Wie man mithilfe der Lorentz-Transformation zeigt, dass v⃗ v→\vec{v} von einem Frame zu einem anderen in jedem Frame |v⃗ ||v→|\vert\vec{v}\vert [geschlossen]

Um die Längenkontraktion zu messen, müssen Sie zwei parallele Weltlinien betrachten; Sie betrachten eine einzelne Weltlinie und sind sich daher nicht darüber im Klaren, was Sie studieren.

Die gewünschte Koordinatentransformation ist (mit$w=ct$Und$\beta=v/c$um eine gewisse Symmetrie der Gleichungen zu zeigen)

$$\begin{align} w'&=\gamma~(w - \beta~x),\\ x'&=\gamma~(x - \beta~w),\\ y'&=y,\\ z'&=z.\end{align}$$ Ignorieren der $y$Und $z$Richtungen als trivial, Längenkontraktion kommt, wenn wir die Weltlinien betrachten $(w, x) = (s, 0)$für alle $s$Und $(w, x)=(s, L)$für alle $s$. Diese verwandeln sich beide in: $$w'=\gamma~(s - \beta~L),\\ x'=\gamma~(L-\beta~s).$$ Ersatz für $s=w'/\gamma + \beta~L$Wir können die Gleichung finden $$x'=\gamma~(L-\beta~(w'/\gamma+\beta~L) = -\beta~w' + \gamma~L~(1 - \beta^2).$$

Beachten Sie, dass$\gamma~(1-\beta^2) = \gamma / \gamma^2 = 1/\gamma,$Angabe unseres bekannten Längenkontraktionsfaktors; Beachten Sie auch, dass sich diese Linie, die stationär war, jetzt mit Geschwindigkeit rückwärts bewegt$-\beta~c=-v$.

Dieser Effekt, dass beim Beschleunigen die Uhren vor Ihnen schneller ticken, je weiter sie vor Ihnen sind, und die Uhren hinter Ihnen langsamer ticken, je weiter sie hinter Ihnen sind, wird als „Relativität der Gleichzeitigkeit“ bezeichnet. Es ist ein sehr wichtiger Effekt: Tatsächlich habe ich schon früher argumentiert, dass es der wichtigste Effekt ist , und zwar für kleine$\beta\ll 1$es ist der einzige Effekt, der überlebt: und wir können daraus die obige allgemeine Koordinatentransformation rekonstruieren$\gamma\approx 1$form.

Sie sprechen von relativistischer Reziprozität, also der Behauptung, dass die inverse Lorentz-Transformation durch die Substitution gefunden wird$v\mapsto-v$, wie weiter in meiner Antwort hier besprochen .

Obwohl intuitiv vernünftig und täuschend einfach, ist es nicht trivial und muss entweder selbst als Postulat genommen werden oder es kann aus einigen axiomatischen Anfängen für die spezielle Relativitätstheorie abgeleitet werden.

Die Essenz der Sache ist eine Annahme der Isotropie des Raums: Wenn wir die Richtung eines Boosts ändern und unser Koordinatensystem neu auf den Boost ausrichten, kann sich die Lorentz-Transformation nicht ändern. Das heißt, es gibt keine spezielle oder Vorzugsrichtung im Raum und alle Richtungen „sehen gleich aus“. Schritt 4 in meiner detaillierten Erklärung unten ist der entscheidende und für das vorliegende Problem relevanteste Weg, wie die Annahme der räumlichen Isotropie in die Diskussion eingeht.

Aber die Zahl der Annahmen, die Sie treffen müssen, um zu dem Punkt zu gelangen, den Sie zu beweisen versuchen, ist bemerkenswert zahlreich. Sie können auf das in meiner anderen Antwort verlinkte Papier verweisen , oder meine eigene Sichtweise zu diesem Thema ist in den Details unten skizziert.

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Detaillierte notwendige Axiome und Ableitung der Lorentz-Transformation mit Reziprozität

1. Die vier Axiome von

   • (1) Galileos Prinzip (dass die Lorentz-Transformation nur von der relativen Geschwindigkeit abhängt), zusammen mit Annahmen von
   • (2) Raumzeithomogenität;
   • (3) Raumzeit-Ebenheit (oder einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit und dass wir es mit lokalen Transformationen zu tun haben, so dass wir zumindest lokale Ebenheit haben können) und
   • (4) Stetigkeit der Lorentz-Transformation (in ihrer Abhängigkeit von Raum-Zeit-Koordinaten) zeigt, dass die Lorentz-Transformation linear auf Raum-Zeit-Koordinaten wirkt, dh durch eine Matrix beschrieben werden kann;

2. Ein fünftes Axiom, dass die Lorentz-Transformation in einer gegebenen Richtung die reale Geschwindigkeitslinie kontinuierlich in eine Gruppe von Matrizen abbildet, zeigt, dass die Transformation die Form haben muss:

   $$X\mapsto \exp(\eta(v)\,K)\,X\tag{1}$$ wo die Schnelligkeit$\eta(v)$ist eine stetige Funktion der Geschwindigkeit$v$,$K$ist eine Konstante$4\times 4$Matrix und$X$Die$1\times 4$Spaltenvektor der Raumzeitkoordinaten. Ich zeige dies ausführlicher in meiner Antwort hier .

3. Jetzt denken wir über die Isotropie des Raums nach . Wenn der Raum isotrop ist, können wir die frei wählen$x$Achse entlang der Richtung des Boosts liegen, und wir können die Allgemeingültigkeit nicht verlieren. Eine Erhöhung in jede andere Richtung wird einfach durch Drehung der Koordinaten aus der Form gefunden, die wir in der berechnen$x$Richtung. Darüber hinaus ist eine beliebige Drehung der Koordinaten um die$x$Achse kann die Form unseres Boosts auch nicht ändern. Also aus (1):

   $$R_x(\theta)\exp(\eta\,K)\, R_x(\theta)^{-1} = \exp(\eta\,K)\tag{2}$$ Wo$R_x(\theta)$ist die Drehung um den Winkel$\theta$um$x$. Wenn unser koordinieren Auftrag ist$(t,\,x,y,\,z)$dann kann gezeigt werden, dass (2) die Matrix reduziert$K$zum Formular: $$K = \left(\begin{array}{cc}k_{11}&k_{12}&0&0\\k_{21}&k_{22}&0&0\\0&0&k_{33}&-k_{43}\\0&0&k_{43}&k_{33}\end{array}\right)\tag{3}$$

4. Eine zweite, für Ihre Frage entscheidende Isotropie der Raumbetrachtung ist, was passiert, wenn wir die Koordinatenachse in Richtung des Schubs umkehren. Wenn wir eine der anderen Koordinatenachsen umkehren, sodass die Raumkoordinaten rechtshändig bleiben, dann bedeutet ein isotroper Raum, dass sich die Transformation nicht ändern kann. Unsere Koordinatentransformationsmatrix ist dann beispielsweise$\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1)$, die ein$180^\circ$Drehung um die$z$Achse (dasselbe Ergebnis folgt aus a$180^\circ$Drehung um eine beliebige Achse senkrecht zur Boost-Richtung). Wir haben also die Bedingung: $$\eta \,\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1)\,K\,\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1) = \eta^\prime\, K\tag{3}$$ Das heißt, der Boost ist in die gleiche Richtung, repräsentiert also "die gleiche Art von Bewegung", ist also immer noch von der Form (1) mit einem möglicherweise anderen Schnelligkeitsparameter$\eta^\prime$. Dies führt zu der Gleichung: $$\left(\begin{array}{cc}(1+u)\,k_{11}&-(1-u)\,k_{12}&0&0\\-(1-u)\,k_{21}&(1+u)\,k_{22}&0&0\\0&0&(1+u)\,k_{33}&(1-u)\,k_{43}\\0&0&-(1-u)\,k_{43}&(1+u)\,k_{33}\end{array}\right)=0\tag{4}$$ Wo$u=\eta^\prime/\eta$. Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten,$u=\pm1$, für ein nichttriviales ( dh $K_{jk}=0;\;\forall j,\,k$) Lorentz-Transformation. Das erste ist$\eta=\eta^\prime$. Bisher gibt es in den Postulaten nichts, was dies verbietet, aber es wäre ein seltsames Universum, in dem ein solches Gesetz gelten würde. Die Lorentz-Transformation wäre diagonal, und Boosts wären überhaupt keine relative Bewegung; Tatsächlich hätten wir anstelle einer relativen Bewegung eine Zeitdilatation zusammen mit einem Schrumpfen und Anschwellen von Längenskalen. So nennt Sean Carroll das „Alice im Wunderland“-Universum; wo Wesen sich nicht wirklich bewegen können, aber nach Belieben schrumpfen und sich dehnen können, wie Alice ihren mit Butter bestrichenen Toast "Drink Me" trinkt und an den Rändern ihres Pilzes knabbert. Die zweite Möglichkeit ist$u=-1$. Dies ist im Wesentlichen das, was Sie beweisen wollen, dh dass die gleiche Bewegung der gleichen Schnelligkeit, aber in entgegengesetzter Richtung entspricht$\eta\mapsto-\eta$und zur inversen Lorentz-Transformation. Wir sind also im Wesentlichen fertig, aber wenn wir das gleiche Ergebnis in Bezug auf die Geschwindigkeiten sehen wollen, konzentrieren wir uns auf die$(x,\,t)$Koordinaten, für die die Transformation ist: $$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)&\mapsto&\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}0&k_{12}\\k_{21}&0\end{array}\right)\right)\,\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)\\\\&=&\left(\begin{array}{cc}\cosh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)&\sqrt{\frac{k_{12}}{k_{21}}}\sinh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\\\sqrt{\frac{k_{21}}{k_{12}}}\sinh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)&\cosh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\end{array}\right)\,\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)\end{array}\tag{5}$$ die wir jetzt "kalibrieren" können, um die Beziehung zwischen Geschwindigkeit auszuarbeiten$v$und Schnelligkeit$\eta(v)$indem Sie die Beziehung finden, die sich einstellt$x=0$in den transformierten Koordinaten: $$v = \sqrt{\frac{k_{21}}{k_{12}}}\tanh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\tag{6}$$ was eine ungerade Funktion in ist$v$, was zeigt, dass die inverse Lorentz-Transformation durch die Substitution gefunden wird$v\mapsto-v$, was Sie beweisen wollten.

Beachten Sie, dass dies nicht trivial und nicht offensichtlich ist, insbesondere weil es das Alice-im-Wunderland-Universum gibt, das mit all unseren Annahmen kompatibel ist, einschließlich der räumlichen Isotropie. Daher benötigen wir zusätzlich zu unseren anderen Axiomen einen ausdrücklichen Ausschluss dieser Möglichkeit als Axiom / Annahme . Das Alice im Wunderland-Universum hat die gleiche (eher als umgekehrte) Transformation, die durch Richtungsumkehr bewirkt wird.

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Nachwort: Aufräumen – Kausalität und die letzten Schritte zur üblichen Lorentz-Transformation

Umgang mit dem$k_{43}$in der oben, dh zu beweisen$k_{43}=0$, dh die merkwürdige Wendung über die$x$Achse, die nach unseren bisherigen Annahmen zulässig ist, müssen wir weitere Annahmen treffen; entweder explizit zu postulieren$k_{43}=0$aus experimentellen Gründen, dass diese Verdrehung experimentell nicht beobachtet wird, oder alternativ eine Annahme, dass die Umkehrung der$t$Achse der inversen Lorentz-Transformation entspricht, wird ebenfalls dasselbe beweisen. Schließlich muss man das Vorzeichen von untersuchen$k_{12}\,k_{21}$; falls negativ, ist die Lorentz-Transformation eine Rotation, die schwer mit Kausalität in Einklang zu bringen ist. Also müssen wir das haben$k_{12}\,k_{21}>0$, was bei geeignetem Einheitenwechsel zum bekannten Lorentzschub in (5) führt