(1)_Y$ hinein $SU(2)_R \times U(1)_{B-L}$ , Und $ii$ ) die Normalisierung der $U(1)$ Gebühren.

Lassen Sie mich die einfachere Kette nehmen: $SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_{B-L} \to SU(2)_L \times U(1)_Y$ .

$i$ ) Auf der Skala der Links-Rechts-Symmetrie wird die Hyperladung verschmolzen $SU(2)_R \times U(1)_{B-L}$ , und wir haben die Beziehung:

\frac{Y}{2} = T_{3 R} + \frac{B - L}{2} .

$\begin{equation} \frac{Y}{2} = T_{3R} + \frac{B-L}{2}\,. \end{equation}$ (Die Faktoren von 1/2 sind hier konventionell). Hier

T_{3 R}

$T_{3R}$ ist der Erzeuger von

S U (2)_{R}

$SU(2)_R$ .

$ii$ ) Damit die nicht-abelschen Generatoren wie ihre abelschen Gegenstücke normiert werden können, definieren wir die neuen Ladungen: $Y' = \sqrt{\frac{3}{5}} \left(\frac{Y}{2} \right)$ Und $C' = \sqrt{\frac{3}{2}} \left(\frac{B-L}{2} \right)$ . Daher wird die obige Gleichung zu:

Y^{'} = \sqrt{\frac{3}{5}} T_{3 R} + \sqrt{\frac{2}{5}} C^{'} .

$\begin{equation} Y' = \sqrt{\frac{3}{5}} T_{3R}+ \sqrt{\frac{2}{5}} C' \,. \end{equation}$

Wenn Sie schließlich diesen Ausdruck mit den Kopplungskonstanten (Quadrat) verwenden und den Abgleich durchführen, erhalten Sie die Beziehung, die in Ihrer Frage erscheint. (beachten Sie, dass: $SU(4)_C \to SU(3)_C\times U(1)_{B-L}$ .)

Danke für deine Antwort. Ich denke, mein Problem ist dann, wo tut $\frac{Y}{2} = T_{3 R} + \frac{B - L}{2} .$ $\begin{equation} \frac{Y}{2} = T_{3R} + \frac{B-L}{2}\,. \end{equation}$ komme aus?
Im Allgemeinen haben wir: $Y/2= c_1 T_{3R} + c_2 {(B-L)/2}$ , seit der $U(1)_Y$ muss eine Linearkombination dieser Generatoren sein. Dann durch Abgleich mit den (bekannten) Standardmodell-Hyperladungen und den (bekannten) $B-L$ Gebühren, die durch das Brechen festgelegt werden, erhalten wir $c_1=c_2=1$ .

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jak

ACuriousMind

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jak

Danu

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jak

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