Erläuterung zum Schluss der Längenkontraktion (ohne Lorentz-Transformationen)

Im Buch Giancolli$10^{th}$Edition stellt der Autor das folgende Szenario auf, um die Längenkontraktionsgleichung abzuleiten:

Stellen Sie sich vor, es gäbe eine Rakete mit einer Geschwindigkeit von$v$weg von der Erde.

Anhand dessen erklärt der Autor Folgendes:

„Beobachter auf der Erde beobachten ein Raumschiff, das mit hoher Geschwindigkeit fliegt$v$von der Erde zu, sagen wir, Neptun. Der Abstand zwischen den Planeten, wie von den Erdbeobachtern gemessen, ist$L_0$. Die für die Reise benötigte Zeit, von der Erde aus gemessen, beträgt"

$$\Delta{t}=\frac{L_0}{v}$$

Wir wissen, nehmen Sie die Sicht eines Beobachters im Raumschiff ein:

„Die Zeit zwischen dem Abflug von der Erde und der Ankunft von Neptun (vom Raumschiff aus beobachtet) ist die „eigentliche Zeit“, da die beiden Ereignisse am selben Punkt im Weltraum stattfinden. Daher ist das Zeitintervall für die Beobachter des Raumfahrzeugs geringer als für die Erde Beobachtern. Das heißt, aufgrund der Zeitdilatation ist die Zeit für die Reise als Sicht durch das Raumschiff"

$$\Delta{t_0}=\Delta{t}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

An diesem Punkt habe ich ein ziemliches Verständnis dafür, was sie sagen (nehme ich an). Sie kommen jedoch bald zu dem Schluss, dass ich es nicht verstanden habe.

„Weil die Beobachter des Raumfahrzeugs die gleiche Geschwindigkeit, aber weniger Zeit zwischen diesen beiden Ereignissen messen, messen sie auch die Entfernung weniger. Wenn wir es zulassen$L$sei dann der Abstand zwischen den Planeten, wie er von den Beobachtern des Raumfahrzeugs gesehen wird$L = v\Delta{t_0}$..."

Daraus nehme ich, dass die Eigenzeit der Beobachter auf dem Raumschiff kleiner ist als die Zeit, die von einem Beobachter relativ zum Raumschiff um eine Geschwindigkeit von gemessen wird$v$, ist die Entfernung des Beobachters im Raumschiff geringer als die von den Beobachtern außerhalb des Raumschiffs gemessene Entfernung.

Aber sie fahren dann fort, indem sie die folgende Gleichung und Schlussfolgerung ableiten.

$$L = L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Und

"Die Länge eines Objekts wird als kürzer gemessen, wenn es sich relativ zum Beobachter bewegt, als wenn es ruht."

Was es aussagt, ist, dass die Entfernung, die von einem Beobachter relativ zum Raumschiff gemessen wird, eine Geschwindigkeit ist$v$kürzer ist als die Entfernung, die von einem Beobachter im Raumschiff gemessen wird, was das genaue Gegenteil von dem ist, was ich gerade gesagt habe, es sei denn, ich lese das falsch.

Darüber hinaus besagt die Gleichung, dass die von der Außenseite des Raumschiffs beobachtete Länge größer ist als die im Inneren beobachtete Länge. (Um diese Gleichung lebendig zu machen,$L_0$sollte die von innen gemessene Länge sein. Es ist auch eine Art gesunder Menschenverstand, der auf Notation basiert, aber der Autor hat es verwendet$L_0$für die länge außen.

Warum ist dies der Fall, und was noch wichtiger ist, wie würden Sie diese Gleichung (mit der richtigen Schlussfolgerung) ohne Lorentz-Transformationen herleiten?