Frage zur Ableitung der Ward-Identität

Ich lese gerade diese Notizen über die Ward-Identität (Seiten 259 - 261). Ich werde einige der Schritte wiederholen, um die Frage eigenständig zu machen.

Betrachten wir eine lokale Transformation auf dem Feld$\phi$:

$$\begin{equation} \phi(x) \rightarrow \phi'(x) = \phi(x) + \delta \phi(x) \tag{1} \end{equation}$$ Wo: $$\begin{equation} \delta \phi(x) = i \epsilon^a(x) t^a \phi(x) \end{equation}$$ Wo $t^a$sind die Generatoren der Transformation und $\epsilon$ist ein raumzeitabhängiger Parameter, der die Feldtransformation charakterisiert. Dann ist der Noetherstrom gegeben durch: $$\begin{equation} j_\mu^a = i \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial_\mu \phi \right)} t^a \phi \end{equation}$$ und die Variation der Aktion ist: $$\begin{equation} \delta S = \int \mathrm{d}^4 x \; j_\mu^a \partial^\mu \epsilon^a \end{equation}$$ bereitgestellt $\delta S = 0$für globale Transformationen.

Betrachten wir nun das übliche erzeugende Funktional:

$$\begin{equation} Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \; \exp\left(i S \left[\phi, \partial_\mu \phi \right] + i \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \phi \right) \end{equation}$$

Wenn wir anschließend die (lokale) Änderung von Variablen durchführen (siehe Gleichung$(1)$) und nehmen an, dass das Integrationsmaß invariant ist, dann erhalten wir:

$$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \; \exp\left(i S \left[\phi, \partial_\mu \phi \right] + i \delta S \left[\phi, \partial_\mu \phi \right] + i \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \phi - \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \epsilon^a t^a \phi \right)$$ $$= \int \mathcal{D}\phi \; \exp\left(i S \left[\phi, \partial_\mu \phi \right] + i \int \mathrm{d}^4 x \; j_\mu^a \partial^\mu \epsilon^a + i \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \phi - \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \epsilon^a t^a \phi \right) \tag{2}$$

Dies ist Gleichung (10.170) in den vorgenannten Anmerkungen (bis auf ein Minuszeichen). Nun können wir gemäß den gleichen Anmerkungen die obige Gleichung in der ersten Ordnung erweitern$\epsilon^a$folgendermaßen:

$$\begin{equation} Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \; \exp\left(i S \left[\phi, \partial_\mu \phi \right] + i \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \phi \right)\left(1 + i \int \mathrm{d}^4 x \; j_\mu^a \partial^\mu \epsilon^a - \int\limits \mathrm{d}^4 x \; J \epsilon^a t^a \phi \right) \tag{3} \end{equation}$$ Jetzt ist meine Frage:

Um aus der Gleichung zu kommen$(2)$Zu$(3)$: Warum können wir einfach normale Taylor-Reihen verwenden, um die Exponentialfunktion zu erweitern? Sollten wir nicht die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel verwenden ?

Wenn wir nur abelsche Eichtransformationen betrachten, können wir natürlich einfach die normale Taylor-Reihe verwenden. Sie erwähnen dies jedoch nicht und jetzt bin ich verwirrt.