Warum sagen uns Zerlegungen wie 16⊗16=10⊕120⊕12616⊗16=10⊕120⊕12616 \otimes 16 = 10 \oplus 120 \oplus 126, welche Higgs-Darstellungen wir verwenden können?

Lassen Sie mich versuchen, Ihre Frage zu beantworten, da sich Ihre Frage auf das SO(10) GUT-Modell bezieht . Ich gehe also davon aus, dass Sie die einfachere Version von GUT kennen, nämlich das SU(5) GUT-Modell , und auch wenig von der Gruppentheorie .

Sie haben 4 verschiedene Fragen >>>

01. Ist dieser Begriff nicht ($\psi^{T} C \psi$) bereits invariant unter SO(10)?

02. Ist dieser Begriff nicht ($\psi^{T} C \psi$) ergeben Majorana-Massenterme?

03. Warum sind Begriffe ($\psi^{T} C \psi \phi_{10}$) dieser Form unveränderlich ?

04. warum funktioniert die oben zitierte Zerlegung ($16 \times 16= 10+120+126$) uns sagen, welche Higgs-Darstellung wir verwenden müssen, um invariante Terme zu erhalten?

Da all diese Fragen irgendwie miteinander zusammenhängen, kann es sein, dass ich bei der Beantwortung manchmal nicht in der Lage bin, der jeweiligen Reihenfolge zu folgen, sondern die Dinge durcheinander bringe. Ich entschuldige mich dafür. Ohnehin,

ANS zu QUS#01: Ja, das ist es! SO (10) ist eine orthogonale Gruppe, daher muss jede invariante SO (10) -Größe (z. B. X ) unter der Gruppenrotation gleich bleiben, dh$O^{T}XO=X$, da hast du also recht.

ANS zu QUS#02: der Begriff ($\psi^{T} C \psi$) ist weder ein Massenterm noch ein Yukawa-Term, sondern nur ein invariantes Fermion bilinear . Um zu verstehen, wie Fermion-Bilineare gebildet werden und wie viele solcher Terme möglich sind, konsultieren Sie bitte jedes einführende Buch zur Feldtheorie/Teilchenphysik, wie zum Beispiel: Introduction to Elementary Particles--D. Griffiths; Kapitel Nr. 07, Seite Nr. 224, Gleichung Nr. 7.68 [ http://www.amazon.com/Introduction-Elementary-Particles-David-Griffiths/dp/3527406018 ].

ANS zu QUS#03 und #04: Um Masse für die Fermionen zu erzeugen, müssen Sie zunächst Yukawa-Kopplungsterme in der Lagrange-Funktion konstruieren . Denken Sie immer an zwei Dinge,

(a) Struktur der Yukawa-Kupplung $\sim$ Fermion * Fermion * Higgs-Skalar und

(b) Lagrangian muss immer gruppeninvariant sein .

Aus (a) erhalten wir für SO(10),$16\times 16 \times Higgs$aber aus (b) muss diese Higgs-Darstellung so gewählt werden, dass solche Terme invariant sind. In dieser Phase brauchen Sie ein wenig Gruppentheorie . Die Gruppentheorie sagt,$16 \times 16= 10+120+126$, was besagt, Fermion * Fermion$\neq 1$($1=$Gruppensingulett und Singuletts sind Gruppeninvarianten). Um also eine Yukawa-Kopplung zu bilden, die gruppeninvariant sein muss, sind die einzigen Optionen, die Sie haben, 10.120- oder 126-Darstellungen. Wenn Sie eine andere Darstellung unter SO (10) wählen, erhalten Sie kein Singulett. Um im Detail zu verstehen, warum andere Darstellungen von Higgs kein Singulett bilden, konsultieren Sie bitte Group Theory for Unified Model Building--R.Slansky; Seite#105 [ http://inspirehep.net/record/10204?ln=en ]. Dies beantwortet QUS#04 und QUS#03 .

Nun, während ich QUS#02 oben beantwortete, war ich sehr kurz, um es klar zu erklären, ich brauche die Elemente aus dem letzten Absatz. Gehen wir also zurück zu Ihrem QUS#02 .

Jetzt wissen Sie, dass mögliche Yukawa-Kopplungsterme sind:

(ich)$16_{F} \times 16_{F} \times 10_{H}$

(ii)$16_{F} \times 16_{F} \times 120_{H}$

(iii)$16_{F} \times 16_{F} \times 126_{H}$

, F und H stehen für Fermion bzw. Higgs.

Für die Minimalität von SO(10) GUT-Modellen wird die 120-Darstellung von Higgs nicht verwendet, und daher werde ich nicht darüber sprechen, sondern mich auf 10- und 126-dimensionale Darstellungen konzentrieren.

Nehmen wir an, Sie kennen SU(5) GUT bereits, da Ihre Frage SO(10) GUT beinhaltet. Aus der Gruppentheorie kann man wiederum die Verzweigungsregeln der uns interessierenden Darstellungen aufschreiben für SO(10)-->SU(5) Group Theory for Unified Model Building--R.Slansky; Seite #106 als:

(A)$16=1+\bar{5}+10$

(B)$10=5+\bar{5}$

(C)$126=1+5+\bar{10}+...$(Punkte bedeuten höherdimensionale Darstellungen, an denen wir nicht interessiert sind).

Wenn Sie diese nun in die Yukawa-Kopplungen einsetzen, erhalten Sie 10 Terme, die Invarianten sind, aber ich werde nur zwei davon zur Veranschaulichung herausgreifen und Ihre Frage der Majorana-Masse angreifen, an der Sie interessiert sind .

(ich)$1_{F}\times \bar{5}_{F} \times 5_{H}$

(ii)$1_{F}\times 1_{F}\times 1_{H}$

Wenn Sie SU(5) GUT kennen, wissen Sie bereits, dass der erste Term (i) ein Dirac-Massenterm ist , während der zweite Term (ii) ein Majorana-Massenterm ist , da ihre Grundformen sind:

Dirac-Masse$\sim$Rechtshändiges Fermion * Linkshändiges Fermion * Higgs = R * L *$\langle\phi_{H}\rangle$

Majorana-Messe$\sim$Rechtshändiges Fermion * Rechtshändiges Fermion * Higgs = R * R *$\langle\phi_{H}\rangle$

(In$\phi_{H}$Ich legte$\langle\phi_{H}\rangle$um den Vakuumerwartungswert darzustellen [kurz vev], um den Fermionen Masse zu geben, müssen Skalarfelder vev erhalten [um vev zu verstehen, siehe jedes einführende Buch zur Feldtheorie wie zum Beispiel: Quantenfeldtheorie --- L. Ryder , Kapitel #08 ] )

denn in (i)$1_{F}$enthält rechtshändiges Neutrino und$\bar{5}_{F}$enthält linkshändiges Neutrino und damit Masse vom Dirac-Typ ; im Gegenteil in (ii) beides$1_{F}$enthalten rechtshändiges Neutrino und somit Masse vom Majorana-Typ .

Hoffe, dass es hilft, Danke!

@SAS hat die meisten Fragen beantwortet, aber ich glaube, es gibt einen entscheidenden Punkt, der noch angesprochen werden muss: die Chiralität.

Tatsächlich ist es a priori nicht offensichtlich, warum

$$\Psi^T C \Psi\,\Phi\,,$$ (Wo $\Phi$ist eine Higgs-Darstellung) führt zu Massen vom Dirac-Typ anstelle von Majorana-Massen. Warum nicht das Gemeine $\bar\Psi \Psi$?

Es stellt sich heraus, dass dies in GUTs der Fall ist, weil wir die „rechten“ Fermionen und die „linken“ SM-Fermionen in einer einzigen Darstellung vereinen. Der Einfachheit halber können wir mithilfe der Ladungskonjugation ein Multiplett mit nur einer Chiralität definieren (diese Operation liegt außerhalb der Gruppe und definiert daher zwei verschiedene Zustände, die durch keine Gruppentransformation nicht miteinander verbunden sind):

$$\psi_L^c\equiv P_L \psi^c = (\psi_R)^c.$$

Wenn wir nur linkshändige Felder verwenden, können wir definieren$\Psi =\Psi_L= (e, e^c,...)_L$. Jetzt wissen wir, dass wir damit eine Dirac-Masse bilden können$e_L$Und$e^c_L$als

$$m\,(e^{cT}_L C e_L + hc) = m\,(\overline{e_R} e_L +hc).$$ Um dieses Formular zu erhalten, verwenden Sie $\Psi_L$Alles, was wir tun müssen, ist: $$\Psi_L^T C \Psi_L<\Phi> =m\, e^{cT}_L C e_L +...= m\, \overline{e_R}e_L+...$$

Was ist$\Phi$?

Die Yukawa-Kupplung hat die Form$\Psi \Psi \Phi$(Die Transponierung und$C$keine Repräsentation konjugieren). Und wir wissen, dass dies unveränderlich sein muss. In$SO(10)$, mit$\Psi \sim \mathbf{16}$, die einzigen Invarianten, die wir von dieser Form konstruieren können, sind:

$$\mathbf{16}_i.\mathbf{16}_j.[(\mathbf{10}+\mathbf{126})_s+\mathbf{120}_a]$$ (Sie können das überprüfen $10+120+126=16^2$.) Der Index $s$Und $a$stehen für symmetrische und antisymmetrische Kontraktionen. Ich habe auch die Familienindizes aufgenommen $i$Und $j$. Im Prinzip gibt jede dieser skalaren Darstellungen Fermionmassen an. Um jedoch das tatsächliche Spektrum des SM zu erhalten, ist eine spezielle Kombination erforderlich.

Normalerweise wird angenommen, dass der SM Higgs in der ist$\mathbf{10}$, aber es könnte auch drin sein$\mathbf{126}$je nach Modell und weiteren Details; Auf diese Frage gibt es keine direkte Antwort.

Abschließend zu Ihrer letzten Bearbeitung und dem Kommentar zu den Fermi-Dirac-Statistiken: Ich denke, das macht überhaupt keinen Sinn. Wir können eine Anti-Sym-Darstellung verwenden (wie$\mathbf{120}$oben) ohne Probleme.